Задачник (1134178), страница 7
Текст из файла (страница 7)
oB]EE RE[ENIEURAWNENIQ lAPLASA IMEET WID1Xu(; ) = A0 + B0 ln +An n + Bnn cos n +n=11X+Cn n + Dnn sin n:n=1tAK KAK FUNKCIQ u(; ) DOLVNA BYTX OGRANI^ENA W RASSMATRIWAEMOJ OBLASTI, TO| DLQ ZADA^I W KOLXCE (R1 < < R2 ) NENULEWYMI MOGUT BYTXWSE KO\FFICIENTY,| DLQ ZADA^I W KRUGE ( < R) B0 = Bn = Dn = 0 (n = 1; 2; ::: );| DLQ ZADA^I WO WNE[NOSTI KRUGA ( > R) B0 = An = Cn = 0(n = 1; 2; ::: ):oSTAW[IESQ KO\FFICIENTY OPREDELQ@TSQ IZ GRANI^NOGOUSLOWIQ.
nAPRIMER, DLQ RE[ENIQ WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLEu = 0; < R;u=R = f ();57RAZLOVIWFUNKCI@ f () W RQD fURXE PO BAZISU1; cos n; sin n; n = 1; 2; ::: ; POLU^IM22Z1A0 = 2 f () d;Z1An = Rn f () cos n d;002Z1Cn = Rn f () sin n d:0pOTENCIALYrASMOTRIM OBLASTX ; GRANICA KOTOROJ UDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@ lQPUNOWA:nX@TONOW POTENCIALZu1(x) = En (x y)f (y) dy:tAKOJ POTENCIAL NAZYWA@T E]E PROSTRANSTWENNYM (n > 3) ILIPLO]ADNYM (LOGARIFMI^ESKIM) (n = 2).pOTENCIAL PROSTOGO SLOQu2 (x) =Z@En (x y)q(y) dsy :pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQu3(x) =Z@@ En (x y) m(y) ds :y@ytEOREMA O TREH POTENCIALAH. l@BAQ FUNKCIQ u 2C 2 () \ C 1 () PREDSTAWLQETSQ W SUMMUu(x) = u1(x) + u2 (x) + u3 (x);58GDE f (y) = u(y); q(y) = @u@(y) ; A m(y) = u(y):tEOREMA O POTENCIALE PROSTOGO SLOQ.
pOTENCIAL PROSTOGO SLOQ NEPRERYWEN W Rn :tEOREMA O SKA^KE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ. sU]ESTWU@T FUNKCII u3 2 C () I u+3 2 C (Rn n) TAKIE, ^TO1) u3 = u3 W ; u+3 = u3 W Rn n+2) u3 +2 u3 = u3 NA @ ;3) u+3 u3 = 2m NA @ :aNALOGI^NOE UTWERVDENIE WERNO PRO NORMALXNU@ PROIZWODNU@ POTENCIALA PROSTOGO SLOQ.tEOREMA O SKA^KE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ POTENCIALA PROSTOGO SLOQ.@u2(x0 ) = @u2(x0 ) q(x ):0@x0@x0zDESX@u2(x0 ) = lim u2 (x0 ) u2 (x00 ) : pRI \TOM x0 2 (x ; x00 ):000 !x ;jx0 x00 j@x0x0 ;x0 00 0x ;x 2;x0 ;x00 2xo@u2(x0 ) = lim u2(x0 ) u2 (x00 ) : pRI \TOM x00 2 (x ; x0 ):0jx0 x00 j@x+0x0 0 ;x0000 !nx0 ;x ;x0 200 R n;x ;x 2xo5.27. nAPISATX FORMULU, DA@]U@ RE[ENIE ZADA^I dIRIHLEDLQ URAWNENIQ lAPLASA W Ban (0), I DOKAZATX, ^TO FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ \TOJ FORMULOJ, NEPRERYWNA NA San(0):5.28.
