Задачник (1134178), страница 13
Текст из файла (страница 13)
FUNKCI@ u(x) TAKU@, ^TO5.u00 + 2u0 u = 0 (x) W R1 ;GDE 0 (x) | "DELXTA{FUNKCIQ",0 (x); ' = '(0)8'(x) 2 C01 (R1 ):eDINSTWENNO LI TAKOE RE[ENIE?7. (3) pUSTX@ @2T @t@x2| OPERATOR URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI. dOKAVITE, ^TO FUNKCIQx2E (t; x) 2p(tt) e 4t ;GDE (t) = 0 PRI t < 0 I (t) = 1 PRI t > 0; UDOWLETWORQETURAWNENI@T E (t; x) = 0 (t; x)W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ.wSEGO 24 BALLA?? GOD, POTOK MATEMATIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTORa.s.{AMAEWA) (1) dAJTE OPREDELENIE HARAKTERISTI^ESKOJ POWERHNOSTIDLQ DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA WTOROGO PORQDKA.1.122B) (1) pOSTROJTE MNOVESTWA HARAKTERISTI^ESKIH LINIJ NA PLOSKOSTI (x; t) DLQ OPERATOROWLu utt + 3ux 2uxx; L ut 3uxx + xux :2. A) (2) pUSTX u(t; x) | RE[ENIE ZADA^Iutt = uxx; t > 0; x > 0;ux=0 = 0; ut=0 = '(x); ut t=0 = 0;supp '(x) (0; +1); '(x) 2 C 2 (0; 1): iZWESTNO, ^TO SU]ESTWUETT > 0; TAKOE, ^TO PRI t > T; x 2 (0; 1) u(t; x) | BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ.
wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVE BESKONE^NOGLADKAQFUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE.B) (2) pUSTX u(t; x) | RE[ENIE ZADA^Iut = uxx; t > 0; x > 0;ux=0 = 0; ut=0 = '(x);FUNKCIQ '(x) | TA VE, ^TO W P. (a) I j'j 6 M: iZWESTNO, ^TOSU]ESTWUET T > 0; TAKOE, ^TO PRI t > T; x 2 (0; 1) u(t; x)| BESKONE^NOGLADKAQ FUNKCIQ.
wERNO LI, ^TO '(x) | TAKVEBESKONE^NOGLADKAQFUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE.3. (3) pUSTX K = (x; y ) j x2 + y 2 < 1 | EDINI^NYJ KRUG NAPLOSKOSTI (x; y); u(x; y) | RE[ENIE ZADA^Iu = x2 y;u@K = 0:nAJDITE u(0; 0):4. (2) dOKAVITE POLNOTU PROSTRANSTWA H 1 ():5. (4) rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H 1 ( 1; 1) MNOVESTWO A GLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x); UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@'0 (0) + '(0) = 0; 2 R: nAJDITE KORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ A MNOVESTWA A WH 1 ( 1; 1):6.
(4) pUSTX i (x); ui (x) (i = 1; 2; : : : ) | SOBSTWENNYE ZNA^ENIQI SOBSTWENNYE FUNKCII ZADA^I {TURMA{lIUWILLQ:Lui = i ui ; ui (0) = ui (1) = 0; kuikL2 (0;1) = 1;123d p(x) dL dxdx q(x);p(x); q(x) | GLADKIE FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE OCENKEp(x); q(x) > > 0; = const > 0: dOKAVITE NERAWENSTWOpsup ui (x) 6 p1 ji j:x2[0;1](3) pUSTXPOSLEDOWATELXNOSTX GARMONI^ESKIH W Rn FUNKCIJun (x) SLABO SHODITSQ PRI n ! 1 K FUNKCII u(x) 2 L2loc(Rn );T.E.
8' 2 D(Rn )7.ZZRRun (x)'(x) dx n!1! u(x)'(x) dx:nnwERNO LI, ^TO u (x) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ? oTWET OBOSNUJTE.8.(3) pUSTX '(x) 2 L2(R1 ) \ C (R1 ): dOKAVITE, ^TO RE[ENIEZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTIut = uxx; t > 0; ut=0 = '(x);x 2 ( 1; 1); STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 1 RAWNOMERNO POx 2 ( 1; 1):wSEGO 25 BALLOWGOD, POTOK MATEMATIKOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORa s {AMAEW2001.
