Задачник (1134178), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(2) nAJDITE HOTQ BY ODNO RE[ENIE URAWNENIQu00 + u = 00W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ.3. (2) oPREDELITE POTENCIAL PROSTOGO SLOQ I DOKAVITE, ^TO ONUBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK jCxj :4. (3) eDINSTWENNO LI RE[ENIE SLEDU@]EJ WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLE:u = 0 W R3 n ;u@ = '(x); '(x) 2 C (@ );1.ZR3n1 + jxj u2(x) dx < 1?oTWET OBOSNUJTE.5. (3) dOKAVITE NERAWENSTWO fRIDRIHSA. pUSTX 1 I 2 | DWEOGRANI^ENNYE OBLASTI I OB_EM 1 BOLX[E OB_EMA 2 : mOVNO LINA OSNOWANII \TOGO SRAWNITX POSTOQNNYE W NERAWENSTWAH fRIDRIHSA DLQ DWUH OBLASTEJ? oTWET OBOSNUJTE.131wARIANT 2 (PERWAQ ^ASTX).1.(2) rE[ITE KRAEWU@ ZADA^Uutt uxx = 0;x > 0; t > 0;@u + 2u= sin t; t > 0;@xx=02.
(2) rE[ITE KRAEWU@ ZADA^Uut=0 = ut t=0 = 0:ut = uxx PRI 0 < x < ; t > 0;@u = 0; @u = 1; u = 0:t=0@x x=0@x x=3. (2) pUSTX u(t; x); x 2 R3 ; t > 0 | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = u; t > 0;ut=0 = 0; ut t=0 = '(x);GDE '(x) = 0 PRI 9 6 jxj 6 10 I '(x) > 0 DLQ DRUGIH ZNA^ENIJ x 2 R3 : pRI KAKIH ZNA^ENIQH PEREMENNOJ t > 0 WOZMOVNORAWENSTWO u(t; x) = 0 DLQ NEKOTOROGO x 2 R3 ? oTWET OBOSNUJTE.wARIANT 2 (WTORAQ ^ASTX).A) (1) dAJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTIDLQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGO PORQDKA.B) (1) ~TO TAKOE KORREKTNO POSTAWLENNAQ KRAEWAQ ZADA^A?2. (2) nAJDITE HOTQ BY ODNO RE[ENIE URAWNENIQu000 + u = (t)W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ.3.
(2) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJ POWERHNOSTX@ S W TO^KE x I IME@]IJ EDINI^NU@ PLOTNOSTX, RAWENTELESNOMU UGLU, POD KOTORYM POWERHNOSTX S WIDNA IZ TO^KI x:4. (3) sFORMULIRUJTE I DOKAVITE TEOREMU lIUWILLQ DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. wERNA LI \TA TEOREMA, ESLI ISHODNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ ZADANA NE WO WSEM PROSTRANSTWE R3 ; A WPOLUPROSTRANSTWE fx1 > 0g? a ESLI E]E DOPOLNITELXNO IZWESTNO, ^TO u(0; x2 ; x3 ) = 0? oTWETY OBOSNUJTE.1.132(3) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTW H 1 () I H 1 (): dOKAVITE, ^TO \TI PROSTRANSTWA NE SOWPADA@T. pUSTX u(x) 2C 1 () \ C () I u(x) = 0 NA @ : wERNO LI, ^TO u 2 H 1 ()?oTWET OBOSNUJTE.5.wARIANT 3 (PERWAQ ^ASTX).1.(2) rE[ITE KRAEWU@ ZADA^Uutt uxx = 0; x > 0; t > 0;u t=0 = u t=0 = 0;ux + (sin t)u x=0 = sin t; t > 0:2.
(2) pUSTX u(t; x); x 2 R2 | RE[ENIE ZADA^I kO[ILut = u(t; x); u t=0 = 10;; jjxxjj <> L ; L = const > 0:nAJDITE u(10; 0; 0):3. (2) rE[ITE KRAEWU@ ZADA^Uutt = uxx; 0 < x < ; t > 0;ux=0 = 0; ux x= = sin t; ut=0 = ut t=0 = 0:twARIANT 3 (WTORAQ ^ASTX).A) (1) sFORMULIRUJTE STROGIJ PRINCIP MAKSIMUMA DLQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI.B) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU EDINSTWENNOSTI ZADA^I kO[IDLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI.2.
