Задачник (1134178), страница 12
Текст из файла (страница 12)
.A) (2) dATX OPREDELENIE AWTOMODELXNOGO RE[ENIQ I NAJTIAWTOMODELXNYE RE[ENIQ URAWNENIQ 6u + u =0(1)1.t1126 xB) (2) pOSTROITX KAKOE{NIBUDX NETRIWIALXNOE NE\NTROPIJNOEOBOB]ENNOE RE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ (1) S N.U.ut=0 = 02. A) (1) oPREDELITX TIP URAWNENIQuxx 2uxy 32 uyy + uy + ux = 0(2)W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA .B) (2) pRIWESTI URAWNENIE (2) K KANONI^ESKOJ FORME.W) (2) nAJTI OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ.3. A) (1) sFORMULIROWATX WARIACIONNU@ POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE S NEODNORODNYMI KRAEWYMI USLOWIQMI.B) (1) dOKAZATX OGRANI^ENNOSTX FUNKCIONALA SNIZU.W) (3) wY^ISLITXinfZw (jxj 1)2H 1 () jrwj2 2w dx;ESLI = fx = (x1 ; x2 ) : 1 < jxj < 2g:kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 11 BALLOW; \HORO[O" |8 BALLOW; \UDOWLETWORITELXNO" | 5 BALLOW PRI MAKSIMALXNOWOZMOVNOJ SUMME 14 BALLOW.
wREMQ NAPISANIQ | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORe w rADKEWI^2001. .A) (1) dATX OPREDELENIE SLABOGO RE[ENIQ (RE[ENIQ W SMYSLEINTEGRALXNOGO TOVDESTWA) URAWNENIQ hOPFA.B) (2) pOSTROITX KUSO^NO{POSTOQNNOE RE[ENIE S 5-TX@ LINIQMIRAZRYWA.W) (2) dOKAZATX, ^TO NE SU]ESTWUET KUSO^NO{POSTOQNNOGO RE[ENIQ S 4-MQ LINIQMI RAZRYWA.2.
A) (1) dATX OPREDELENIE AWTOMODELXNOGO RE[ENIQ I NAJTIAWTOMODELXNYE RE[ENIQ URAWNENIQut + u3ux = 01.113B) (2) dOKAZATX EDINSTWENNOSTX RE[ENIQ, UDOWLETWORQ@]EGOUSLOWI@ NEWOZRASTANIQ \NTROPII, W KLASSE AWTOMODELXNYH RE[ENIJ.3. A) (1) sFORMULIROWATX USLOWIE SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGORE[ENIQ ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ.B) (3) pUSTX u | KLASSI^ESKOE RE[ENIE ZADA^I kO[I0 < t < T; x 2 R1 ;utt = uxx ;u t=0 = '(x); ut t=0 = 0;A uN | KLASSI^ESKOE RE[ENIE SME[ANOJ ZADA^IuNtt = uNxx;0 < t < T; x 2 [ N; N ];N @uNNNu t=0 = ' (x);ut t=0 = 0;@x = 0:x=NpRI \TOM'N = ''N = 0PRI x 2 ( M ; M + ) IPRI x 62 ( N + ; N )DLQ DOSTATO^NO MALYH FIKSIROWANNYH I TAKIH, ^TO M + <N . dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET TAKOE N0 ; ^TO u uN NAOTREZKE [ M; M ] PRI N > N0 :4.
(3) dLQ KAKIH IZ TREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTIut = uxx; utt = uxx; utt = uxxSU]ESTWUET NETRIWIALXNOE RE[ENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNUTYMI LINIQMI UROWNQ?5. A) (1) sFORMULIROWATX LEMMU O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ.B) (3) dOKAZATX, ^TO GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u 2 C 1 ();@u = 0 NA ; u = 0 NA ;12@6 0; TOVDESTWENNO RAWNA NUL@.1 [ 2 = @ ; mesn 1 2 =6. A) (1) sFORMULIROWATX TEOREMU O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ.114B) (2) dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u 2 C 2 (), UDOWLETWORQ@]AQ TEOREME O SREDNEM DLQ L@BOGO [ARA K , QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ.7. (3) pUSTX C | KONUS (x; y ) 6 xy 6 : dOKAZATX, ^TONE SU]ESTWUET OB]EJ KONSTANTY W NERAWENSTWE fRIDRIHSA DLQWSEH OGRANI^ENNYH C:kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 16 BALLOW; \HORO[O" |13 BALLOW; \UDOWLETWORITELXNO" | 8 BALLOW PRI MAKSIMALXNOWOZMOVNOJ SUMME 25 BALLOW. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.GOD, POTOK MATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTOR a.s.{AMAEW20001.