.1.(2) pUSTX u(t; x) (x 2 R3 ) | RE[ENIE ZADA^I kO[I DLQ WOL-NOWOGO URAWNENIQut = u W (0; +1) R3 Iut=0 = 0; ut t=0 = '(x) 2 C01 (R3 );u 2 C 2 (0; +1) R3 \ C 1 [0; +1) R3 : mOVETLI NOSITELXFUNKCII u(t; x) LEVATX W CILINDRE jxj < R [0; +1); ESLIZ124R3'(x) dx 6= 0?(3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL DWOJNOGO SLOQ S NEPRERYWNOJPLOTNOSTX@, SOZDAWAEMYJ OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ S 2 C 1 ;UBYWAET NA BESKONE^NOSTI KAK r12 ; GDE r | RASSTOQNIE DO NEKOTOROJ FIKSIROWANNOJ TO^KI O 2 S:3. (3) pUSTX = (x; y )j 0 < x < a; 0 < y < b | PRQMOUGOLXNIK NA PLOSKOSTII C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ, TAKAQ ^TO18u(x; y) 2 H () SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO fRIDRIHSA2.ZZu2 dx dy 6 C jruj2 dx dy:2 2dOKAVITE, ^TO C > 2 (aa2 b+ b2) :4.
(3) pUSTXd2 + b d + cL a dx2dx| DIFFERENCIALXNYJ OPERATOR. pRI KAKIH a; b; c 2 R1 SU]ESTWUET NEPRERYWNOE NA R1 RE[ENIE URAWNENIQLu(x) = (x);GDE (x) | {FUNKCIQ (T.E. h; 'i = '(0) 8' 2 C01 (R1 ))?5. (3) pUSTX u(x) 2 H 1 ( 1; +1); T.E. u(x) 2 L2 (R1 ) I SU]ESTWUET OBOB]ENNAQ PROIZWODNAQ PO sOBOLEWU ux(x) = v(x) 2 L2 (R1 ):dOKAVITE, ^TO u(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ I u(x) ! 0; ESLIjxj ! 1:6. (3) pUSTX K = (r; ')j 0 < r < 1; 0 < ' < =6 | KRUGOWOJSEKTOR RASTWOROM 30; u(r; ') | GARMONI^ESKAQ W K FUNKCIQ,PRINADLEVA]AQ C 1 (K ): dOKAVITE, ^TOu(r; ') 6 Cr6 ;GDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.7. (3) pRI KAVDOM LI 2 R1 ZADA^Au = 1 W K = (r; ')j 1 < r < 2 ;@u = sin ';@u + u = sin2 ';@n r=1@nr=2125u 2 C 2 (K ) \ C 1 (K ); IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE? (~n | WNE[NQQNORMALX K GRANICE KOLXCA K:)8.
(4) pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ W [ARE jxj < 1 ; x 2R3; GARMONI^ESKOJFUNKCII u(x); TAKOJ, ^TO jruj NEOGRANI^ENW jxj < 1 :9. (4) dOKAVITE (ISPOLXZUQ INTEGRAL pUASSONA), ^TO SU]ESTWUET RE[ENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u(t; x) 2 C 2 ft > 0g R1x ;ut = uxx W ft > 0g R1x Iu(t; x) ! '(x) W L2 (R1x ) PRI t ! 0;GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L2 (R1x ) (NE OBQZATELXNO NEPRERYWNAQ!)wSEGO 28 BALLOWGOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa s {AMAEW2001. .(2) sTRUNA, BESKONE^NAQ W OBE STORONY, OTKLONENA W NA^ALXNYJ MOMENT WREMENI TAK, ^TO EE PROFILX IMEET WID1.u(0,x)106JJ J-0.5 1 xI NA^ALXNAQ SKOROSTX RAWNA 0. fUNKCIQ u(t; x) UDOWLETWORQETURAWNENI@utt = uxx:nARISUJTE GRAFIK FUNKCII u 14 ; x :2.