(2) nAJDITE HOTQ BY ODNO RE[ENIE URAWNENIQu0 + sin t u = 0W KLASSE OBOB]ENNYH FUNKCIJ.3. (2) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ POWERHNOSTI SOPREDELEN DLQ x 2 S; ESLI S | POWERHNOSTX lQPUNOWA.4. (3) gARMONI^ESKAQ FUNKCIQ u(x1 ; x2 ; x3 ) OPREDELENA W POLUCILINDREc x21 + x22 < 1 fx3 > 0g1.133I u = 0 PRI x21 + x22 = 1: iZWESTNO TAKVE, ^TO u 2 C 1 (c) Iu(x) ! 0 PRI x3 ! +1 RAWNOMERNO PO x1 I x2 : dOKAVITE, ^TOTOGDA IMEET MESTO OCENKAu(x) 6 C expp x ;23GDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.5. (3) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTW H 1 () I DOKAVITE EGOPOLNOTU.
pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX W Rn ; C 1 () |MNOVESTWO GLADKIH W FUNKCIJ, IME@]IH WSE PROIZWODNYE,NEPRERYWNO PRODOLVA@]IESQ NA : wSEGDA LI \TO MNOVESTWOFUNKCIJ PLOTNO W H 1 ()? oTWET OBOSNUJTE.20021.GOD, oLIMPIADA, LEKTOR a.s.{AMAEW(2) dOKAVITE, ^TO2 jxj = C0 (x)I NAJDITE POSTOQNNU@ C0 : zDESX x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 I jxj2 =x21 + x22 + x23 :2. (3) pUSTX u(x; t) | RE[ENIE KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx W (0; ) (0; +1);ux=0 = f (t); ux= = 0; ut=0 = utt=0 = 0;f (t) | GLADKAQFUNKCIQ I f (t) ! 0 PRI t ! 1; u 2 C 2 (0; ) 1(0; +1) \ C [0; ] [0; +1) : mOVET LI RE[ENIE \TOJ ZADA^INEOGRANI^ENNO WOZRASTATX PO WREMENI, TO ESTX PO PEREMENNOJ t?oTWET OBOSNUJTE.3.
(2) pUSTX u(t; x) | RE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTIut = uxx;ut=0 = '(x);'(x) 2 C (R) \ B (R): qWLQETSQ LI FUNKCIQ u(t; x) WE]ESTWENNOANALITI^ESKOJ PO PEREMENNOJ x PRI FIKSIROWANNOM t? oTWETOBOSNUJTE.1344.(3) dOKAVITE TOVDESTWO1X11 = Z G(x; x) dx;i=1 i0GDE fi g | POSLEDOWATELXNOSTX SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ ZADA^I{TURMA{lIUWILLQ NA OTREZKE [0; 1]; G(x; y) | EE FUNKCIQ gRINA.5. (3) pUSTX | OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2C 2 ();u = 0 W ;'(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ Ixlim!x0 u(x) = '(x0 )x2DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @ : nAZOWEMTAKU@ FUNKCI@ "RE[ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0;u@ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ". eDINSTWENNOLI RE[ENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE? oTWET OBOSNUJTE.6.
(2) kORREKTNA LI ZADA^A kO[I NA PLOSKOSTI@ 2 + @ 2 ; x 2 R; y > 0;u + @u=0;=@x@x2 @y2uy=0 = '(x); uy y=0 = (x)?zDESX '(x); (x) | NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNKCII, RE[E NIE u(x; y) RASSMATRIWAETSQWPROSTRANSTWEC[0;y]R\0xB [0; y0 ] Rx : oTWET OBOSNUJTE.7. (3) pUSTX u(t; x) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI WPOLUPLOSKOSTI S ODNOJ "WYKOLOTOJ" TO^KOJ ft > 0g Rx n f(1; 0)gI u(t; x) < M W : dOKAVITE, ^TO OSOBENNOSTX W TO^KE (1; 0)USTRANIMA, T.E. MOVNO TAK DOOPREDELITX FUNKCI@ u(t; x) W \TOJTO^KE, ^TO ONA BUDET RE[ENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI WRx ft > 0g:wSEGO 18 BALLOW1352003GOD, oLIMPIADA, LEKTOR a.s.{AMAEW(2) rASSMOTRIM SME[ANNU@ ZADA^U DLQ POLUOGRANI^ENNOJSTRUNY6'(x)utt = uxx; t > 0; x > 0;1 .............@ut=0 = '(x); ut t=0 = 0;.. @ (ux + u)x=0 = 0:0 1 2 3x1.iMEET LI OTRAVENNAQ WOLNA ZADNIJ FRONT, TO ESTX BUDET LI RASSTOQNIE OT NOSITELQ RE[ENIQ DO PRQMOJ x = 0 NEOGRANI^ENNOWOZRASTATX PRI t ! 1?2.
