Задачник (1134178), страница 4
Текст из файла (страница 4)
rE[ENIE ODNORODNOGO WOLNOWOGO URAWNENIQ W L@BOJ TO^KE (x; t) ZAWISIT OT ZNA^ENIJ NA^ALXNYH FUNKCIJ ' IPRI n = 1 | NA OTREZKE [x at; x + at];PRI n = 2 | W KRUGE S CENTROM W TO^KE x RADIUSA at;PRI n = 3 | NA SFERE S CENTROM W TO^KE x RADIUSA at.I NE ZAWISIT OT IH ZNA^ENIJ WNE DANNOGO MNOVESTWA.263.6.pUSTX u(x; t), (x; t) 2 R R+ , | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = uxx; ut=0 = 0; ut t=0 = (1 + x2 ) ex2 :nAJTI WSE ; , PRI KOTORYH sup ju(x; t)j < +1.RR+pUSTX u(x; t), (x; t) 2 R R+ , | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = uxx; ut=0 = 0; ut t=0 = (x3 + 2 x4 )(1 + x2 ) :nAJTI WSE ; , PRI KOTORYH SU]ESTWUET KONE^NYJ t!limu(0; t).+13.7.3.8.
nAJTI WSE KOMPLEKSNYE a, PRI KOTORYH OGRANI^ENO RE[ENIE u(x; t) W POLUPLOSKOSTI R R + \ADA^Iutt = uxx;3.9.ut=0 = 0; ut t=0 = (1 + x2 )Im a eax2pUSTX u(x; t; a), (x; t) 2 R R+ , | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = a2 uxx;ut=0 = 1 +1 x2 ; ut t=0 = 0:dOKAZATX, ^TO u(x; t; a) UBYWAET PO a.3.10.
pUSTX u(x; t), (x; t) 2 R R+ , | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = a2 uxx; ut=0 = '(x); ut t=0 = (x);PRI^EM '(x) = (x) = 0 DLQ jxj > 1.dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO x0 SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA t0 I c,^TO u(x0 ; t) = c PRI WSEH t > t0 . nAJTI \TI ^ISLA.3.11. pUSTX u(x; t), (x; t) 2 R R+ , | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = a2 uxx; ut=0 = '(x); utt=0 = 0;PRI^EM j'(x)j 6 1 DLQ WSEH x 2 R, '(x) = 0 DLQ jxj > 1.nAJTI NIVN@@ GRANX MNOVESTWA TAKIH ZNA^ENIJ , ^TO PRIWSEH t > , x 2 R I L@BYH ' S UKAZANNYMI SWOJSTWAMI WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO ju(x; t)j 6 1=2.273.12.
pUSTX fuk (x; t)g (k = 1; 2; : : : ) | POSLEDOWATELXNOSTXFUNKCIJ KLASSA C 2 , UDOWLETWORQ@]IH SOOTNO[ENIQM@ 2 uk = k @ 2 uk ; x 2 R; 0 6 t 6 k;@t2@x2uk t=0 > 0 PRI k < x < +1; uk t=0 = 0 PRI 1 < x 6 k ;@uk = 0; x 2 R:@t t=0pRI KAKIH > 0, > 0 NAJDETSQ TAKOE x0 , NE ZAWISQ]EE OT k,^TO uk (x; t) = 0 DLQ (x; t) 2 ( 1; x0 ] [0; k] (k = 1; 2; : : : )?3.13. nAJTI