(3) dOKAVITE, ^TO ESLI POTENCIAL PROSTOGO SLOQ, SOZDAWAEMYJ ZAMKNUTOJ OGRANI^ENNOJ POWERHNOSTX@ lQPUNOWA, RAWENNUL@ WNE \TOJ POWERHNOSTI, TO PLOTNOSTX POTENCIALA | NULEWAQ (PLOTNOSTX PREDPOLAGAETSQ NEPRERYWNOJ).3. (3) rASSMOTRIM ZADA^U kO[I W POLOSE = [0; y0 ] R1x W R2x;y :u + u = 0 W ;126u 2 C 2 () \ C 1 ();uy=0 = '(x); uy y=0 = (x);'(x); (x) | OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA R1x : kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTWE1 = C (R1x ) C (R1x ); E2 = C (); ('; ) 2 E1 ; u 2 E2 ?eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJPRIMER.4.
(3) sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ GARMONI^ESKIHFUNKCIJ, ZADANNYH W POLOSE IZ PREDYDU]EJ ZADA^I? eSLI"DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITE OPROWERGA@]IJ PRIMER.5. (3) pRI KAKIH a 2 R1 KRAEWAQ ZADA^Au + 2u = x a W ;u@ = 0; = (0; ) (0; ) IMEET HOTQ BY ODNO RE[ENIE? oTWET OBOSNUJTE.6. (4) rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^Uutt = uxx W [0; 1] (0; +1);ux=0 = 0; uxx=1 = f (t); ut=0 = '(x); ut t=0 = (x);'(x); (x) | GLADKIE FINITNYE FUNKCII. dOKAVITE, ^TO MOVNOTAK WYBRATX GLADKU@ FUNKCI@ f (t); ^TO RE[ENIE \TOJ ZADA^Iu(t; x) BUDET NEOGRANI^ENNOJ FUNKCIEJ W POLOSE [0; 1] (0; +1):7. (4) rASSMOTRIM KRAEWU@ ZADA^Uut = uxx W [0; 1] (0; +1);ux=0 = f (t); ux=1 = g(t); ut=0 = '(x);f; g; ' | GLADKIE FUNKCII, PRI^EMf (t) ! a PRI t ! 1; g(t) ! b PRI t ! 1:kAKOJ PREDEL PRI t ! 1 W PROSTRANSTWE C [0; 1] (ESLI TAKOWOJWOOB]E ESTX) IMEET RE[ENIE u(t; x) \TOJ ZADA^I? oTWET OBOSNUJTE.8.
(4) pOSTROJTE PRIMER OBLASTI NA PLOSKOSTI R2 ; TAKOJ ^TOFUNKCII C 1 () NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGO MNOVESTWA WPROSTRANSTWE H 1 (); T.E. C 1 () 6= H 1 ():wSEGO 26 BALLOW127GOD, POTOK MATEMATIKOW, PERESDA^A, LEKTORa s {AMAEW2001. .A) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMU kOWALEWSKOJ O SU]ESTWOWANIII EDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGO RE[ENIQ.B) (3) pUSTX Rn | OBLASTX W Rn I2 u = 0 W ;u(x) 2 C 4 (): dOKAVITE, ^TO u(x) | WE]ESTWENNOANALITI^ESKAQ FUNKCIQ.2. (3) pUSTXut = uxx W POLOSE = (0; T ) R1x ; u 2 C 2 () \ C ();ut=0 = 0 8x 2 R1x I u(t; x) 6 C jxj:dOKAVITE, ^TO u 0 W :3. A) (1) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1 ():B)(3) pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W EDINI^NOM [ARE { = jxj <1 ; x 2 R3 ; FUNKCIQ, GLADKAQ W { n f0g: mOVNO LI UTWERVDATX,^TO u 2 H 1 ({)? eSLI "DA" | DOKAVITE, "NET" | PRIWEDITEOPROWERGA@]IJ PRIMER.4.