A) (1) nAPI[ITE FORMULU dALAMBERA DLQ RE[ENIQ URAWNENIQKOLEBANIJ STRUNY. B) (3) pUSTX K = (x; y) 2 R2 x2 + y2 < 1 | EDINI^NYJKRUG W R2 : kORREKTNA LI ZADA^A: NAJTI u(x; y) 2 C 2 (K ) \ C (K );TAKU@ ^TOuxx uyy = 0 W K; u@K = '(x; y);'(x; y) 2 C (@K ) | PROIZWOLXNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ?2. A) (1) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1 (Q):B) (2) dOKAVITE POLNOTUPROSTRANSTWAH 1 (Q):3W) (3) pUSTX Q = jxj < 1; x 2 R : sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EEUTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0; TAKAQ, ^TO DLQL@BOJ u(x) 2 C 1 (Q) u(0) 6 C u 1 ?H (Q)eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.3.
A) (3) pUSTX K = 1 < jxj < 2 | "KOLXCEWAQ" OBLASTX W R2 :eDINSTWENNO LI RE[ENIE SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:u = 0 W K;u 2 C 2 (K ) \ C 1 (K );@u ='(x;x);u112jxj=2 = '2 (x1 ; x2 );@n jxj=1115' 1 ; '2 | PROIZWOLXNYENEPRERYWNYE FUNKCII NA OKRUVNOSTQHjxj = 1 I jxj = 2 SOOTWETSTWENNO? oTWET OBOSNUJTE.B) (2) nAJDITE RE[ENIE POSTAWLENNOJ W P. (a) ZADA^I, ESLI'1 = cos ; '2 = sin ( | POLQRNYJ UGOL NA PLOSKOSTI).4. A) (1) sFORMULIRUJTE PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQlAPLASA.B) (3) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ@2 + @2 ;u + ux + u = 0; = @x2 @y 2W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAKDLQ URAWNENIQ lAPLASA? oTWET OBOSNUJTE.5. A) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU lIUWILLQ DLQ URAWNENIQ lAPLASA.B) (3) pUSTX u(x) | GARMONI^ESKAQ W R3 FUNKCIQ IZZZu2 (x) dx < 1:(1 + jxj)33RwERNO LI, ^TO u(x) const W R3 ? oTWET OBOSNUJTE.6. A) (1) dAJTE OPREDELENIE POTENCIALA DWOJNOGO SLOQ.B) (3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJZAMKNUTOJ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA S I IME@]IJ EDINI^NU@PLOTNOSTX, RAWEN 0 WNE S I 4 WNUTRI S:7.
A) (1) nAPI[ITE FORMULU pUASSONA DLQ RE[ENIQ ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI.B) (3) pUSTX u(x; t) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S"POTENCIALOM":ut = uxx u; t > 0; x 2 R1 ;UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNOMU USLOWI@ut=0 = sin2 x:dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A; TAKAQ, ^TOu(t; x) Ae t 6 (t)e t ;116GDE FUNKCIQ (t) ! 0 PRI t ! 1: nAJDITE POSTOQNNU@ A:wSEGO 31 BALLGOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORa s {AMAEW2000.
