Лекции Капустина (1134955), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

С другой стороны, в силу неравенства Гёльдера⃒⃒ (︃)︃ 1)︃ 1 (︃ ∞∞∞⃒∑︁⃒∑︁∑︁⃒⃒| ()| = ⃒| |= ‖‖ ‖‖ . ⃒ 6| |⃒⃒=1=1=1Отсюда следует, что ‖ ‖ 6 ‖‖ . Следовательно, ‖ ‖ = ‖‖ , то есть* = .3. Пусть = (), > 1. Можно показать, что линейный функционал (()) в () будет иметь вид∫︁ (()) = ()(),где () ∈ () — функция, однозначно определяемая по функционалу (()), причём ‖ ‖ = ‖‖ () , а * = .4. Пусть = [, ]. = 0 < 1 < · · · < −1 < = .∑︀sup | ( ) − (−1 )| < +∞ — функция с ограниченным измене =1нием.∫︀ (()) = () ().84§10. Гильбертовы пространстваОпределение 1. Множество называется гильбертовым пространством, если1.

— линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.2. Каждой паре элементов , ∈ поставлено в соответствие число (, ), комплексное или действительное, называемое скалярнымпроизведением этих элементов и удовлетворяющее следующим аксиомам:a) (, ) = (, ) ∀, ∈ ;б) (, ) = (, ) ∀, ∈ , ∀ ∈ R или C;в) ( + , ) = (, ) + (, ) ∀, , ∈ ;г) ∀ ∈ (, ) > 0;(, ) = 0 ⇔ = 0.Нормана вводится через скалаярное произведение: число ‖‖ =√︀(, ) будем называть нормой элемента .3. — полное в метрике (, ) = ‖ − ‖ пространство.4.

— бесконечномерное пространство, то есть для любого натурального числа в нём найдётся линейно независимых элементов.Пример. и () при = 2 являются гильбертовыми пространствами, если ввести скалярное произведение следующим образом:1. В 2 для = (1 , 2 , . . . ), = (1 , 2 , . . . )(, ) =∞∑︁ .=12. В 2 () для (), ()∫︁((), ()) =()().Аксиомы скалярного произведения проверяются непосредственно.85Утверждение 1. Пусть — гильбертово пространство, тогда длялюбых , ∈ верно неравенство|(, )| 6 ‖‖‖‖.Доказательство. При = 0 справедливость утверждения очевидна,поэтому далее в доказательстве положим ̸= 0.

Для произвольного верно0 6 ( − , − ) = (, ) − (, ) − (, ) + ||2 (, ).Положив =(, ), получим(, )0 6 (, ) −|(, )|2,(, )откуда следует требуемое неравенство. Известно, что линейное нормированное пространство является гильбертовым тогда и только тогда, когда в нем выполняется соотношение,называемое равенством параллелограмма:‖ − ‖2 + ‖ + ‖2 = 2‖‖2 + 2‖‖2 .Доказательство следует из следующих соотношений:‖+‖2 = (+, +) = (, )+(, )+(, )+(, ) = ‖‖2 +2 Re(, )+‖‖2 ;‖−‖2 = (−, −) = (, )−(, )−(, )+(, ) = ‖‖2 −2 Re(, )+‖‖2 .Равенство параллелограмма является, таким образом, критерием гильбертовости пространства. Если в линейном нормированном пространствене выполнено равенство параллелограмма, то в нем нельзя ввести скалярное произведение таким образом, чтобы выполнялись все четыре аксиомы гильбертова пространства.[︁ ]︁Пример. Рассмотрим пространство 0; , норма в котором опре2делена следующим образом:‖()‖ = max |()|.066286Функции () = sin , () = cos , очевидно, принадлежат этому пространству, причем ‖‖ = ‖‖ = 1.

Рассмотрим функции(︁√ )︁() + () = sin + cos = 2 sin +и4(︁√ )︁.() − () = sin − cos = 2 sin −4Очевидно, что ‖() + ()‖2 = 2 и ‖() − ()‖2 = 1. Но тогда равенствопараллелограмма не выполнено, так как 4 ̸= 3 ⇒ рассматриваемое пространство гильбертовым не является.Определение 2. Множество называется выпуклым, если∀ ∈ [0; 1] , ∈ ⇒ + (1 − ) ∈ .Теорема 1. В произвольном гильбертовом пространстве любоезамкнутое выпуклое множество содержит единственный элемент с наименьшей нормой.Доказательство. Пусть — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве . Обозначим = inf ‖‖.∈Тогда существует последовательность элементов таких, что = lim ‖ ‖,→∞причем ∀ ‖ ‖ > (это следует из определения точной нижней грани).