RE[ENIE u(x; y; t) W R2 R+ ZADA^I:utt = uxx + uyy ;3.14.3.15.ut=0 = e x2 +arctg y; ut t=0 = cos x +sin y:nAJTI RE[ENIE u(x; t), x = (x1 ; x2 ; x3 ), W R3 R+ ZADA^I:utt = x u; ut=0 = 0; ut t=0 = jxj7 :nAJTI RE[ENIE u(x; t), x = (x1 ; x2 ; x3 ), W R3 R+ ZADA^I:utt = x u; ut=0 = 0; ut t=0 = 1 + (x +1x + x )2 ; x 2 R3 :123nAJTI RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = 4 uxx + uyy + uzz ; t > 0; ut=0 = '(x; y; z ); utt=0 = 0PRI SLEDU@]IH FUNKCIQH '(x; y; z ):A) ' = sin x + e2z ; B) ' = (yz )2 ; W) ' = (3x y + z )e3x y+z :3.16.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R3 R+ ZADA^I kO[I:utt = x u; ut=0 = 0; utt=0 = (1 + 4jxj2 ) 1=2 :nAJTI t!limu(0; t).+13.17.28pUSTX u(x1 ; x2 ; t) | RE[ENIE W R2 R+ ZADA^I kO[I:utt = ux1x1 + ux2 x2 ; ut=0 = 0; ut t=0 = (x1 ; x2 ) 2 C 2 (R2 );3.18.GDE (x1 ; x2 ) > 0 W B12 (0), (x1 ; x2 ) = 0 W R2 n B12 (0).A) pRI KAKIH (x1 ; x2 ; t) FUNKCIQ u(x1 ; x2 ; t) RAWNA NUL@?B) nAJTI t!limtu(x1 ; x2 ; t) W SLU^AE, KOGDA+1(x1 ; x2 ) = (1 x21 x22 )3+ :pUSTX u(x1 ; x2 ; t) | RE[ENIE W R2 R+ ZADA^I kO[I:utt = ux1x1 + ux2x2 ; ut=0 = 0; ut t=0 = (x1 ; x2 ) 2 C 2 (R2 );GDE (x1 ; x2 ) = 0 PRI (x1 ; x2 ) 2 [0; 1] [0; 2], (x1 ; x2 ) > 0 PRIOSTALXNYH (x1 ; x2 ).A) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEH ZNA^ENIJ(x1 ; x2 ; t) 2 R2 R + , DLQ KOTORYH u(x1 ; x2 ; t) = 0.B) nARISOWATX \TO MNOVESTWO.3.20.
pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R3 R+ ZADA^I kO[I:utt = x u; ut=0 = 0; ut t=0 = (x);GDE (x) = 0 PRI 0:9 6 jxj 6 1, (x) > 0 DLQ OSTALXNYH x.pRI KAKIH (x; t) FUNKCIQ u(x; t) RAWNA NUL@?3.21. pUSTX fu" (x; y; t)g (0 < " 6 12 ) | SEMEJSTWO FUNKCIJKLASSA C 2 , UDOWLETWORQ@]IH SOOTNO[ENIQM222" @@tu2" = @@xu2" + @@yu2" ; (x; y) 2 R2 ; 0 6 t 6 " m;u" t=0 = 0; (x; y) 2 R2 ;@u" = 0 PRI x2 + y2 6 " q; @u" > 0 PRI x2 + y2 > " q:@t t=0@t t=03.19.pRI KAKIH m > 0, q > 0 NAJDETSQ TAKOE > 0, NE ZAWISQ]EE OT ",^TO u" (x; y; t) = 0 DLQ x2 + y2 6 2 , 0 6 t 6 " m (0 < " 6 12 )?29pUSTX u(x; t) | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = u; x 2 Rn ; t > 0; ut=0 = 0; ut t=0 = (x);PRI^EM (x) > 0.
