Лекции Капустина (1134955), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

: → R1 .Теорема 1 (теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала). Пусть — линейное нормированное пространство, ⊂ - линейное многообразие, на котором задан линейный функционал (). Тогда () можно продолжить на всё пространство с сохранением нормы, то есть на существует линейный функционал () такой,что:1. () = () на L;2. ‖ ‖ = ‖ ‖ .Доказательство.

А) Возьмём элемент 0 ∈/ и рассмотрим множество 0 = (, 0 ) элементов вида = + 0 , где ∈ , а ∈ R —произвольное вещественное число. Очевидно,что 0 является линейныммногообразием. Докажем, что все его элементы однозначно представимыв виде + 0 . Допустим, имеются два представления = 1 + 1 0 = 2 + 2 0 ,причём 1 ̸= 2 (иначе из 1 + 1 0 = 2 + 1 0 следовало бы, что 1 = 2 ,то есть представление было бы единственным). Тогда2 − 1 = (1 − 2 )0⇒0 =2 − 1.1 − 2Но 1 , 2 ∈ , поэтому и 0 должен принадлежать , что невозможно.Мы получили противоречие; следовательно, наше предположение неверно и представления элементов 0 единственны.Возьмём два элемента 1 , 2 ∈ .

Имеем (1 ) − (2 ) = (1 − 2 ) 6 ‖ ‖ ‖1 − 2 ‖ 6 ‖ ‖ [‖1 + 0 ‖ + ‖2 + 0 ‖].Отсюда (1 ) − ‖ ‖ ‖1 + 0 ‖ 6 (2 ) + ‖ ‖‖2 + 0 ‖.Поскольку 1 и 2 — произвольные элементы , выбранные независимодруг от друга, тоsup { () − ‖ ‖‖ + 0 ‖} 6 inf { () + ‖ ‖‖ + 0 ‖} .∈∈78Следовательно, существует вещественное число такое, чтоsup { () − ‖ ‖‖ + 0 ‖} 6 6 inf { () + ‖ ‖‖ + 0 ‖} .∈∈Возьмём теперь произвольный элемент ∈ 0 . Он имеет вид = + 0 ,где ∈ и ∈ R однозначно определены.

Введём новый функцинал(), определив его для элемента = + 0 равенством() = () − ,где — вещественное число, удовлетворяющее приведённому выше двойному неравенству.Очевидно, что функционал () является аддитивным ((1 + 2 ) =(1 ) + (2 )), а на совпадает с функционалом (). Докажем, что() ограничен и его норма совпадает с нормой ().Рассмотрим два случая:1. > 0 :)︁(︁ (︁ )︁− 6 ‖ ‖ ‖ + 0 ‖ = ‖ ‖ ‖ + 0 ‖ = ‖ ‖ ‖‖.() = 2. < 0 :)︁(︁ (︁ )︁− 6 − ‖ ‖ ‖ + 0 ‖ = ‖ ‖ ‖‖.() = Таким образом, неравенство () 6 ‖ ‖ ‖‖ справедливо для всех ∈ 0 .Заменяя в нём на (−), получим неравенство −() 6 ‖ ‖ ‖‖.

Следовательно, и |()| 6 ‖ ‖ ‖‖. Это значит, что ‖‖ 6 ‖ ‖. Посколькуфункционал является продолжением функционала с на 0 , вернои неравенство ‖‖ > ‖ ‖. Следовательно, ‖‖ = ‖ ‖.Пространство называется сепарабельным, если в нем существует счётное всюду плотное множество.Завершение доказательства теоремы проведём только для случая, когда пространство является сепарабельным.B) Так как сепарабельно, в нем существует счётное всюду плотноемножество.