(2) rASSMOTRIM ZADA^U kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt(t; x) = u(t; x); t > 0; x 2 R3 ;ut=0 = '(x); ut t=0 = (x); u(t; x) 6 0:mOVET LI supp u(t; x) PRINADLEVATX CILINDRU f(t; x) j t 2(0; 1); x 2 Dg; GDE D { OGRANI^ENNAQ OBLASTX PROSTRANSTWAR3 ?3. (3) pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W OKRESTNOSTI TO^KIf0g PROSTRANSTWA Rn ;u(x) =1 XXD u |xi=0 jj=i ! x=0RAZLOVENIE FUNKCII u(x) W RQDtEJLORAW TO^KE f0g: wERNO LI,X D u ^TO POLINOMY Pi (x) ! x { GARMONI^ESKIE FUNKjj=ix=0CII? oTWET OBOSNUJTE.4.
(3) pUSTX u(t; x) { RE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTIut = uxx PRI t > 0;u(t; x) 2 C 2 (+ ) \ C (+ ); + f(x; t); t > 0g;ut=0 = '(x);136'(x) { OGRANI^ENNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ, NE RAWNAQ TOVDESTWENNO NUL@. dOKAVITE, ^TO NE SU]ESTWUET TAKOGO T > 0; PRIKOTOROM u(t; x) 0; ESLI T 6 t: (iNA^E GOWORQ, NAGRETYJ STERVENX NE MOVET POLNOSTX@ "OSTYTX" ZA KONE^NOE WREMQ.)5. (4) pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX W R2 ; u(x) { SOBSTWENNAQFUNKCIQ ZADA^I dIRIHLE, TO ESTXu(x) + u(x) = 0;u(x) = 0 DLQ x 2 @ ; = const :mOVET LI MNOVESTWO = fx j u(x) = 0; x 2 g BYTX OTREZKOM` PRQMOJ LINII, NE IME@]IM OB]IH TO^EK S GRANICEJ OBLASTI? oTWET OBOSNUJTE.6.
(6) pUSTX K { EDINI^NYJ KRUG NA PLOSKOSTI S CENTROM WTO^KE f0g: dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET TAKAQ POSLEDOWATELXNOSTXGLADKIH FUNKCIJ f'n (x)g; 'n (x) 2 C 1 (K ); ^TO 'n 1H (K ) ! 0 PRI n ! 1;NO 'n (0) = 1 DLQ L@BYH n = 1; 2; ::: (TO ESTX FUNKCII IZ H 1 (K )NE IME@T "SLEDA" W TO^KE).7. (5) pUSTX { { EDINI^NYJ [AR W R3 S CENTROM W NULE, ~v(x) {TAKAQ WEKTOR{FUNKCIQ W {, ^TO1) ~v(x) = ru(x); u(x) { GLADKAQ SKALQRNAQ FUNKCIQ W {;2) div ~v(x) = 0 W {;3) ESLI PRODOLVITX ~v(x) NULEM W R3 ; TO POLU^ENNAQ W REZULXTATE TAKOGO PRODOLVENIQ WEKTOR{FUNKCIQ w~ (x) TAKVE UDOWLETWORQET RAWENSTWU div w~ (x) = 0 W R3 W SMYSLETEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ. nAJDITE ~v(x):8. (6) pUSTX u(t; x) { RE[ENIE ZADA^Iutt = uxx W ; [0; ] [0; 1);ux=0 = ux= = 0 8 t > 0; ut=0 = '(x); utt=0 = (x);(x); '(x) 2 C01 [0; ]: mY NABL@DAEM DWIVENIE STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI W TO^KE 1; TO ESTX NAM IZWESTNA FUNKCIQ137u(t; 1) PRI t > 0; NO NE ABSOL@TNO TO^NO, A S TO^NOSTX@ ; GDE { L@BOE POLOVITELXNOE (NO NE RAWNOE NUL@) ^ISLO.
mOVNO LIPO TAKOMU NABL@DENI@ WOSSTANOWITX S L@BOJ NAPERED ZADANNOJTO^NOSTX@ " > 0 FUNKCII (x); '(x)? oTWET OBOSNUJTE.GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORt a {APO[NIKOWApERWAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)2001. .1. a)(2) nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ()5uxx 4uxy uyy = 0:B) (2) nAJTI RE[ENIE URAWNENIQ (); UDOWLETWORQ@]EE USLO-WIQM2.u x; x8 = x2 :u(x; 0) = 7x2 ;(2) rE[ITE ZADA^U kO[Iutt = u jxj; x 2 R3 ; t > 0;3.(2) w KRUGE Q = x2 + y2 + 2x < 0 RE[ITE ZADA^U dIRIHLEu = 0 W Q;4.ut=0 = 0; ut t=0 = sin jxj:u@Q = 4x3 + 6x 1:A) (2) nAJDITE RE[ENIE ZADA^I kO[Iut = u; x 2 Rn ; t > 0;ut=0 = e jxj2 :B) (2) nAJTI jxlimu(x; t): oTWET OBOSNOWATX.j!15.
