Задачник (1134178), страница 9
Текст из файла (страница 9)
pODSTAWIM OB]EE RE[ENIE W NA^ALXNYE USLOWIQ, ZADANNYENA ODNOJ IZ HARAKTERISTIK( uy=6x = f (7x) + g(0) = '(x);(16)uy y=6x = f 0 (7x) + g0 (0) = (x):nEOBHODIMOE USLOWIE RAZRE[IMOSTI SISTEMY (16) IMEET WID'0 (x) = 7 (x) + const;PRI^EM IZ SISTEMY (16) NAJTI MOVNO TOLXKO FUNKCI@ f ( ); AFUNKCIQ g() NE OPREDELQETSQ.A) pRIMER NA^ALXNYH DANNYH, PRI KOTORYH ZADA^A kO[IIMEET RE[ENIE:'(x) = 7x2 ;(x) = 2x:rE[ENIE ZADA^I NEEDINSTWENNO:u(t; x) = 17 (x + y)2 + g(y 6x);GDE g() 2 C 2 (R) | L@BAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQMg(0) = g0 (0) = 0:B) pRIMER NA^ALXNYH USLOWIJ, PRI KOTORYH ZADA^A kO[INE IMEET RE[ENIQ:'(x) = x2 ;(x) = 2x:w \TOM SLU^AE SISTEMA (16) PROTIWORE^IWA.79zADA^A3.27.pRI KAKIH A I ! SU]ESTWUET RE[ENIE u 2 C 2 (R + R + ) W R + R +KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx; ux=0 = cos !t; ut=0 = A e x2 ; utt=0 = 0 ?nAJTI \TO RE[ENIE.rE[ENIE.
oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ STRUNY IMEET WIDu(x; t) = f (x t) + g(x + t):pRI x > t RE[ENIE OPREDELQETSQ PO FORMULE dALAMBERA:u(x; t) = f (x t) + g(x + t) = A e (x t)2 + e (x+t)2 :2pRI x < t IMEEMu(x; t) = f (x t) + g(x + t) = f (x t) + A2 e (x+t)2 ;GDE PADA@]AQ WOLNA g( ) TA VE, ^TO PRI x > t, A OTRAVENNAQWOLNA f ( ), < 0, NAHODITSQ IZ GRANI^NOGO USLOWIQ:u = f ( t) + A e t2 = cos !t () f ( ) = cos ! A e 2 :x=0tOGDA PRI x < t22u(x; t) = A2 e (x+t)2 e (x t)2 + cos !(x t):fUNKCIQ u(x; t) PRINADLEVIT KLASSU C 2 (R + R + ), ESLI ONA IMEET DWE NEPRERYWNYE PROIZWODNYE NA UGLOWOJ HARAKTERISTIKEx = t. dLQ \TOGO FUNKCIQf ( ), ZADAWAEMAQ f ( ) = Ae 2 =2 PRI2 > 0 I f ( ) = Ae =2 + cos ! PRI < 0, DOLVNA BYTX KLASSA C 2 W NULE, TO ESTXf (+0) = f ( 0);() A = 1 A ; () A = 1;f 0 (+0) = f 0( 0)f 00 (+0) = f 00 ( 0)8022(WYPOLNENO WSEGDA),p() 1 = 1 !2 () ! = 2;TAK KAKf 0 (+0) = ef 0 ( 0) = e2 = 0;=02 ! sin !t f 00 (+0) =e 2 + 2 2 e=02 = 0;= 1;=0f 00 ( 0) = e 2 2 2 e 2 !2 cos ! =0 = 1 !2 ;pRI NAJDENNYH ZNA^ENIQH A I ! POLU^IM DWAVDY NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE RE[ENIE ZADA^I:((x+t)2 + e (x t)2 =2;ex > t;pu(t; x) =e (x+t)2 e (x t)2 =2 + cos 2 (x t) ; x < t:zADA^A3.33.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W [0; 1] R + SME[ANNOJ ZADA^Iutt = 4uxx; ux=0 = ux=1 = 0;ut=0 = 4 sin3 x; ut t=0 = 30x(1 x):1 , GDE3A) nAJTI ff (t) =B) nAJTI u(x; 2).rE[ENIE.
