Задачник (1134178), страница 8
Текст из файла (страница 8)
sNA^ALA RE[IM (W OBOB]ENNYH FUNKCIQH) URAWNENIELE (x; y) = Exx Eyy = (x; y);SDELAW ZAMENU PEREMENNYH (POWOROT NA =4):z = xp y ; w = xp+ y :22tOGDA PROIZWODNYE PERES^ITYWA@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:@ = p1 @ + @ ;@ = p1 @ @ ;@x@y2 @z @w2 @z @w222@@@@x2 @y2 = 2 @z@w :pRI ORTOGONALXNYH PREOBRAZOWANIQH -FUNKCIQ OSTAETSQ FUNKCIEJ, I URAWNENIE W NOWYH KOORDINATAH PRIMET WID@ 2 E (z; w) = 1 (z; w) = 1 (z ) (w):@z@w22iNTEGRIRUQ SNA^ALA PO PEREMENNOJ z PRI FIKSIROWANNOM w, APOTOM NAOBOROT, IMEEM@1@w E (z; w) = 2 ((z ) + C1 )(w);E (z; w) = 12 ((z ) + C1 )((w) + C2 ):tEPERX SREDI WSEH NAJDENNYH FUNDAMENTALXNYH RE[ENIJNADO WYBRATX TO (ILI TE), KOTOROE PRI y < 0 OBRA]AETSQ WNOLX.
zAMETIM, ^TO OBOB]ENNAQ FUNKCIQ E (z; w) | REGULQRNAQ,69KUSO^NO POSTOQNNAQ, RAWNAQ W I, II, III I IV ^ETWERTQH (OTNOSITELXNO KOORDINAT (z; w)) SOOTWETSTWENNO (C1 + 1)(C2 + 1)=2,(C1 +1)C2 =2, C1 (C2 +1)=2 I C1 C2 =2. pOLUPLOSKOSTX y < 0 PERESEKAETSQ S TREMQ IZ ^ETYREH (KROME II) \TIH ^ETWERTEJ. pO USLOWI@ TAM E (z; w) = 0, TO ESTX(C1 + 1)(C2 + 1)=2 = C1 (C2 + 1)=2 = C1 C2 =2 = 0() C1 = 0; C2 = 1:tAKIM OBRAZOM, ISKOMOE RE[ENIE EDINSTWENNO I IMEET WIDE (z; w) = 12 (z )((w) 1) = 12 (z )( w):wOZWRA]AQSX K STARYM KOORDINATAM, IMEEM E (x; y) = 12 xp y xp y = 12 (x y)( x y):22pROIZWEDENIE DWUH -FUNKCIJ RAWNO NUL@ WEZDE, KROME MNOVES-TWAx y > 0; x y > 0 () y < x < y () jxj < y;GDE ONO RAWNO EDINICE.
tAKIM OBRAZOM, OTWET ZAPISYWAETSQ WWIDEE (x; y) = 12 (y jxj) :zADA^A1.12.pRI KAKIH FUNKCIQ u(x; y) = ln(x2 + y2) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (), ESLIA) = B12=2 (0);B) = B22 (0) n B12=2 (0)?rE[ENIE. A) fUNKCIQ u = ln(x2 + y 2 ) = j2 ln rj , GDEpr = x2 + y2 , W OBLASTI = B12=2 (0) IMEET OSOBENNOSTX LI[XW NA^ALE KOORDINAT. |TA FUNKCIQ PRINADLEVIT PROSTRANSTWUL2 () PRI L@BOM , TAK KAKZ70x2 + y2 )2 dxdy = 2 ln(1=2Z0j2 ln rj2 rdr < +1WWIDU TOGO, ^TO j ln rj2 r ! 0 PRI r ! +0.dALEE IMEEM:jruj = C j ln rrjru = j2 ln rj 1 2r rr; 1:fUNKCIQ u 2 H 1 (), ESLI SHODITSQ SLEDU@]IJ INTEGRAL:ZZ 1=2 j ln rj 1 2 rdr22jruj dxdy = 2Cr0Z 1=22(j ln rj 1) dr:= 2C 2r0sDELAW ZAMENU s = 1=r, dr = ds=s2, SWEDEM WOPROS K SHODIMOSTIINTEGRALAZ 1=2j ln rj2( 1) dr = Z +1 ln2( 1) s ds:rs02kAK IZWESTNO IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, POSLEDNIJINTEGRAL SHODITSQ PRI 2( 1) < 1, TO ESTX < 1=2.