A) (2) nAJTI RE[ENIE ZADA^I ut = uxx 7; x 2 (0; ); t > 0;ux=0 = 1; uxx= = 0; ut=0 = 0:B) (2) nAJTI tlim!1 u(x; t): oTWET OBOSNOWATX.wTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)1381.(3) pUSTX = (x; t) 0 < x < ; 0 < t < +1 ; u 2 C 2 ();utt = a2 uxx W ;u x=0 = 0; u x= = f (t); ut=0 = ut t=0 = 0;f 2 C 1 [0; +1) ; f (0) = 0; sup f (t) < +1: wERNO LI, ^TOxsup [0;1)u(x; t) < +1?oTWET OBOSNOWATX.2. a) (3) pOTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ 0 (x) RAWENNUL@, KOGDA x LEVIT WNE ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI = @ ; TOESTX PRI x 2 Rn n : wERNO LI, ^TO 0 (x) 0 NA ? oTWETOBOSNOWATX.B) (3) pOTENCIAL PROSTOGO SLOQ S PLOTNOSTX@ 0(x) RAWENNUL@, KOGDA x LEVIT WNE ZAMKNUTOJ POWERHNOSTI : wERNO LI,^TO 0 (x) 0 NA ?3.
(2) nAJTI KAKOE{NIBUDX RE[ENIE W D0 2 SISTEMY y_ = Ay + b (x); y = yy1 ; A = 23 11 ; b = 02 :24. (3) pUSTX u(x; y) | OGRANI^ENNAQ , GARMONI^ESKAQ NA POLUPLOSKOSTI = (x; y) 2 R2 y > 0 FUNKCIQ, u 2 C (): dOKAZATX, ^TOsup u = sup1 u(x; 0):RkRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 21 BALLA; \HORO[O" |> 16 BALLOW; \UDOWLETWORITELXNO" | > 8 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 30 BALLOW.GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORt a {APO[NIKOWApERWAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)2002. .1.(2) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQutt = uxx + uyy ;139PERESEKA@]IESQ S PLOSKOSTX@ t = 0 PO PRQMOJ (l; x) = 0; GDEl = (l1 ; l2 ) =6 0:2.
(2) rE[ITE KRAEWU@ ZADA^U DLQ URAWNENIQ lAPLASA W PRQMOUGOLXNIKE 0 6 x 6 a; 0 6 y 6 b SO SLEDU@]IMI GRANI^NYMIUSLOWIQMI@u = 0; u = 0; u = sin 5x :ux=0 = @x2ax=ay=0y=b3. (2) pUSTX u(t; x) | RE[ENIE ZADA^I kO[Iutt = u; x = (x1 ; x2 ) 2 R2 ; t > 0;ut=0 = '(x); utt=0 = (x):fUNKCII ' I IZWESTNY TOLXKO W PRQMOUGOLXNIKE x1 2 [0; a];x2 2 [0; b]: gDE MOVNO OPREDELITX u(t; x); t > 0? nARISUJTE WR3t;x1 ;x2 \TU OBLASTX.4. (2) rE[ITE ZADA^U ut = uxx ; x 2 (0; l); t > 0;ut=0 = 0; ux=0 = A1 = const; ux=l = A2 = const; t > 0:nAJDITE tlim!1 u(t; x):wTORAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)(4) pUSTX = (x1 ; x2 ) 0 < xj < 1; j = 1; 2 : dOKAVITE,^TO DLQ L@BOJ FUNKCII v 2 H 1 (); UDOWLETWORQ@]EJ USLOWI@1.Zsin x1 sin x2 v(x1 ; x2 ) dx1 dx2 = 0;SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOv L2 () 6 51 2 rv2L2 () : 2 (3) nAJDITE POTENCIAL PROSTOGO SLOQ , RASPREDELENNOGO S POSTOQNNOJ PLOTNOSTX@ NA CILINDRE x21 +x22 = R2 ; 0 6 x3 6 HW TO^KAH, LEVA]IH NA OSI x3 :2.1403.(3) fUNKCIQ u(x; t) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWOD-NOSTIut = uW CILINDRE Q1 = (0; 1); x 2 Rn ; t > 0; jxj j < 8 ;j = 1; ::: ; n ;u = 0 NA @ (0; 1);2;1u 2 C (Q1 ) \ C (Q1 ): dOKAVITE, ^TO u 6 C0 e 4nt ; C0 = const > 0:4.(2) nAJDITE W D0 (R1 ) KAKOE{NIBUDX RE[ENIE SISTEMYx_ = x y;y_ = y 4x + 3(t):kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | > 15 BALLOW; \HORO[O" |> 10 BALLOW; \UDOWLETWORITELXNO" | > 6 BALLOW PRI MAKSIMALXNO WOZMOVNOJ SUMME 20 BALLOW.GOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORt a {APO[NIKOWApERWAQ ^ASTX (1.5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA)2002.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