A)f 0 (t) =ZZ10u2t (x; t) + 4u2x(x; t) dx.12ut(x; t)utt (x; t) + 8ux(x; t)utx (x; t) dx =0= f IZ URAWNENIQ utt = 4uxx g ==8Z1ut (x; t)uxx (x; t) + ux(x; t)utx (x; t) dx =0x=1= fPO ^ASTQMg = 8ut (x; t)ux (x; t)8Z01utx (x; t)ux (x; t)dx + 8Z0x=01ux (x; t)utx (x; t)dx = 0;81PODSTANOWKA RAWNA NUL@ IZ GRANI^NYH USLOWIJ:ux=0 = ux=1 = 0 =) ut x=0 = ut x=1 = 0:tAK KAK f 0 (t) = 0; TO f (t) const, If1 = f (0) =3Z10u2t (x; 0) + u2x (x; 0) dx:dLQ TOGO, ^TOBY NAJTI ux(x; 0); PRODIFFERENCIRUEM NA^ALXNOEUSLOWIE u(x; 0) = 4 sin3 x PO x. pOLU^IMf1 =3Z10(30x(1 x))2 + 4(12 sin2 x cos x)2 dx = 30 + 362:B) nAJDEM OB]EE RE[ENIE ZADA^I METODOM fURXE:u(x; t) =1 XAn cos 2nt + Bn sin 2nt sin nx:n=1tOGDA RE[ENIE u(x; t) 1-PERIODI^NO PO WREMENI, Iu(x; 2) ==zADA^A1 Xn=11Xn=1An cos 4n + Bn sin 4n sin nx =An sin nx = u(x; 0) = 4 sin3 x:3.39.A) nAJTI WSE k > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII'(x) 2 C 1 ((0; )) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE RE[ENIE W [0; ] R + ZADA^Iutt = 9uxx ; ux=0 = (ux ku)x= = 0;ut=0 = 0; utt=0 = '(x):B) dLQ k = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 ((0; l)), DLQKOTORYH RE[ENIE u(t; x) \TOJ ZADA^I OGRANI^ENO.82rE[ENIE.
A) rAZDELQQ PEREMENNYE, POLU^AEM, ^TO RE[ENIE ZADA^I I]ETSQ W WIDE RQDAu(t; x) =1Xj =1Tj (t)Xj (x)GDE SISTEMA FUNKCIJ Xj (x) 6 0 | RE[ENIE ZADA^I {TURMA{lIUWILLQXj00 (x) = j Xj (x); Xj (0) = 0; Xj0 () kXj () = 0; (17)A FUNKCII Tj (t) | RE[ENIQ ZADA^ITj00 = 9j Tj ; Tj (0) = 0; Tj0 (0) =Z0.Z'(x)Xj (x)dx0Xj2 (x)dx:(18)rASTU]IE PO t RE[ENIQ U ZADA^I (18) MOGUT BYTX LI[X WSLU^AE j > 0, PRI^EM OBQZATELXNO ONI I BUDUT, ESLI TOLXKOTj0(0) =6 0.
tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMO PONQTX, KOGDA U ZADA^I{TURMA{lIUWILLQ (17) BYWA@T NEOTRICATELXNYE SOBSTWENNYEZNA^ENIQ j .nENULEWOE RE[ENIE Xj (x) ZADA^I (17) S j = 0 S TO^NOSTX@DO UMNOVENIQ NA KONSTANTU IMEET WID Xj (x) = x (KAK LINEJNAQFUNKCIQ S NULEWYM ZNA^ENIEM W NULE) I SU]ESTWUET TOLXKO WSLU^AE, ESLI \TA FUNKCIQ UDOWLETWORQET GRANI^NOMU USLOWI@ WTO^KE , TO ESTX1 k = 0() k = 1=:w SLU^AE j = !2 > 0, ! > 0, WWIDU USLOWIQ Xj (0) = 0\TO RE[ENIE IMEET WID Xj (x) = sh !x (OPQTX-TAKI S TO^NOSTX@DO UMNOVENIQ NA KONSTANTU), I ONO SU]ESTWUET W SLU^AE, ESLISLEDU@]EE URAWNENIE OTNOSITELXNO ! IMEET RE[ENIE! ch ! k sh ! = 0() k th ! = !; (19)^TO, W SWO@ O^EREDX, BUDET, ESLI PROIZWODNAQ FUNKCII f (!) =k th ! W NULE MENX[E 1, TO ESTX k > 1.