pRI KAKIH n 2 f1; 2; 3g SPRAWEDLIWO UTWERVDENIE: ESLI MNOVESTWO fx 2 Rn j (x) = 0g SWQZNO, TO I MNOVESTWOf(x; t) 2 Rn R+ j u(x; t) = 0g TAKVE SWQZNO?3.23. pUSTX u(x; t) 2 C 2 R3 (0; +1) \ C 1 R3 [0; +1) |RE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = u; ut=0 = 0; ut t=0 = '(x) 2 C01 (R3 ):mOVET NOSITELX FUNKCII u LEVATX W CILINDRE BR3 (0) [0;+1).3.22.sME[ANNAQ ZADA^A DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNYsME[ANNOJ ILI NA^ALXNO{KRAEWOJ ZADA^EJ DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x; t);UDOWLETWORQ@]EJ URAWNENI@utt = a2 uxx (a > 0); x > 0; t > 0;NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t = 0ut=0 = '(x); ut t=0 = (x); x > 0;I GRANI^NOMU USLOWI@ PRI x = 0ux=0 = (t)(USLOWIE I RODA),ILI ux x=0 = (t)(USLOWIE II RODA),ILI (ux u) x=0 = (t)(USLOWIE III RODA).w SLU^AE KOGDA (t) 0, KRAEWOE USLOWIE NAZYWAETSQ ODNORODNYM.
rASSMATRIWA@TSQ I DRUGIE WIDY GRANI^NYH USLOWIJ.dLQ SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGO RE[ENIQ u 2 C 2 (R+ R+ )NUVNY DOPOLNITELXNYE USLOWIQ SOGLASOWANIQ NA^ALXNYH I GRANI^NYH USLOWIJ W TO^KE (0; 0). nAPRIMER, KLASSI^ESKOE RE[ENIEZADA^I S GRANI^NYM USLOWIEM I RODA SU]ESTWUET, ESLI(0) = '(0) (= u(0; 0)); 0 (0) = (0) (= ut (0; 0));00 (0) = a2 '00 (0) (utt (0; 0) = a2 uxx(0; 0)):30oB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ STRUNY IMEET WIDu(x; t) = f (x at) + g(x + at);f (x at) | WOLNA, BEGU]AQ WPRAWO, g(x + at) | WLEWO.fUNKCII f ( ) I g( ) PRI POLOVITELXNYH ZNA^ENIQH ARGUMENTA OPREDELQ@TSQ IZ NA^ALXNYH USLOWIJ, I TEM SAMYM PRI x > atRE[ENIE NAHODITSQ PO FORMULE dALAMBERAhiu(x; t) = 12 '(x + at) + '(x at) + 21axZ+atx at( ) d:dLQ NAHOVDENIQ RE[ENIQ PRI 0 < x < at I]EM FUNKCI@f ( ) PRI < 0 IZ GRANI^NOGO USLOWIQ PRI x = 0. nAPRIMER, WSLU^AE USLOWIQ PERWOGO RODA IMEEMux=0 = f ( at)+ g(at) = (t); f ( ) = ( =a) g( ); < 0:w SLU^AE GRANI^NOGO USLOWIQ WTOROGO ILI TRETXEGO RODA FUNKCIQ f ( ), < 0, QWLQETSQ RE[ENIEM OBYKNOWENNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ PERWOGO PORQDKA I ZAWISIT OT ODNOJ PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ, KOTORAQ NAHODITSQ IZ USLOWIQ NEPRERYWNOSTI RE[ENIQ u(x; t) NA GLAWNOJ HARAKTERISTIKE x = at.zAME^ANIE.
eSLI URAWNENIE QWLQETSQ NEODNORODNYM, TOSLEDUET NAJTI L@BOE ^ASTNOE RE[ENIE NEODNORODNOGO URAWNENIQ w(x; t); PREDSTAWITX ISKOMOE RE[ENIE u(x; t) W WIDE SUMMY u(x; t) = v(x; t) + w(x; t); I PODSTAWITX u(x; t) W URAWNENIE,NA^ALXNYE I GRANI^NOE USLOWIQ. tOGDA DLQ NOWOJ NEIZWESTNOJFUNKCII v(x; t) POLU^ITSQ ODNORODNOE URAWNENIE S NOWYMI NA^ALXNYMI I GRANI^NYMI DANNYMI.~ASTNYE SLU^AI.dLQ ODNORODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ PERWOGO RODAux=0 = 0OB]IJ METOD DAET TOT VE REZULXTAT, ^TO I METOD NE^ETNOGOPRODOLVENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ.