+ ∈ иТак как — выпуклое множество, ∀, 2⃦⃦⃦ + ⃦⃦⃦ > ⇒ ‖ + ‖2 > 42 .⃦⃦2С другой стороны, 2‖ ‖2 + 2‖ ‖2 → 42 при , → ∞, поэтому изпоследних двух соотношений и равенства параллелограмма для , ‖ − ‖2 = 2‖ ‖2 + 2‖ ‖2 − ‖ + ‖2следует, что ‖ − ‖ → 0 при , → ∞, то есть последовательность фундаментальна. Тогда в силу полноты и замкнутости получаем,что существует предел этой последовательности 0 ∈ :lim = 0 ,→∞87а так как |‖ ‖ − ‖0 ‖| 6 ‖ − 0 ‖, тоlim ‖ ‖ = ‖0 ‖ = .→∞Таким образом, существование элемента с наименьшей нормой доказано.Докажем его единственность.

Предположим, что существует другой элемент 1 ∈ , ‖1 ‖ = . Тогда ‖0 +1 ‖ > 42 (аналогично ‖ + ‖ > 42 )и‖0 − 1 ‖ = 2‖0 ‖2 + 2‖1 ‖2 − ‖0 + 1 ‖2 6 0,откуда следует ‖0 − 1 ‖ = 0 ⇒ 0 = 1 . Единственность доказана. Определение. Два элемента называются ортогональными ( ⊥ ),если их скалярное произведение равно 0.Определение. Элемент называется ортогональным множеству ( ⊥), если он ортогонален всем его элементам.Свойство: ⊥ ⇒ ⊥ (замыкание).Теорема 2 (Леви).

Пусть — гильбертово пространство, — подпространство в (замкнутое относительно сходимости по норме линейное многообразие). Тогда любой элемент ∈ можно единственнымобразом представить в виде = + , ∈ , ⊥ ,причем‖ − ‖ = min ‖ − ‖.∈Доказательство.

Пусть ∈ — произвольный элемент пространства.Рассмотрим следующее множество элементов H: = { = − | ∈ }.Легко проверить, что является замкнутым выпуклым множеством.Следовательно, по теореме 1 в существует элемент с наименьшей нормой:∃ ∈ : min ‖ − ‖ = ‖ − ‖.∈Положим = − . Докажем, что ⊥ ; это будет означать, что нужноепредставление найдено.

Рассмотрим множество элементов − , ∈ .Все такие элементы принадлежат множеству ; следовательно,‖‖2 6 ‖ − ‖2 = (, ) − (, ) − (, ) + ||2 (, ).88Можем считать, что ̸= 0 (иначе рассматриваемые элементы совпадаютс z). Положив(, )=,, получим|(, )|2−> 0 ⇒ ⊥ ∀ ∈ ⇒ ⊥ .(, )Осталось доказать единственность полученного представления. Допустим, что существует два представления: = 1 + 1 = 2 + 2 , 1 , 2 ∈ , 1 , 2 ⊥ .Тогда рассмотрим элемент = 1 − 2 = 2 − 1 . С одной стороны, онпринадлежит , так как — подпространство и 1 − 2 ∈ . С другойстороны, он ортогонален любому вектору из .

Но тогда он ортогоналени самому себе ⇒ = 0, откуда 1 = 2 и 2 = 1 . Единственность доказана. Определение 3. Ортогональным дополнением к подпространству гильбертова пространства называется множество всех элементов,ортогональных :⊥ = { ∈ | ⊥ }.(︀ )︀⊥Утверждение 2. = ⊥ .(︀ )︀⊥Доказательство.

Пусть ∈ ⊥ . По теореме 2 элемент представимв виде = + , ∈ , ∈ ⊥ .Тогда (, ) = 0. Кроме того, (, ) = (, ) + (, ); следовательно,(, ) = 0 ⇒ = 0 ⇒ = ∈ ,(︀ )︀⊥то есть ⊥ ⊆ . Обратно, пусть ∈ , тогда он представим в виде(︀ )︀⊥ = + , ∈ ⊥ , ∈ ⊥ .Проводя аналогичные рассуждения, приходим к выводу, что(︀ )︀⊥(︀ )︀⊥ ∈ ⊥ ⇒ ⊆ ⊥ .(︀ )︀⊥Следовательно, = ⊥ . 89Из теоремы 2 вытекает как следствиеТеорема 3. Пусть — произвольное гильбертово пространство, —подпространство в . Тогда представимо в виде суммы и его ортогонального дополнения: = ⊕ ⊥ .Определение. Ортопроектором на подпространство называетсяоператор = , где = + , ∈ , ⊥ .Определение 4.

