Лекции Капустина (1134955), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Предположим, что есть система линейно независимых элементов ℎ1 , ℎ2 , · · · ∈ . Тогда в качестве первого элемента положим1 =ℎ1.‖ℎ1 ‖Построим 2 . Сначала будем искать вектор 2 , ортогональный 1 , в виде2 = ℎ2 − 21 1 :(2 , 1 ) = 0 ⇒ 21 = (ℎ2 , 1 ).Тогда в качестве 2 возьмем вектор 2 = ‖22 ‖ . Предположим, что − 1элементов уже построено. Ищем -й элемент в виде = ℎ −−1∑︁=192 .Очевидно, если положить = (ℎ , ), ∀ ∈ 1 . .

. − 1 , то элемент будет ортогонален всем , ∀ ∈ 1 . . . − 1. Следовательно, осталось взятьв качестве -го элемента, =‖ ‖и мы получим {1 , . . . , } — ортонормированную систему.Продолжая этот процесс для всех номеров , мы получим ортонормированную систему 1 , 2 , · · · ∈ .Выбирая взвешенные метрики в качестве скалярного произведениянад пространством функций можно построить следующие ортонормированные системы из полинонов (т. е. = −1 ):∙ = −1, = 1, () = 1 — полиномы Лежандра.∙ = 0, = ∞, () = − — полиномы Эрмита.2∙ = −∞, = ∞, () = − — полиномы Чебышева.Определение 6. Любая ортонормированная система 1 , 2 , .

. . в гильбертовом пространстве называется ортонормированным базисом, еслизамыкание ее линейной оболочки совпадает со всем пространством:(1 , 2 , . . . ) = .Лемма. Пусть {1 , . . . , } — ортонормированная система в гильбертовом пространстве . Тогда (1 , . . .

, ) — подпространство в .Доказательство. То, что = (1 , . . . , ) является линейным многообразием, следует из определения линейной оболочки. Поэтому достаточно доказать, что будет замкнутым относительно сходимости по нормемножеством. Пусть { } — фундаментальная последовательность элементов . В силу полноты пространства эта последовательность сходитсяк некоторому элементу из , причем этот предел определен однозначно.Нужно показать, что этот предел будет принадлежать .Для любого > 0 найдется номер () такой, что‖ − ‖ < ,∀, > ().Но так как , ∈ , они представимы в виде =∑︁ , ==1∑︁=193 ;следовательно,‖ − ‖ =∑︁| − |2 < .=1Отсюда следует, что для любого номера 1 6 6 последовательность{ } является фундаментальной; следовательно,∃lim = ,→∞∀ = 1, .

. . , .Но тогда для произвольного > 0 существует такой номер (), что длялюбого номера > () справедливо неравенство| − | <одновременно для всех номеров , 1 6 6 (достаточно взять максимальный из таких номеров по всем 1 6 6 ). Но тогда элемент∑︀= и является искомым пределом последовательности { }, так=1как∑︁‖ − ‖ =| − |2 < ,=1причем ∈ = (1 , . . . , ).

Таким образом, (1 , . . . , ) является подпространством. Теорема 4. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует счетный ортонормированный базис.Доказательство. Пусть — сепарабельное гильбертово пространство.Тогда существует счетное всюду плотное множество элементов 1 , 2 , . . . ∈:(1 , 2 , . . .) = .В качестве первого элемента 1 искомой системы положим1 =1.‖1 ‖Соответствующая 1 линейная оболочка(1 ) = { 1 | ∈ }является подпространством в , поэтому по теореме 2ℎ2 = ℎ2 + 2 , ℎ2 ∈ (1 ), 2 ⊥ (1 ),94где ℎ2 линейно независим с (1 ) (такой элемент существует в силу бесконечномерности пространства).

Выберем в качестве второго элемента2 =2, (1 , 2 ) = {1 + 2 }.‖2 ‖Аналогично, для выбора третьего элемента находим элемент ℎ3 , линейнонезависимый с (1 , 2 ):ℎ3 = ℎ3 + 3 , ℎ3 ∈ (1 , 2 ), 3 ⊥ (1 , 2 ).В качестве 3 выбираем элемент3 =3,‖3 ‖и так далее.По построению 1 , 2 , . . . — ортонормированная система. Она являетсябазисом, поскольку, опять же, по построению(1 , 2 , . . .) = (1 , 2 , . . .) = . Определение 4.