sU]ESTWUET LI FUNKCIQ G(x; x0 ), OPREDELENIE KOTOROJOTLI^AETSQ OT OPREDELENIQ FUNKCII gRINA ZADA^I dIRIHLE DLQOBLASTI R3 ZAMENOJ USLOWIQG(x; x0 ) = 0 PRI x 2 @ 59USLOWIEM@G(x; x0 ) = 0 PRI x 2 @ ?@5.29. pRI KAKIH SU]ESTWUET RE[ENIE u(; ) ZADA^I nEJMANADLQ URAWNENIQ lAPLASA W KRUGE B12 (0) S GRANI^NYM USLOWIEM@u = cos4 + 2 cos2 ?@ =15.30. pRI KAKIH ; SU]ESTWUET RE[ENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQURAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE B22 (0)nB12 (0) S GRANI^NYMI USLOWIQMI@u = 1;@u + u = ?@ =1@=2nAJTI RE[ENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONO SU]ESTWUET.5.31.
sU]ESTWUET LI GARMONI^ESKAQ W B12 (0)nf0g FUNKCIQu(x; y), UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@@u = x y2 ?@ =1nAJTI RE[ENIE u(x; y) SLEDU@]EJ ZADA^I:@u = x(1 y);inf u(x; y) = 0:u = 0; > 1;>1@ =15.32.5.33. A) eDINSTWENNO LI RE[ENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u 2C 2 (), GDE = B23 (0)nB13 (0);u(x) = 0;x 2 ;@u(x) u(x) = f (x); x 2 S 3 (0);111@@u(x) + u(x) = f (x); x 2 S 3 (0);222@k = const > 0 (k = 1; 2)?B) tOT VE WOPROS PRI k = const < 0 (k = 1; 2):605.34. nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO RE[ENIE u(x; y ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W POLUPLOSKOSTI R+ R; UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWUu(x; y ) 6 M 1 + x + jy j ;GDE M = const > 0, EDINSTWENNO.5.35.
nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO RE[ENIEu(x; y) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI (x; y) 2 R2 jyj < px ;3UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWUu(x; y ) 6 M 1 + x2 + y 2 ;GDE M = const > 0; EDINSTWENNO.5.36. nAJTI ZNA^ENIQ W TO^KAH OTRICATELXNOJ POLUOSI OyLOGARIFMI^ESKOGO POTENCIALA PROSTOGO SLOQ u(x; y); RASPREDELENNOGO NA OTREZKE x = 0; 0 6 y 6 2 S PLOTNOSTX@, RAWNOJEDINICE.5.37.nAJTI x2 +limy2 !1Z2 +2 =1 2 22 ln (x )2 + (y )2 ds:pUSTX B = B12 (0): sU]ESTWU@T LI DWE RAZLI^NYE FUNKCII ui (x; y) co cLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: ui 2 C 2 (B );@ui u = 3x NA @B (i = 1; 2)?ui = 0 W B;@y i5.38.A) pUSTX K = 1 < jxj < 2 | "KOLXCEWAQ" OBLASTX WR2 : eDINSTWENNO LI RE[ENIE u 2 C 2 (K ) \ C 1 (K ) SLEDU@]EJKRAEWOJ ZADA^I:@uu = 0 W K;='(x;x);u112jxj=2 = '2 (x1 ; x2 );@n jxj=1' 1 ; '2 {PROIZWOLXNYENEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQHjxj = 1 I jxj = 2 SOOTWETSTWENNO?5.39.61B) nAJDITE RE[ENIE POSTAWLENNOJ W P. (a) ZADA^I, ESLI'1 = cos ; '2 = sin ( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI).dIRIHLE W POLOSE =5.40.
A) dOKAVITE, ^TO RE[ENIE ZADA^I(x; y) : 0 < x < 1; 1 < y < +1u = 0 W ;ux=0 = '1 (y);ux=1 = '2 (y);'1 ; '2 2 C (R1 ); NEEDINSTWENNO.B) eDINSTWENNO LI RE[ENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNITELXNYM USLOWIEMu(x; y) ! 0 PRI jyj ! 1?5.41.
pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @Q KLASSAC 1 : mOVET LI RE[ENIE u 2 C 2 (Q) \ C 1 (Q) KRAEWOJ ZADA^I@uu u = 1 W Q;@n @Q = 0;(~n | WNE[NQQ NORMALX K @Q) BYTX STROGO POLOVITELXNYM W Q?pUSTX K = B12 (0); u(x; y) | RE[ENIE ZADA^Iu = x2 y;u@K = 0:nAJDITE u(0; 0):5.43. pRI KAVDOM LI 2 R1 ZADA^Au = 1 W K = (r; ') 1 < r < 2 ;@u = sin ';@u + u = sin2 ';@n@n5.42.r=1r=2u 2 C 2 (K ) \ C 1 (K ); IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE? (~n | WNE[NQQNORMALX K GRANICE KOLXCA K:)62pRI KAKIH a 2 R1 KRAEWAQ ZADA^Au + 2u = x a W ;u@ = 0; = (0; ) (0; ) ; IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE?5.45.
pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2C 2 ();u = 0 W ;'(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ Ixlim!x0 u(x) = '(x0 )5.44.x2DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @ : nAZOWEMTAKU@ FUNKCI@ "RE[ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0;u@ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNOLI RE[ENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE?5.46. pUSTX R3 | WNE[NOSTX EDINI^NOGO [ARA. eDINSTWENNO LI RE[ENIE u(x) 2 C 2 () \ C () WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLEu(x) = 0; jxj > 1;ujxj=1 = 0PRI DOPOLNITELXNOM USLOWIIA)Zj xj<1)2u( d = O(1)B)Zj xj<1u( )2 d = o(1)PRI jxj ! +1?5.47. A) nAJTI RE[ENIE u(; ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQlAPLASA W B12 (0) S GRANI^NYM USLOWIEMu=1 =1Xk=1k p 1 sin(kq );GDE p I q { ZADANNYE NATURALXNYE ^ISLA.B) pRI KAKIH p, q \TO RE[ENIE PRINADLEVIT PROSTRANSTWUH 1 (B12 (0))?63oBOB]ENNYE RE[ENIQzADA^A dIRIHLErASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLE W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTANOWKEu = fW ;(13)u='NA @ :pUSTX f 2 L2 (); ' 2 H 1 ().fUNKCIQ u 2 H 1 () NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEMKRAEWOJ ZADA^I (13), ESLIZrurv dx =Zfv dxDLQ L@BOJ v 2 H 1 () I u ' 2 H 1 ().wARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLEDU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:infILIZw2H 1 (); w '2H 1 () infZw2H 1 () Zjrwj2 dx + 2 fw dxZZjrwj2 dx + 2 fw dx 2 r'rw dx :zADA^A nEJMANArASSMOTRIM ZADA^U nEJMANA W OBLASTI W KLASSI^ESKOJ POSTANOWKE(u = fW ;(14)@u =NA @ :@pUSTX f 2 L2 (); 2 L2 (@ ).64fUNKCIQ u 2 H 1 () NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEMKRAEWOJ ZADA^I nEJMANA (14), ESLIZrurv dx =DLQ L@BOJ v 2 H 1 ().ZZv ds@fv dxwARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (13) NAZYWAETSQ SLE-DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:Zinf1w2H ()ZZ@jrwj2 dx + 2 fw dx 2w ds :tRETXQ KRAEWAQ ZADA^A (ZADA^A fURXE)rASSMOTRIM TRETX@ KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI W KLASSI^ESKOJPOSTANOWKE(u = fW ;(15)@u + u = NA @ :@pUSTX f 2 L2 (); 2 L2 (@ ).fUNKCIQ u 2 H 1 () NAZYWAETSQ OBOB]ENNYM RE[ENIEMTRETXEJ KRAEWOJ ZADA^I (15), ESLIZZZZ@@rurv dx + uv ds = v dsDLQ L@BOJ v 2 H 1 ().fv dxwARIACIONNOJ POSTANOWKOJ ZADA^I (15) NAZYWAETSQ SLE-DU@]AQ MINIMIZACIONNAQ ZADA^A:infw2H 1 ()ZZZZ@@jrwj2 dx + w2 ds 2 w ds + 2 fw dx :mINIMIZANTpOSLEDOWATELXNOSTX fuk g NAZYWAETSQ MINIMIZIRU@]EJ DLQFUNKCIONALA F , ESLI F (uk ) ! m PRI k ! 1 I m = inf F (v):65oTMETIM, ^TO ZADA^A nEJMANA IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIES TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ.