(sTROGOGOWORQ, SLU^AJ = 0, TO ESTX KOGDA C = 0, RASSMATRIWAETSQOTDELXNO.)B) w OBLASTI = B22 (0)nB12=2 (0) U FUNKCII u = j2 ln rj I EEPROIZWODNYH OSOBENNOSTI MOGUT BYTX LI[X NA MNOVESTWE r = 1,GDE LOGARIFM OBRA]AETSQ W NOLX.tAK KAK ln r = ln(1+(r 1)) (r 1) PRI r ! 1, TO INTEGRALZx2 + y2 )2 dxdy = 2 ln(SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAZ21=2Z21=2j2 ln rj2 rdrjr 1j2 dr < +1;TO ESTX PRI > 1=2.
w \TOM SLU^AE u 2 L2 ().iSSLEDUEM, KOGDAZZ 2j ln rj2( 1) dr < +1:22jruj dxdy = 2Cr1=271pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ PRI r ! 1 \KWIWALENTNA jr 1j2( 1) ,PO\TOMU INTEGRAL SHODITSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA2( 1) > 1; TO ESTX > 1=2:(nA \TOT RAZ OTDELXNO RASSMATRIWAEMYJ SLU^AJ = 0 \TOMUNERAWENSTWU NE UDOWLETWORQET, NO W OTWET DOLVEN BYTX WKL@^EN.)oTWET: A) < 1=2; B) > 1=2 ILI = 0.zADA^A1.15.pRI KAKIH ; FUNKCIQ f (x) = jxj cos x PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 ( 1; 1) ?rE[ENIE.iZWESTNO, ^TO H 1 (a; b) SOSTOIT IZ FUNKCIJ f (x) 2 H 1 (a; b) TAKIH, ^TO f (a) = f (b) = 0 (SM.
ZADA^U 1.11). tAK KAK FUNKCIIIZ H 1 (a; b) NEPRERYWNY, TO H 1 (a; b) SOSTOIT IZ NEPRERYWNYH NA(a; b) FUNKCIJ, TAKIH, ^TO f (a) = f (b) = 0; DLQ KOTORYH KONE^NAIH H 1 {NORMA.1) f (x) NEPRERYWNA NA (0; 1) PRI > 0:2) uSLOWIQ NA TOGO, ^TO f (1) = 0; WYGLQDQT TAK: = + k; k 2 Z:23) w OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI x0 INTERWALA ( 1; 1); ZA ISKL@^ENIEM, WOZMOVNO, x0 = 0; f (x) QWLQETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, PO\TOMU EE H 1 {NORMA KONE^NA W OKRESTNOSTIKAVDOJ TAKOJ TO^KI. oSTALOSX ISSLEDOWATX TO^KU x0 = 0 I KONCEWYE TO^KI.tAK KAK f (x) jxj PRI x !Z0; TO f (x) 2ZH 1 ( ; ); > 0; 1; ESLI SHODQTSQ INTEGRALY jxj2 dx I jxj2 2 dx; ^TO00IMEET MESTO PRI > 21 :dALEE, PRI x ! 1 0 FUNKCIQ f (x) cos x: sDELAEM ZAMENUz = 1 x: tOGDA PRI x ! 1 0 (z ! 0 + 0), U^ITYWAQ NAJDENNYE72ZNA^ENIQ ; IMEEM, ^TOf (z ) = cos( z + ) = cos z cos + sin z sin =h i= ( 1)k sin + k z C z;C = ( 1)k + k :k2k2tAKIM OBRAZOM, f (x) 2; 1) >Z0; 1; ESLIf (z ) 2Z H 1 (0; ); TO ESTX SHODQTSQ INTEGRALY Ck2 z 2 dz I Ck2 dz: iH00SHODIMOSTX IMEET MESTO PRI WSEH ZNA^ENIQHk:pODWODQ ITOG, POLU^IM, ^TO f (x) 2 H 1 ( 1; 1) PRI > 1 ; = 1 + 2k ; k 2 Z:H 1 (12zADA^A21.19.pUSTX Q = B13 (0).
sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TOju(0)j 6 C kukH 1 (Q) 8u(x) 2 C 1 (Q) ?rE[ENIE. uTWERVDENIENEWERNO. pUSTX u(x) | PROIZWOLXNAQ1FUNKCIQ IZ C0 (Q), NE RAWNAQ 0 W NA^ALE KOORDINAT, PRODOLVENNAQ NULEM WNE Q. tAKIM OBRAZOM, u 2 C 1 (R3 ), u(x) = 0 PRIjxj > 1, u(0) =6 0.rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ un (x) = u(nx).iMEEM un 2 C 1 (Q), un (x) = 0 PRI jxj > 1=n, un (0) = u(0),run (x) = nru(nx). iZ NERAWENSTWA fRIDRIHSA DLQ FUNKCIIun (x) 2 C01 (Q), POLU^AEMkunk2 1H (Q) =ZQ(jun (x)j2 + jrun (x)j2 )dx6 (C (Q) + 1)Zjrun (x)j2 dxQZ= (C (Q) + 1) n2jxj<1=njru(nx)j2 dx:73sDELAEM ZAMENU PEREMENNYH y = nx, dx = dy=n3 (TAK KAK RAZMERNOSTX PROSTRANSTWA RAWNA TREM):ZC(Q)+12kunkH 1 (Q) 6 njru(y)j2 dy 6 C (Qn) + 1 kuk2H 1 (Q) :jyj<1tAKIM OBRAZOM, POSTROENA POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ fung,un 2 C 1 (Q), DLQ KOTORYH ZNA^ENIE W NULE POSTOQNNO I NE RAWNONUL@, I PRI \TOM kun kH 1 (Q) ! 0 PRI n ! 1.
sLEDOWATELXNO,NI PRI KAKOJ KONSTANTE C > 0 MY NE MOVEM UTWERVDATX, ^TOju(0)j 6 C kukH 1 (Q) DLQ WSEH FUNKCIJ u 2 C 1 (Q).zADA^A2.8.zADA^A2.10.A) oPREDELITX TIP URAWNENIQuxx 2uxy 32 uyy + uy + ux = 0(2)W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA .B) pRIWESTI URAWNENIE (2) K KANONI^ESKOJ FORME.W) nAJTI OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ.rE[ENIE. A) D = 42. uRAWNENIE GIPERBOLI^ESKOE PRI 6= 0,PARABOLI^ESKOE PRI = 0.B) eSLI =6 0. hARAKTERISTIKI: = y + 3x; = y x.kANONI^ESKAQ FORMA: 162 u 4u = 0.eSLI = 0, TO uxx + ux = 0.W) eSLI =6 0.
kANONI^ESKAQ FORMA: 162 u 4u = 0.iNTEGRIRUEM PO . iMEEM 4u + u = C (): dALEE INTEGRIRUEMPO I PODSTAWLQEM WYRAVENIQ DLQ I . iMEEMy xu(x; y) = F (y + 3x)e 4 + G(y x):eSLI = 0, TOu(x; y) = F (y) + G(y)e x :pUSTX = f(x; y) 2 R2 j x2 + (y 2l)2 < l2 g, FUNKCIQ u 2 C 2 ()UDOWLETWORQET URAWNENI@y2uxx + sign2 uyy = 0 W OBLASTI :74A) wOZMOVNO LI, ^TO u 2= C 3() W SLU^AE l > 0? oTWET OBOSNOWATX.B) tOT VE WOPROS W SLU^AE l < 0.rE[ENIE. A).