Ортонормированная система в гильбертовом пространстве называется полной, если не существует никакого элемента,кроме 0, ортогонального всем элементам системы. Система называется замкнутой, если замыкание ее линейной оболочки совпадает со всемпространством.Таким образом, замкнутость равносильна полноте (в силу леммы 2).Лемма. Пусть ⊂ — некоторое замкнутое подпространство, { }∞=1— ортонормированная система в .

Тогда ∀ ∈ ∀ > 0 существует∑︀ ∈ N, { } из поля, такие что выполняется ‖ − ‖2 < .=1Доказательство.‖ −∑︁=122 ‖ = ‖ ‖ −∑︁ (, ) −∑︁ ( , ) +=1=1∑︁ ( , ) =,=12= { = (, )} = ‖ ‖ −∑︁=12| | +∑︁| − |2=1Очевидно, что минимальная норма разности достигается при = .Эти числа называются коэффициентами разложения в ряд Фурье.95Отсюда немедленно получаем неравенство Бесселя:∞∑︀|(, )|2 6 ‖ ‖2 .=1Использовав замкнутость превращаем неравенство Бесселя в ра∞∑︀венство Парсеваля:|(, )|2 = ‖ ‖2 .=1Теорема 5. Любые два сепарабельные гильбертовы пространстваизометричны (существует биекция, сохраняющая расстояния) и изоморфны (существует биекция, сохраняющая линейные комбинации) между собой.Доказательство. Пусть 1 , 2 — произвольные гильбертовы пространства. Достаточно доказать, что 1 и 2 изометричны и изоморфны 2 ,тогда они будут изоморфны и изометричны друг другу.

Следовательно,достаточно доказать, что любое гильбертово пространство H изоморфнои изометрично 2 .Возьмем произвольный элемент ∈ . По теореме 4 в существуетбазис и верно соотношение‖‖2 =∞∑︁2 ,=1где — коэффициенты Фурье разложения по этому базису. Тогда в 2существует элемент˜ = (1 , 2 , . . . ).Очевидно, что ‖˜‖ = ‖‖.Обратно, покажем, что любому элементу в 2 соответствует элемент в, причем их нормы совпадают. Рассмотрим элемент ˜ = (1 , 2 , . . .

) ∈ 2 .Рассмотрим в пространстве последовательность =∑︁ .=1Эта последовательность будет фундаментальной (так как∞∑︀| |2 →=0, → ∞). В силу полноты существует элемент ∈ , являющийсяпределом этой последовательности:lim = .→∞В силу непрерывности скалярного произведения, (, ) = для любогономера k. Тогда ‖‖ = ‖˜‖.

96Теорема 6 (теорема Рисса — Фишера). 2 и 2 над одним полемизометричны и изоморфны.Теорема 7 (о слабой компактности в H). Пусть — сепарабельное гильбертово пространство, { } — последовательность элементов такая, что ‖ ‖ < , > 0. Тогда существует подпоследовательность{ }, сходящаяся слабо. (также последовательность { } называетсяслабо компактной)Доказательство. По теореме 4 в существует базис { }. Рассмотрим последовательность {( , 1 )}. Она ограничена, следовательно, изнее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {(1 , 1 )}. Далее, можно выделить {2 } — подпоследовательность {1 }, такую, чтопоследовательность {(2 , 2 )} будет сходящейся.

Продолжая этот процесс, получим, что для любого номера существует подпоследовательность { } такая, что последовательность {( , )} будет сходящейся.Выберем следующую (диагональную) подпоследовательность:˜ = .Для неё последовательность {(˜ , )} будет сходящейся для любого базисного элемента .В силу замкнутости базиса { } для любого элемента ∈ ∑︁.∀ > 0 ∃Ψ = , ‖ − Ψ ‖ <4=1Кроме того, для любого номера последовательность {(˜ , )} фундаментальна, так как она является сходящейся.

Тогда найдется номер ()такой, что|(˜ − ˜ , )| <2 max166 одновременно для всех , 1 6 6 . Тогда|(˜ − ˜ , )| == |(˜ − ˜ , Ψ ) + (˜ − ˜ , − Ψ ) 6 |(˜ − ˜ , Ψ )| + ‖˜ − ˜ ‖‖ − Ψ ‖ 6∑︁∑︁=| ||(˜ − ˜ , )| + <6 |(˜ − ˜ , )| + 2 ·42=1=1< max ·= .1662 max 16697Таким образом, последовательность (˜ , ) является фундаментальнойдля любого ∈ .Рассмотрим функционал () = lim (˜ , ).