zAMETIM, ^TO W SILU STROGOJ WYPUKLOSTI WWERH FUNKCII f (!) NA POLOVITELXNOJPOLUOSI URAWNENIE (19) IMEET NE BOLEE ODNOGO RE[ENIQ ! > 0.83sLEDOWATELXNO, NEOGRANI^ENNOE PO WREMENI RE[ENIE ISHODNOJ ZADA^I SU]ESTWUET PRI k > 1=.B). eSLI k = 1, TO, KAK UKAZANO WY[E, ZADA^A {TURMA{lIUWILLQ (17) IMEET ROWNO ODNO POLOVITELXNOE SOBSTWENNOEZNA^ENIE 1 > 0, I RE[ENIE u(t; x) BUDET OGRANI^ENO TOGDAI TOLXKO TOGDA, KOGDA SOOTWETSTWU@]AQ SOBSTWENNAQ FUNKCIQX1 (x) NE BUDET U^ASTWOWATX W RAZLOVENII \TOGO RE[ENIQ, TOESTX T10 (0) = 0.
|TO OZNA^AET, ^TOZ0zADA^A'(x)X1 (x)dx = 0:4.9.pRI KAKIH USLOWIQH NA FUNKCI@ ' 2 C01 (0; 1) L@BOE RE[ENIEu(t; x) ZADA^I88< ut = uxx ; x 2 (0; 1); t > 0< ut = uxx ; x 2 (0; 1); t > 0B) : uxx=0 = uxx=1 = 0A) : ux=0 = uxx=1 = 0ut=0 = '(x)ut=0 = '(x)OBLADAET SWOJSTWOM u(t; x) ! 0 PRI t ! +1?rE[ENIE.A) nAJDEM RE[ENIE ZADA^I METODOM fURXEu(t; x) =1Xn=02 n+ 1 2 t'n e ( 2 ) sin n + 12 x;GDE 'n | KO\FFICIENTYRAZLOVENIQFUNKCII '(x) PO BAZISUsin n + 12 x; n = 0; 1; ::: : sLEDOWATELXNO, u(t; x)t!1! 0 PRIL@BOJ FUNKCII '(x) 2 C01 (0; 1):B) pRI GRANI^NYH USLOWIQH WTOROGO RODA RE[ENIE IMEET WIDu(t; x) = '0 +1Xn=1'n e 2n2 t cos(nx);GDE 'n | KO\FFICIENTY fURXE RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) PO BAZISU 1; cos(nx); n =1; 2; ::: : sLEDOWATELXNO, tlim!1 u(t; x) = '0 ;84A KO\FFICIENT '0 =0 PRI SLEDU@]EM USLOWII NA FUNKCI@ '(x) :Z10'(x) dx = 0:s TO^KI ZRENIQ FIZIKI \TO USLOWIE OZNA^AET, ^TO PREDELXNAQ TEMPERATURA STERVNQ S TEPLOIZOLIROWANNYMI KONCAMI RAWNA SREDNEMU ZNA^ENI@ NA^ALXNOJ TEMPERATURY.