fUNKCI@ u(x; t) MOVNO NAJTI31PO FORMULE dALAMBERA KAK RE[ENIE ZADA^I kO[I (x 2 R) SNE^ETNO PRODOLVENNYMI W OBLASTX x < 0 FUNKCIQMI ' I'(x); x > 0;(x); x > 0;~(x) ='~(x) ='( x); x < 0;( x); x < 0;POLU^ENNOE RE[ENIE SLEDUET RASSMATRIWATX TOLXKO PRI x > 0:w SLU^AE ODNORODNOGO GRANI^NOGO USLOWIQ WTOROGO RODAux x=0 = 0UDOBNO PRIMENITX METOD ^ETNOGO PRODOLVENIQ NA^ALXNYHUSLOWIJ. fUNKCI@ u(x; t) MOVNO NAJTI PO FORMULE dALAMBERA KAK RE[ENIE ZADA^I kO[I (x 2 R) S ^ETNO PRODOLVENNYMIW OBLASTX x < 0 FUNKCIQMI ' I'(x);x>0;(x); x > 0;~'~(x) = '( x); x < 0:(x) =( x); x < 0;POLU^ENNOE RE[ENIE RASSMATRIWATX TOLXKO PRI x > 0:uSLOWIQ SOGLASOWANIQ ZDESX PEREPISYWA@TSQ W WIDE USLOWIJNA GLADKOSTX W NULE FUNKCIJ '~ 2 C 2 (R) I ~ 2 C 1 (R).pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R + R + ZADA^I:utt = uxx; uxx=0 = 0;(3ut=0 = sin x; < x < 2;utt=0 = 0:0;x 2= (; 2);A) nAJTI MNOVESTWO f(x; t) 2 R + R + j u(x; t) =6 0g.B) nARISOWATX \TO MNOVESTWO.W) nARISOWATX GRAFIKI u(x; 32 ); u(x; 52 ).3.25.
pRI KAKIH = const I '(x) SU]ESTWUET FUNKCIQ u(x; t) 2C 2 (R + R + ); QWLQ@]AQSQ RE[ENIEM W R + R + SLEDU@]EJ ZADA^I:utt = uxx; (ut + ux)x=0 = 0; ut=0 = '(x); ut t=0 = 0 ?nAJTI \TU FUNKCI@.3.24.323.26.pRI KAKIH ' 2 C 2 (R) I 2 C 2 (R) SU]ESTWUET RE[ENIEW R2 ZADA^I:utt = uxx; ut=x = '(x); ut t=x = (x)?u 2 C 2 (R2 )pRI KAKIH A I ! SU]ESTWUET RE[ENIE u 2 C 2 (R + R + )W R + R + KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx; ux=0 = cos !t; ut=0 = A e x2 ; utt=0 = 0 ?nAJTI \TO RE[ENIE.3.28. w ^ETWERTI PLOSKOSTI R + R + RASSMATRIWAETSQ ZADA^Autt = 14 uxx; (ux u)x=0 = (t); ut=0 = '(x); ut t=0 = 0:A) pUSTX '(x) I (t) | 2-PERIODI^ESKIE FUNKCII, RAWNYENUL@ NA OTREZKE [=2; 3=2].
nAJTI I NARISOWATX MAKSIMALXNOEMNOVESTWO, NA KOTOROM FUNKCIQu(x; t) ZAWEDOMO RAWNA 0.B) pUSTX '(x) = cos+ (x) , (GDE f+ (x) = max(0; f (x))). nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE NA FUNKCI@ (t) I KONSTANTU > 0, PRI KOTORYH SU]ESTWUET KLASSI^ESKOE RE[ENIE\TOJ ZADA^I.3.29. pRI KAKIH k , I SU]ESTWUET RE[ENIE u(x; t) 2 C 2 (D)W D = f(x; t) j kt 6 x < +1; 0 6 t < +1g SLEDU@]EJ ZADA^Iutt = uxx; ux=kt = t ; ut=0 = utt=0 = 0?eDINSTWENNO LI ONO?3.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