dLQ ODNOZNA^NOJ RAZRE[IMOSTI ZADA^I ^ASTO PREDPOLAGA@T, ^TO U RE[ENIQ NULEWOE SREDNEE PO OBLASTI. pRI TAKOM DOPU]ENII ZADA^A STANOWITSQ ODNOZNA^NO RAZRE[IMOJ I W \TOM SLU^AE MOVNO PRIMENQTX OB]U@ SHEMU ISSLEDOWANIQ I KLASSI^ESKOJ POSTANOWKI, IOBOB]ENNOJ, I WARIACIONNOJ.eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fuk g QWLQETSQ MINIMIZIRU@]EJ,TO SU]ESTWUET TAKOE u 2 H 1 (), ^TO uk ! u PRI k ! 1 IF (u) = m:mETOD rITCArASSMOTRIMWARIACIONNU@POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE. pUSTXZZ2F (w) = jrwj dx + 2 fw dx.
rASSMOTRIM LINEJNO NEZAWISIMU@ SISTEMU 1 ; : : : j ; : : : , KONE^NYE LINEJNYE OBOLO^KI KOTORYH PLOTNY W H 1 ():ktOGDA fuk g; uk = P j j , BUDET MINIMIZIRU@]EJ POSLEDOj =1WATELXNOSTX@, k = 1; 2; : : : ; ESLI j | RE[ENIQ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ8>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>:66ZZZ ZZ1 r1 r1 dx + 2 r2 r1 dx + : : : + k rk r1 dx ==Zf1 dxZ1 r1 rk dx + 2 r2 rk dx + : : : + k rk rk dx ==Zfk dxpUSTX u 2 C B12 (0) ; u(x; y) > 0; x2 + y2 = 1;2W B1 (0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA uxx I uyy , PRI^EMuxx + uyy 6 0 PO^TI WS@DU W B12 (0):dOKAZATX, ^TO u(x; y) > 0 8(x; y) 2 B12 (0):5.48.pUSTX u 2 C B12 (0) ; W B12 (0) SU]ESTWU@T OBOB]ENNYEPROIZWODNYE W SMYSLE sOBOLEWA uxx I uyy , PRI^EMuxx + uyy = 0 PO^TI WS@DU W B12 (0): 2 dOKAZATX, ^TO u(x; y) 6 Smax2 (0) u 8(x; y ) 2 B1 (0):5.49.15.50.
A) sFORMULIROWATX OPREDELENIE OBOB]ENNOGO RE[ENIQZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQu = h W S USLOWIEMu = f NA @ :B) nAJTI OBOB]ENNOE RE[ENIE \TOJ ZADA^I W SLU^AE, KOGDAh(x) 0; f (x) = jxj2 ; = B1n (0); n > 3:W) tOT VE WOPROS W SLU^AE, KOGDA = B1n (0)nf0g:5.51. pUSTX B = B14 (0); ` = x 2 R4 : x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0;0 < x4 < 12 { OTREZOK W R4 ; Q = B n `: nAJDITE OBOB]ENNOERE[ENIE ZADA^I dIRIHLE u(x) :ZQ(ru; rv) dx = 08 v 2 H 1 (Q);u '(x) 2 H 1 (Q);'(x) 2 C01 (B ) I '(x) = 1 PRI x 2 `:675.52.nAJTIinfZB12 (0)gradNA MNOVESTWE w 2 H 1 (B12 (0))f (x1 ; x2 ) = x22 :5.53. wY^ISLITXZinfw (jxj 1)2H 1 () w(x)2 dxwjrwj2 2w dx;ESLI = fx = (x1 ; x2 ) : 1 < jxj < 2g:5.54. wY^ISLITXinfZw x1 2H 1 () ESLI = B12 (0):68f 2 H 1 (B12 (0)) ; GDEjrwj2 + 2(x21 x2 )w dx;6rE[ENIQ OTDELXNYH ZADA^zADA^A1.5.nAJTI FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORALu(x; y) = uxx(x; y) uyy (x; y);OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y < 0.rE[ENIE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