pRI l > 0 KRUG RADIUSA l I S CENTROM W (0; 2l)LEVIT W POLUPLOSKOSTI y > 0, W KOTOROJ pURAWNENIEp QWLQETSQ\LLIPTI^ESKIM I W PEREMENNYH (z; w) = (x= 2; y 2) STANOWITSQURAWNENIEM lAPLASA uzz + uww = 0. tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQu(z; w) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ, I, SLEDOWATELXNO, BESKONE^NODIFFERENCIRUEMOJ KAK W PEREMENNYH (z; w), TAK I W ISHODNYHPEREMENNYH (x; y). oTWET: NEWOZMOVNO.B). eSLI l < 0, TO KRUG LEVIT W POLUPLOSKOSTI y < 0, WKOTOROJ URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOE | ONO QWLQETSQ URAWNENIEMSTRUNYuyy = 4uxx:pRIMEROM RE[ENIQ u 2 C 2 ()nC 3 () MOVET SLUVITX, NAPRIMER, u(t; x) = f (y 2x) ILI u = f (y + 2x), GDE FUNKCIQ ODNOGOPEREMENNOGO f ( ) QWLQETSQ KLASSA C 2 , NO NE C 3 W OKRESTNOSTITO^KI = 2l.
sKAVEM, f ( ) = j 2lj3 :zADA^A2.11.nA PLOSKOSTI (t; x) 2 R2 RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQut ux = 0;(4)2utt ( + 1)2 utx + 2uxx = 0:(5)A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4).B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE RE[ENIE u(t; x) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I RE[ENIEM URAWNENIQ (5)?dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA :W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5);G) UKAZATX NEKOTOROE RE[ENIE u(t; x) URAWNENIQ (5), KOTOROENE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TO TAKOGORE[ENIQ NET.D) tOT VE WOPROS OB OGRANI^ENNOM RE[ENII.75rE[ENIE. A) nAJDEM HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4):dx + dt = 0 () x + t = const :oB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (4) IMEET WID u(t; x) = f (x + t); GDEf ( ) | PROIZWOLXNAQ GLADKAQ FUNKCIQ ODNOJ PEREMENNOJ.B) pODSTAWIM OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ (4) W URAWNENIE (5):utt = utx = uxx = f 00 (x + t);2 ( + 1)2 + 2 f 00 (x + t) = 0:uRAWNENIE (5) DOLVNO WYPOLNQTXSQ DLQ L@BOJ BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII f (x + t); SLEDOWATELXNO,2 ( + 1)2 + 2 = 0 () = 1:sLU^AJ = 1.W) pRI = 1 URAWNENIE (5) IMEET WID utt 2utx + uxx = 0:eGO HARAKTERISTIKAMI BUDUT LINIIdx2 + 2 dx dt + dt2 = 0 () dxdt = 1 () x + t = const :1.G) uRAWNENIE (5) IMEET ODNO SEMEJSTWO HARAKTERISTIK, SLEDOWATELXNO, \TO URAWNENIE PARABOLI^ESKOGO TIPA.
zAMENOJ PEREMENNYH = x + t, = t, ONO PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMUWIDUu = 0:(50 )oB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (50 ) QWLQETSQ FUNKCIQ u(; ) =f ( ) + g( ); TOGDA OB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (5) BUDET FUNKCIQ u(t; x) = f (x + t)+ t g(x + t): rE[ENIE URAWNENIQ (5), KOTOROENE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4), | \TO, NAPRIMER, FUNKCIQ u(t; x) = t(x + t):D) fUNKCIQ u(t; x) = f (x + t) + t g(x + t) BUDET OGRANI^ENNOJ,TOLXKO ESLI g(x + t) 0, I f (x + t) OGRANI^ENA.