Возьмём все элементы этого множества, не попавшие в , и79перенумеруем их: 1 , 2 , . . . . Построим соответствующие множества следующим образом:1 = (0 ; 1 ), 2 = (1 ; 2 ), . . . .Эти множества являются линейными многообразиями, поэтому мы можем построить функционал (), являющийся продолжением функцио∞̂︀ = ⋃︀ , причём ‖‖ = ‖ ‖.нала () с на =1Продолжим функционал () на всё пространство по непрерывно̂︀ то в силу того, что ̂︀ всюду плотности. Если элемент ∈ , но ∈/ ,̂︀ такая, что прив , найдётся последовательность {˜ } элементов ˜ ∈ → ∞ ˜ → (‖˜ − ‖ → 0).

Тогда|(˜ ) − (˜ )| = |(˜ − ˜ )| 66 ‖‖ ‖˜ − ˜ ‖ = ‖ ‖ ‖˜ − ˜ ‖ → 0 при , → ∞.Таким образом, последовательность {(˜ )} является фундаментальной,а потому сходится к некоторому пределу () = lim (˜ ).→∞Кроме того,|(˜ )| 6 ‖ ‖ ‖˜ ‖⇒| ()| 6 ‖ ‖ ‖‖.Из этого следует, что ‖ ‖ 6 ‖ ‖. Но, с другой стороны, функционал ()является продолжением функционала () с на , поэтому ‖ ‖ > ‖ ‖.Следовательно, ‖ ‖ = ‖ ‖.

Искомый функционал построен. Следствие 1. Пусть — линейное нормированное пространство,0 ̸= 0 — произвольный элемент . Тогда существует линейный функционал (), определённый на всём пространстве и такой, что1. ‖ ‖ = 1;2. | (0 )| = ‖0 ‖.Доказательство. Рассмотрим линейное многообразие = {0 }, где пробегает всевозможные вещественные числа. Множество являетсяподпространством пространства , определяемым элементом 0 . Определим на функционал () следующим образом: если = 0 , то() = ‖0 ‖.Очевидно, что801. (0 ) = ‖0 ‖;2. |()| = || ‖0 ‖ = ‖‖, откуда ‖‖ = 1Продолжая функционал () по теореме Хана-Банаха на всё пространство , получим функционал (), имеющий требуемые свойства.Следствие 2. Пусть — линейное нормированное пространство,элементы 1 , 2 ∈ и 1 ̸= 2 .

Тогда существует линейный функционал () такой, что (1 ) ̸= (2 ), ‖ ‖ = 1.Доказательство. Положим 0 = 1 − 2 . Тогда существование требуемого функционала вытекает из следствия 1.Теорема 2. Пусть — банахово пространство, { } — последовательность элементов из такая, что последовательность { ( )} ограничена для любого функционала ∈ * . Тогда последовательность { }ограничена в , то есть существует константа > 0 такая, что ‖ ‖ 6 .Доказательство. Рассмотрим последовательность операторов на * ,таких что = ( ).Поскольку * всегда является банаховым пространством, то по теоремеБанаха-Штейнгауза ‖ ‖ 6 .‖ ‖ = sup | ′ ( )|.‖ ′ ‖=1По следствию из теоремы 1 существует функционал 0 , такой что 0 ( ) =‖ ‖, ‖ ‖ = 1.Тогда ‖ ‖ = 0 ( ) 6 ‖ ‖ 6 .Теорема 3.

Пусть — банахово пространство, на котором заданапоследовательность линейных функционалов { }, причём при любом ∈ последовательность { } является ограниченной. Тогда найдётсяконстанта > 0 такая, что ‖ ‖ 6 .Доказательство. Частный случай теоремы Банаха-Штейнгауза.Определение 1. Последовательность { } элементов линейного нормированного пространства называется слабо сходящейся к элементу ∈ , если для любого линейного функционала ∈ * последовательность { ( )} сходится к () при → ∞.Утверждение. Слабый предел у последовательности может бытьтолько один.Доказательство. Вытекает из следствия 2 к теореме Хана-Банаха: для81двух различных пределов существует линейный оператор, который принимает на них разные значения.Следствие из теоремы 2. Слабо сходящаяся последовательностьограничена.Из сильной сходимости вытекает слабая сходимость, в силу неравенства| ( ) − ()| 6 ‖ ‖‖ − ‖.Из слабой сходимости, вообще говоря, сильная сходимость не вытекает(правда, в конечномерном пространстве эти сходимости равносильны,но в бесконечномерном пространстве это не так).