.1. A) (1) sFORMULIRUJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTI DLQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA WTOROGO PORQDKA.B) (3) rASSMOTRIM ZADA^U: NAJTI W SEKTOREK = (x; t)j x > 0; t > 0; t < 2xFUNKCI@ u(x; t) 2 C 2 (K ) \ C (K ); UDOWLETWORQ@]U@ URAWNENI@utt = uxxI NA^ALXNYM I GRANI^NYM USLOWIQMut=0 = '(x); utt=0 = (x); ut=2x = 0;'(x); (x) 2 C 1 [0; 1) : iMEET LI \TA ZADA^A RE[ENIE I ESLI"DA" | EDINSTWENNO LI ONO? oTWET OBOSNUJTE.2. A) (2) dOKAVITE NERAWENSTWO fRIDRIHSA.B) (3) sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE = (x; y) : 0 < x < 1; 1 < y < 1 ?eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.3. A) (2) pRIWEDITE KLASSI^ESKU@ POSTANOWKU ZADA^I dIRIHLE WOGRANI^ENNOJ OBLASTI Q I DOKAVITE EDINSTWENNOSTX RE[ENIQ.B) (3) dOKAVITE, ^TO RE[ENIE ZADA^IdIRIHLE W POLOSE =(x; y) : 0 < x < 1; 1 < y < +1u = 0 W ;ux=0 = '1 (y); ux=1 = '2 (y);'1 ; '2 2 C (R1 ) NEEDINSTWENNO.W) (2) eDINSTWENNO LI RE[ENIE PREDYDU]EJ ZADA^I S DOPOLNITELXNYM USLOWIEMu(x; y) ! 0 PRI jyj ! 1?117oTWET OBOSNUJTE.
(3) pUSTX Q = x 2 R4 ; jxj < 1 | [AR W ^ETYREHMERNOMPROSTRANSTWE, ` = x 2 R4 : x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; 0 < x4 < 1=2| OTREZOK W R4 ; Q1 = Qn`: nAJDITE OBOB]ENNOE RE[ENIE ZADA^IdIRIHLE u(x) :4.ZQ1(ru; rv) dx = 0 8v 2 H 1 (Q1 );u '(x) 2 H 1 (Q1 );'(x) 2 C01 (Q) I '(x) = 1 PRI x 2 `:5. (2) sU]ESTWUETLI POLOVITELXNAQGARMONI^ESKAQ FUNKCIQW [ARE Q = jxj < 1 ; x 2 R3 ; TAKAQ, ^TO u(0; 0; 0) = 1;u(0; 0; 1=2) = 10? oTWET OBOSNUJTE.6. (4) pUSTX u(t; x) 2 C 2 () \ C () | KLASSI^ESKOE RE[ENIEURAWNENIQut = uxx + v(t; x);GDE = (0; +1)(0; 1); v(t; x) | OGRANI^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ OCENKE jvj 6 C; C > 0 | ZADANNAQ POSTOQNNAQ. pUSTXut=0 = '(x);GDE '(x) 2 C 1 [0; 1] ;ux=0 = ux=1 = 0 8t > 0:mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(t; x); ^TO u(t; x) 0 8t > t ;t | NEKOTORAQ POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ? oTWET OBOSNUJTE.7.
(3) pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 R1 FUNKCIQ u(t; x);RAWNAQ NUL@ PRI t > ax I EDINICE PRI t 6 ax; (t; x) 2 R2 ;QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQut = uxW SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ? oTWET OBOSNUJTE.8. (3) pUSTX u(t; x) 2 C 2 () \ C 1 () | KLASSI^ESKOE RE[ENIEURAWNENIQut = uxx + 3u W POLOSE = (0; +1) (0; 1);118UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYM USLOWIQMux=0 = ux=1 = 0; t > 0:dOKAVITE, ^TO DLQ u(t; x) IMEET MESTO NERAWENSTWOu(t; x) 6 Ce 6t ;GDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.wSEGO 31 BALLGOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa s {AMAEW2000.
.A) (2) sFORMULIRUJTE TEOREMU kO[I|kOWALEWSKOJ.B) (3) pRI KAKIH WE]ESTWENNYH SU]ESTWUET RE[ENIEu(x; t) 2 C 2 (K ) \ C 1 (K ); K = (0; +1) (0; +1);SLEDU@]EJ KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx W K;ut=0 = '(x); ut t=0 = (x); '(x); (x) 2 C01 (0; +1) ;ux + u x=0 = 0 DLQ t > 0?oTWET OBOSNUJTE.2. A) (1) pRIWEDITE FORMULIROWKU STROGOGO PRINCIPA MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ lAPLASA.B) (2) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQutt = uxx?eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.3. (3) pUSTX u(x; t) | RE[ENIE ZADA^Iutt = uxx W = (0; ) (0; +1);ut=0 = '(x); ut t=0 = (x); '(x); (x) 2 C01 (0; );ux=0 = ux= = 0 DLQ t > 0;1.119u(x; t) 2 C 2 ()\C 1 () I u(x ; t) = 0 DLQ WSEH t > t ; t = const >0 I x | IRRACIONALXNOE ^ISLO. wERNO LI, ^TO u(x; t) 0 W ?oTWET OBOSNUJTE.4.