sLEDOWATELXNO,L@BOE OGRANI^ENNOE RE[ENIE URAWNENIQ (5) QWLQETSQ RE[ENIEMURAWNENIQ (4).2. sLU^AJ = 1.76W) pRI = 1 URAWNENIE (5) PRINIMAET WID utt uxx = 0:eGO HARAKTERISTIKAMI BUDUT LINIIdx2 dt2 = 0 () dxdt = 1 () x t = const :G) uRAWNENIE (5) IMEET DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK, SLEDOWATELXNO, \TO URAWNENIE GIPERBOLI^ESKOGO TIPA. zAMENOJ PEREMENNYH = x + t, = x t, ONO PRIWODITSQ K KANONI^ESKOMUWIDUu = 0:(500 )oB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (500 ) QWLQETSQ FUNKCIQ u(; ) =f ( )+ g(); TOGDA OB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ (5) BUDET FUNKCIQu(t; x) = f (x + t) + g(x t): fUNKCIQ u(x; t) = x t QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (5), NO NE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4).D) fUNKCIQ u(x; t) = sin(x t) SLUVIT PRIMEROM OGRANI^ENNOGO RE[ENIQ URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE[ENIEMURAWNENIQ (4).zADA^A2.24.rASSMOTRIM ZADA^U kO[I W POLOSE = R1x [0; y0] W R2x;yu + u= 0 W ;uy=0 = '(x);u 2 C 2 () \ C 1 ();uy y=0 = (x);'(x); (x) | OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA R1x : kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0 ; ('; ) 2E1 ; GDEE0 = C ();kukE0 = sup ju(x; t)j;E1 = C (R1x ) C (R1x );kkE1 = sup j'(x)j + sup j (x)j?RRrE[ENIE.
dOKAVEM, ^TO ZADA^A NEKORREKTNA. dLQ \TOGO POSTROIM PRIMER, ANALOGI^NYJ PRIMERU aDAMARA. bUDEM ISKATX ^ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ W WIDE u(x; y) = X (x)Y (y); GDE FUNKCIQ77Y (y) DOLVNA BYTX NEOGRANI^ENNOJ PRI y > 0: pODSTAWIM u(x; y)W URAWNENIE:X 00 (x)Y (y) + X (x)Y 00 (y) + X (x)Y (y) = 0;Y 00 (y) = X 00 (x) 1 :Y (y)X (x)dLQ FUNKCII Y (y) POLU^IM URAWNENIE Y 00 (y) Y (y) = 0;pKOTOROE IMEET NEOGRANI^ENNOE RE[ENIE PRI > 0 : Y (y) = e y :00tOGDA RE[ENIEM URAWNENIQ +1)X (x ) = 0 BUDET FUNKp X (x)+(pCIQ X (x) = A sin + 1 x + B cos + 1 x : wOZXMEM = n2 ;n 2 N ; I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJun(x; y) = n12 eny sinpn2 + 1 x :fUNKCII un(x; y) BUDUT RE[ENIQMI ZADA^un + un = 0; x 2 R1 ; y 2 (0; y0 );pun (x; 0) = 'n (x) = n12 sin n2 + 1 x ;@un (x; 0) = (x) = 1 sin pn2 + 1 x:n@ynpRI n ! 1 POSLEDOWATELXNOSTX NA^ALXNYH FUNKCIJSTREMIT'n (x) ! 0;SQ K NUL@ PO NORME PROSTRANSTWA C (R1 ) : maxx2R n (x) ! 0; NO POSLEDOWATELXNOSTX RE[ENIJ un (x; y ) NEmaxx2RSTREMITSQ K NUL@.
nARU[AETSQ USLOWIE NEPRERYWNOJ ZAWISIMOSTI RE[ENIQ OT NA^ALXNYH DANNYH IZ OPREDELENIQ KORREKTNOSTI, SLEDOWATELXNO, ZADA^A QWLQETSQ NEKORREKTNOJ.zADA^A3.4.pRIWESTI PRIMER FUNKCIJ '; 2 C 2 (R) TAKIH, ^TO ZADA^A kO[Iuxx + 5uxy 6uyy = 0; uy=6x = '(x); uy y=6x = (x)A) IMELA BY RE[ENIE. eDINSTWENNO LI \TO RE[ENIE?B) NE IMELA BY RE[ENIJ.78rE[ENIE.nAJDEM HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx + 5uxy 6uyy = 0 :(dy)2 5 dy dx 6(dx)2 = 0;y + x = C1 ; y 6x = C2 ;I ZAPI[EM EGO OB]EE RE[ENIEu(x; y) = f (y + x) + g(y 6x);GDE f ( ); g() 2 C 2 (R) | PROIZWOLXNYE FUNKCII ODNOJ PEREMENNOJ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