Ядром линейного функционала () называетсямножество всех элементов, для которых () = 0:ker = { | () = 0 }.Лемма 1. dim(ker )⊥ = 1, если ̸= 0.Доказательство. Для двух произвольных элементов 1 , 2 ∈ (ker )⊥рассмотрим элемент = 1 (2 ) − 2 (1 ),являющийся нетривиальной линейной комбинацией рассматриваемых элементов (ker )⊥ . Очевидно, () = 0, тогда ∈ ker , ⊥ ⇒ = 0.Таким образом, любые два элемента 1 , 2 ∈ (ker )⊥ являются линейнозависимыми; следовательно,dim(ker )⊥ = 1. Теорема 3 (теорема Рисса — Фреше о представлении линейного функционала).

Любой линейный функционал в гильбертовомпространстве представим в виде () = (, ), ∈ ,причем элемент однозначно определяется по и ‖ ‖ = ‖‖.Доказательство. По лемме 1 любой элемент ∈ (ker )⊥ представимв виде(, ), ‖‖ = 1, ∈ (ker )⊥ .Кроме того, ker является подпространством в . В самом деле, ker является линейным многообразием в силу линейности и однородности90 , замкнутость следует из непрерывности . Мы рассматриваем ограниченные (а следовательно, и непрерывные) функционалы, иначе нельзяговорить о норме функционала.Следовательно, по теореме 2 для любого элемента ∈ существуетединственное представление = + (, ), ∈ ker , ‖‖ = 1, ∈ (ker )⊥ .Но тогда () = ( ) + (, ) () = (, ()).Обозначим = (). Покажем, что — искомый элемент.

Для любого ∈ верно| ()| = |(, )| 6 ‖‖‖‖ => ‖ ‖ 6 ‖‖.С другой стороны, верно () = (, ) = ‖‖2 ⇒‖ ()‖= ‖‖,‖‖откуда следует, что ‖ ‖ > ‖‖. Из этого и предыдущего неравенств следует, что ‖ ‖ = ‖‖.Таким образом, существование требуемого представления получено.Докажем единственность. Допустим, что существует два элемента 1 и2 , удовлетворяющих требованиям теоремы. Тогда∀ ∈ (, 1 ) = (, 2 ) ⇒ (, 1 − 2 ) = 0.Это значит, что (1 − 2 , 1 − 2 ) = 0; следовательно, 1 = 2 . Единственность доказана. Лемма 2. Для того, чтобы линейное многообразие было всюдуплотно в гильбертовом пространстве , необходимо и достаточно, чтобыне существовало никакого элемента , кроме нулевого, ортогонального.Доказательство.

Необходимость. Пусть линейное многообразие имеет замыкание, совпадающее с . Тогда для любого элемента ∈ существует последовательность элементов таких, что( , ) = ‖ − ‖ <911.Рассмотрим элемент ⊥ , ∈ . Тогда ⊥ для любого номера ,и∀ (, ) = ( − , ) + ( , ) = ( − , ) 6 ‖ − ‖‖‖ <‖‖.Следовательно, (, ) = 0. Таким образом, мы доказали, что верно ⊥ ⇒ ⊥ ,но тогда ⊥ . Следовательно, ⊥ .

Отсюда вытекает, что = 0.Достаточность. Допустим, что ̸= . Рассмотрим элемент ∈/ .Так как — подпространство в , по теореме 2 элемент представимв виде = + , ∈ , ⊥ ,причем ̸= 0 (иначе бы ∈ ). Так как элемент ортогонален замыканию многообразия , он ортогонален и самому многообразию .Получили ̸= 0, ⊥ , что противоречит условию. Значит, = . Определение 5. Система { } в гильбертовом пространстве называется ортонормированной, если{︃1, = ,( , ) = , =0, ̸= .Любая система линейно независимых элементов может быть ортогонализирована по Шмидту. Суть процесса ортогонализации заключаетсяв следующем.

Характеристики

Список файлов лекций