tEMPERATURASTERVNQ STREMITSQ K NUL@ S TE^ENIEM WREMENI TOLXKO W TOMSLU^AE, ESLI SREDNEE ZNA^ENIE NA^ALXNOJ TEMPERATURY RAWNONUL@.zADA^A4.21.pUSTX u(t; x) | RE[ENIE W Q1(0;) ZADA^Iux=0 = uxx= = 0;ut = uxx;ut=0 = '(x);GDE '(0) = '0 () = 0.A) dOKAZATX, ^TO sup ju(1; x)j 6 sup j'(x)j:B) wERNO LI, ^TO0<x<0<x<sup ju(1; x)j 6 12 sup j'(x)j ?0<x<0<x<rE[ENIE. A). pRODOLVIM FUNKCI@ u(t; x) ^ETNYM OBRAZOM ^E-REZ TO^KU NA MNOVESTWO x 2 (; 2), TO ESTX POLOVIM u~(t; x) =u(t; 2 x) PRI x 2 (; 2).
pOSTROENNAQ FUNKCIQ u~(t; x) QWLQETSQ RE[ENIEM KRAEWOJ ZADA^Iu~t = u~xx; x 2 (0; 2); t > 0;u~jx=0 = u~jx=2 = 0; u~jt=0 = '~(x);GDE FUNKCIQ '~(x) QWLQETSQ ANALOGI^NYM PRODOLVENIEM '(x) NAOTREZOK [0; 2]. w SILU PRINCIPA MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OGRANI^ENNOJ OBLASTI, RE[ENIE u~(t; x) PRINIMAET MAKSIMALXNOE PO MODUL@ ZNA^ENIE PRI t = 0 (TAK KAK u~RAWNO 0 NA BOKOWOJ GRANICE x = 0 I x = 2). iTAK,sup ju(1; x)j = sup ju~(1; x)j 6 sup j'~(x)j = sup j'(x)j:0<x<0<x<20<x<20<x<85B). nEWERNO. pRIMER: '(x) = sin(x=2); SOOTWETSTWU@]EE RE[ENIE u(t; x) = e t=4 sin(x=2), TOGDAsup ju(1; x)j = e 1=4 ;sup j'(x)j = 1;0<x<0<x<e 1=4 > 1=2, TAK KAK e < 24 .zADA^A4.33.zADA^A4.34.zADA^A4.35.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I2 + sin xut = 4uxx; ut=0 = x1 +2x2 :nAJTI t!limu(x; t):+1pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[Iut = uxx; ut=0 = arcctg x:nAJTI t!limu(x; t):+1pUSTX u(x; t) | OGRANI^ENNOE RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[Iut = uxx; ut=0 = '(x) 2 C (R) \ L1 (R):nAJTI t!limu(0; t), ESLI+11 Z l '(x) dx = A:liml!+1 llrE[ENIE ZADA^ 4.33{4.35 OSNOWANO NA TEOREMAH O STABILIZACII:pUSTX u(x; t) | OGRANI^ENNOE RE[ENIE ZADA^I kO[I:(ut = uxxW R R+ ;u t=0 = '(x);x 2 R;86'(x) 2 C (R) \ L1 (R): tOGDA1.
eSLIlim '(x) = A; x!lim1 '(x) = B;(20)x!+1TO t!limu(x; t) = A +2 B :+12. eSLIlZ1lim'(x)dx = A;l!+1 l(21)lA:TO t!limu(x;t)=+123. eSLI '(x) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO lim u(x; t) = '0 ;t!+1GDE '0 | NULEWOJ KO\FFICIENT RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) W RQDfURXE, TO ESTX PROSTRANSTWENNOE SREDNEE FUNKCII '(x).dOKAZATELXSTWA.pREDSTAWIM ' W WIDE SUMMY SWOEJ ^ETNOJ I NE^ETNOJ SOSTAWLQ@]IH '+ = '(x) +2'( x) ; ' = '(x) 2'( x) : w SILUFORMULY pUASSONA POLU^IM, ^TO1.u(x; t) = p12 tZ112'+ ( ) exp( 4tx) )d +1Z2' ( ) exp( ( 4tx) )d = = p x =+ p12 t 12 t= p1Z1t 1+ p1Z1t 1p'+ (x + 2 t) exp( 2 )d+p' (x + 2 t) exp( 2 )d =87= p1Z1t 1p'+ (2 t) exp(+ p1Z1t 1+ p12 )d+ p1pZ1t 1p' (2 t) exp( 2 )d+p('+ (x + 2 t) '+ (2 t)) exp( 2 )d+Z1pp(' (x + 2 t) ' (2 t)) exp( 2 )d:t 1wTOROJ INTEGRAL RAWEN NUL@, TAK KAK BERETSQ OT NE^ETNOJFUNKCII PO SIMMETRI^NOMU PROMEVUTKU.