Стремный пример //!!! Например, рассмотрим в пространстве , > 1, последовательностьэлементов = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ), где единица стоит на позиции с∞∑︀номером ; ( ) = . Ряд| | сходится, поэтому ( ) = →=10 = (0) при → ∞, то есть последовательность { } слабо сходитсяк нулю. Но сильной сходимости здесь нет, так как последовательность{ } не является фундаментальной:1‖ − ‖ = 2 ̸→ 0 при , → ∞.Теорема 4. Для того, чтобы слабо сходящаяся последовательность{ } в банаховом пространстве являлась сильно сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для всех ∈ * , ‖ ‖ 6 1, последовательность{ ( )} сходилась равномерно.Доказательство. Сначала докажем необходимость. Если { } сильносходится к некоторому , то в единичном шаре ‖ ‖ 6 1 из неравенства| ( ) − ()| 6 ‖ ‖ ‖ − ‖ 6 ‖ − ‖вытекает существование для любого числа > 0 номера = () такого, что при > справедливо неравенство| ( ) − ()| < .Но это и означает равномерную сходимость последовательности { ( )}в единичном шаре ‖ ‖ 6 1.Теперь докажем достаточность.

Пусть последовательность { ( )}сходится равномерно в единичном шаре ‖ ‖ 6 1, то есть для любого82числа > 0 существует номер = () такой, что при > справедливо неравенство| ( ) − ()| < .Отсюда следует, что при > sup | ( ) − ()| 6 .‖ ‖61Применим следствие 1 из теоремы Хана-Банаха к элементу 0 = −. Всилу этого следствия существует функционал 0 () такой, что ‖0 ‖ = 1,а 0 ( − 0 ) = ‖ − 0 ‖. Но тогда‖ − 0 ‖ = 0 ( − 0 ) 6 sup | ( ) − ()| 6 ,‖ ‖61что и означает сильную сходимость последовательности { } к .Рассмотрим линейные функционалы в различных нормированных пространствах.1. Пусть = R — конечномерное пространство, а { }=1 — ортонормированный базис в нём. Тогда любой элемент ∈ R однозначнопредставим в виде∑︁= ,=1где — некоторые коэфициенты.

Следовательно, любой линейныйфункционал () в пространстве R однозначно представим в виде () =∑︁ ( ) =∑︁ ,=1=1то есть () однозначно определяется числами ( ) = , = 1, .2. Пусть = , > 1, — бесконечномерное пространство, а { }∞=1— ортонормированный базис в нём. Тогда представляет собойпространство элементов таких, что=∞∑︁ ,=1∞∑︁| | < +∞.=1Следовательно, любой линейный функционал () в имеет вид () =∞∑︁ ( ) ==1∞∑︁=183 ,то есть () однозначно определяется числами ( ) = , = 1, ∞.Выясним свойства чисел .

Для этого рассмотрим последовательность { } элементов{︃∞∑︁sgn · | |−1 , 6 ; 1 1()() =+ = 1. , где = 0,>=1Тогда‖ ( )‖ =∑︁| | 6 ‖ ‖‖ ‖ ==1= ‖ ‖(︃ ∑︁)︃ 1| |(−1)(︃= ‖ ‖∑︁)︃ 1| |.=1=1Следовательно,(︃∑︁)︃ 1| |6 ‖ ‖,=1поэтому ‖‖ 6 ‖ ‖.

Характеристики

Список файлов лекций