A) (1) nAPI[ITE FORMULU pUASSONA DLQ RE[ENIQ ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE DWUH PROSTRANSTWENNYHPEREMENNYH.B) (2) dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ FORMULOJ pUASSONA, UDOWLETWORQET NA^ALXNYM USLOWIQM PRI t = 0:5. (3) pUSTX FUNKCIQ u(x); ZADANNAQ W [ARE Q1 = x 2 R3 ; jxj <1 ; UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u( = const < 0)I u(x) 0 W [ARE RADIUSA ; Q = x 2 R3 ; jxj < ; = const;0 < < 1: dOKAVITE, ^TO u 0 W Q1 :6. (2) pUSTX Q | OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @Q KLASSAC 1 : mOVET LI RE[ENIE KRAEWOJ ZADA^I:u u = 1 W Q;u 2 C 2 (Q) \ C 1 (Q);@u = 0;@n @Q(~n | WNE[NQQ NORMALX K @Q) BYTX STROGO POLOVITELXNYM W Q?oTWET OBOSNUJTE.
7. (3) pUSTX Q = x = (x1 ; x2 ) 2 R2 ; jxj < 1 | EDINI^NYJKRUG,Q+ Q \ fx1 > 0g; Q Q \ fx1 < 0gI FUNKCIQ u(x) 2 H 1 (Q) PRINADLEVIT KLASSAM C 1 (Q+ ) IC 1 (Q ): dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ u(x) NEPRERYWNA W Q:8. (3) pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ut = uu(t; x) 0W SLOEW KUBE(0; 1) R3 I(0; 1) (0; 1) (0; 1) (0; 1):wERNO LI, ^TO u 0 W SLOE (0; 1) R3 ? oTWET OBOSNUJTE.wSEGO 25 BALLOW120GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa s {AMAEW2000. .A) (1) sFORMULIRUJTE NERAWENSTWO fRIDRIHSA.B) (3) sPRAWEDLIWO LIDLQ NEOGRANI NERAWENSTWO fRIDRIHSA^ENNOJ OBLASTI = (x; y) : x > 0; y > 0 NA PLOSKOSTI? eSLI"DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER.2.SLEDU@]U@KRAEWU@ ZADA^U W OBLASTI = (3) rASSMOTRIM(x; y) : 0 < x2 + y2 < 1 NA PLOSKOSTI:u(x; y) = 0 W ;u(x; y) = '(x; y) PRI x2 + y2 = 1;GDE '(x; y) | ZADANNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ,lim (x2 + y2 ) u(x; y) = a;x!01.y !0GDE a | ZADANNOE WE]ESTWENNOE ^ISLO.
sU]ESTWUET LI RE[ENIETAKOJ ZADA^I? eSLI "DA", TO EDINSTWENNO LI ONO? oTWET OBOSNUJTE.3. (3) pUSTX u(t; x) | RE[ENIE ZADA^I:utt = uxxW POLOSE [0; +1) [0; 1] NA PLOSKOSTI, x 2 [0; 1]; t 2 [0; +1);u 2 C 2 ();ux=0 = '(t); ux=0 = 0; ut=0 = ut t=0 = 0 DLQ x 2 [0; 1];j'(t)j < "; " | ZADANNOE ^ISLO, '(t) | GLADKAQ FUNKCIQ. mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ '(t); ^TOBY RE[ENIE u(t; x) DANNOJZADA^I BYLO BY NEOGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ NA ? oTWET OBOSNUJTE.4. (3) pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W Rn ; u(x) |FUNKCIQNA ; UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@u u = 0 W IZ KLASSA C 2 () \ C (): dOKAVITE, ^TO ESLI u = 0 NA @ ; TOu 0 W :121A) (2) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H 1 [0; 1] NEPRERYWNA.B) (3) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE [0; 1];TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0; PRINADLEVIT H 1 [0; 1]? oTWET OBOSNUJTE.6. (3) nAJDITE FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORAd2 + 2 d 1 ;L dx2dxT.E.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