tRETIJ I ^ETWERTYJDOPUSKA@T OCENKU PO MODUL@ WELI^INAMIpppx )) ' (2pt)j: := j' (x+2 t) ' (2 t)j = j' (2 t(+ p2 teSLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA, TO f~(x) = f (kx); k = const 6= 0;- TOVE NEPRERYWNA, TO ESTX f~(x + x) ! f~(x); x ! 0: wYBEREM W KA^ESTWEp f (x) - L@BU@ IZ FUNKCIJ 'x (x), W KA^ESTWE k WELI^INU 2 t, W KA^ESTWE x - WELI^INU p. tAKIM OBRAZOM,2tx ! 0; TO ESTX PRI t ! 1: ! 0 PRI p2 trASSMOTRIM OSTAW[IJSQ PERWYJ INTEGRAL.
oN MOVET BYTXPREOBRAZOWAN KAKp1Z1 pp'(2 t) + '( 2 t)A + B exp( 2 )d + A + B :222t 1w \TOM WYRAVENII INTEGRAL STREMITSQ K NUL@ W SILU (20)PRI t ! 1: tAKIM OBRAZOM, OKON^ATELXNO POLU^IM, ^TOlim u(x; t) = A + B :t!+12.2ZxoBOZNA^IM F (x) = '( )d: uSLOWIE (21) OZNA^AET, ^TO088lim F (l) l F ( l) = A:l!1(21)oBOZNA^IM F+ (x) I F (x) ^ETNU@ I NE^ETNU@ SOSTAWLQ@]IEFUNKCII F (x):sOGLASNO FORMULE pUASSONA1Z2u(x; t) = p1'+ ( ) exp( 4tx) )d +2 t 11Z2+ p1' ( ) exp( ( 4tx) )d =2 t 11 F ( ) exp( x)2 j=lp= llim!1 2 t4t = l1Z21pF+ ( ) x 2t exp( 4tx) )d2 t 1p1Z12 t 12F ( ) x 2t exp( 4tx) )d:oBOZNA^IM \TI WYRAVENIQ L; I1 ; I2 ; I PREOBRAZUEM IH, SDELAWZAMENU = p x :2 t1 F (x + 2pt) exp( 2 )j=l =pL = llim= l!1 2 t1 (F (2ptl) F ( 2ptl)) exp( l2 )+pliml!1 2 t1 (F (x + 2ptl) F (2ptl)) exp( l2)p+ llim!1 2 t1 (F ( x 2ptl) F ( 2ptl)) exp( l2) =pliml!1 2 tAl exp( l2 ) + lim px '(2ptl + x) exp( l2)p= llim1!1 l!1 2 tx '( 2ptl x) exp( l2 );plim2l!1 2 t891 ; 2 2 (0; 1); (MY WOSPOLXZOWALISX ZDESX TEOREMOJ lAGRANVA).eSLI WSPOMNITX, ^TO FUNKCIQ ' OGRANI^ENA, TO POLU^IM, ^TOL = 0 DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO x: dALEE,ppZ11F (x + 2 t) + F ( x 2 t) exp( 2 )d =I1 = p2t 1ppZ11F (2 t) + F ( 2 t) exp( 2 )d+=p2t 1ppZ1F (x + 2 t) F (2 t) exp( 2 )d++ p12t 1ppZ1F(x2t)F(2t) exp( 2 )d:1+p2t 1w PERWOM IZ INTEGRALOW PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ NE^ETNAQ,PO\TOMU ON RAWEN NUL@.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