По теореме Рисса-Фреше→∞(теорема 3) существует единственный элемент 0 ∈ такой, что () = (0 , ) ∀ ∈ .Тогда () = (0 , ) = lim (˜ , ), то есть 0 является слабым пределом→∞последовательности {˜ }.§11. Сопряженный оператор.Определение 1. Пусть задан линейный оператор : → , и — линейные нормированные пространства. Тогда для любого линейногофункционала () ∈ * определен функционал () = (), ∈ * .Таким образом, можно определить отображение* : * → * , обозначается = * ,называемое сопряженным оператором.Если сопряженный оператор существует, то он является линейным:( + )* = * + * .Теорема 1.

Пусть , — линейные нормированные пространства изадан линейный ограниченный оператор : → . Тогда существуетсопряженный оператор * : * → * , который также является линейным и ограниченным и ‖* ‖ = ‖‖.Доказательство. Существование и линейность следуют непосредственно из определения. Поэтому остается доказать, что сопряженный оператор ограничен и его норма совпадает с нормой оператора .С одной стороны,| ()| = |()| 6 ‖‖‖‖ 6 ‖‖‖‖‖‖.98Cледовательно, для любого ̸= 0 верно неравенство| ()|6 ‖‖‖‖;‖‖но тогда‖ ‖ = sup̸=0| ()|6 ‖‖‖‖‖‖*и ‖ ‖ 6 ‖‖‖‖. Таким образом, сопряженный оператор ограничен и‖* ‖ 6 ‖‖.С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха о продолжении линейного функционала для любого элемента 0 ∈ существуетлинейный функционал 0 такой, что‖0 ‖ = 1 и 0 (0 ) = ‖0 ‖.Но тогда получаем, что‖0 ‖ = 0 (0 ) = 0 (0 ) 66 ‖0 ‖‖0 ‖ = ‖* 0 ‖‖0 ‖ 66 ‖* ‖‖0 ‖‖0 ‖ = ‖* ‖‖0 ‖.Отсюда вытекает, что ‖‖ 6 ‖* ‖.

Следовательно, ‖* ‖ = ‖‖.Следствие. Если операторы и * являются сопряженными в гильбертовом пространстве , то для любых двух элементов , ∈ верно(, ) = (, * ).Доказательство следует из теоремы Рисса — Фреше.Определение 2. Образом оператора : → называется множествоIm = { ∈ | = }.Ядром оператора : → называется множествоker = { ∈ | = 0 }.Теорема 2. Пусть — гильбертово пространство, — оператор,действующий в , * — сопряженный к оператор. Тогда = Im ⊕ ker * .99Замечание.

Очевидно, ker = ker , однако образ оператора, вообщеговоря, замкнутым не является. В доказательстве же существенно используется тот факт, что Im является подпространством. Поэтому вформулировке фигурирует именно замыкание образа.Доказательство. Достаточно доказать, что⊥ker * = Im ,так как Im — подпространство и для любого подпространства L = ⊕ ⊥ .Рассмотрим произвольный элемент ∈ ker * . Для него верно * =0.

По следствию из теоремы 1 для любого элемента ∈ справедливо⊥(, ) = (, * ). Значит, ∈ Im ⊥ , откуда следует, что ∈ Im (доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2 пара⊥графа 10). Следовательно, ker * ⊆ Im .⊥Рассмотрим теперь произвольный элемент ∈ Im . Очевидно, ∈Im ⊥ .

Для любого элемента ∈ справедливо (, ) = (, * ). Сдругой стороны, (, ) = 0, поэтому∀ ∈ , (, * ) = 0 ⇒ (* , * ) = 0 ⇒ ‖* ‖2 = 0 ⇒ * = 0.⊥Получаем, что ∈ ker * . Следовательно, Im ⊆ ker * . Таким обра⊥зом, Im = ker * . §12. Компактные и вполне непрерывные операторы.Определение 1. Множество линейного нормированного пространства называется компактным, если любая последовательность элементов множества содержит подпоследовательность, сходящуюся кэлементу из пространства .Множество называется предкомпактным или относительно компактным, если любая последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.100Если пространство полное, то любая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства, тогда компактностьи предкомпактность совпадают.Определение 2.

Характеристики

Список файлов лекций