(2) sU]ESTWUET LI RE[ENIE URAWNENIQutt uxx = 0 W R2 ;TAKOE, ^TO u 2 C 2001 (R2 ); NO u 62 C 2002 (R2 )?5. (3) eDINI^NAQ SFERA W R3 RAWNOMERNO ZARQVENA S POSTOQNNOJPLOTNOSTX@ Q (POTENCIAL PROSTOGO SLOQ). nAJDITE POTENCIALWNUTRI I WNE SFERY.6. (4) pUSTX FUNKCIQ u(x); x 2 R3 ; UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u(x) W R3 ;A TAKVE OCENKEu(x) 6 C; x 2 R3 :dOKAVITE, ^TO u 0 W R3 :7. (4) pUSTX FUNKCIQ y (x) 2 D0 (R) I UDOWLETWORQET URAWNENI@y0 = y KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, SOOTWETSTWU@]AQ FUNKCII Cex;C = const :1.128(3) pUSTX | PROIZWOLXNAQ OBLASTX W R2 ; SODERVA]AQSQ WPOLOSE [0; 1] R1 : dOKAVITE DLQ NERAWENSTWO fRIDRIHSA8.ZZu2 dx dy 6 jruj2 dx dy;wSEGO 27 BALLOWu 2 H 1 ():?? GOD, POTOK MATEMATIKOW,a.s.{AMAEW??\KZAMEN, LEKTORA) (1) dAJTE OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1 ():B) (2) pRI KAKIH > 0 FUNKCIQ sin x PRINADLEVIT H 1 [0; ]?oTWET OBOSNUJTE.2.
(3) pUSTX u(x; t) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTIut = uxx W POLOSE = [0; 1] R+ ;R+ ft > 0g; u 2 C 2 () \ C 1 (); UDOWLETWORQ@]EE KRAEWYMUSLOWIQMuxx=0 = 1; uxx=1 = 1I NA^ALXNYM USLOWIQMut=0 = '(x); '(x) 2 C01 (0; 1):oGRANI^ENO LI \TO RE[ENIE NA ? (T.E. RASTET LI TEMPERATURA?)oTWET OBOSNUJTE.3. (4) pUSTX u(x; y ) | RE[ENIE URAWNENIQ lAPLASA W POLUPOLOSE = (0; 1) R+ NA PLOSKOSTI (x; y); R+ fy > 0g; u 2 C 2 () \C (); UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQMux=0 = ux=1 = 0; y > 0;PRI^EM u(x; y) ! 0 PRI y ! +1 RAWNOMERNO PO x: dOKAVITE,^TOu(x; y ) 6 Ce 3:14 y ;GDE C > 0 | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.4. (4) pUSTX u(x; y ) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W POLUPLOSKOSTIP = fy > 0g;1u(x; y ) 6 M; x 2 R; y 2 R+ I uy=0 = 0 8x 2 Rx ;1.129u 2 C (P ); GDE M | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.
dOKAVITE, ^TO u 0W P:5. (3) rASSMOTRIM ZADA^U kO[I S DANNYMI NA HARAKTERISTIKEft = xg DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = uxx NA PLOSKOSTI (x; t);ut=x = '(x); uxt=x = (x):pRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x); (x); ^TOBY DANNAQZADA^A NE IMELA RE[ENIQ.6. (3) kORREKTNA LI ZADA^Aut = uxx W = (0; 1) R1x ; u 2 C 2 () \ C (); ut=0 = '(x);('(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ) W PARE PROSTRANSTW (E0 ; E1 ); GDEE0 = C (R1x ) \ B (R1x ); E1 = C 2 () \ C () \ B ()S NORMAMIk'kE0 = sup1 j'(x)j; kukE1 = sup ju(x; t)j:(x;t)2RxoTWET OBOSNUJTE.7.
A) (1) dAJTE OPREDELENIE POTENCIALA PROSTOGO SLOQ.B) (3) dOKAVITE, ^TO POTENCIAL PROSTOGO SLOQ UBYWAET PRI r !1 KAK Cr ; GDE r | RASSTOQNIE OT TEKU]EJ TO^KI DO POWERHNOSTIS; S | OGRANI^ENNAQ POWERHNOSTX.wSEGO 24 BALLAGOD, POTOK MATEMATIKOW, ?? \KZAMEN, LEKTORa s {AMAEWwARIANT 1 (PERWAQ ^ASTX).2002. .1.(2) rE[ITE KRAEWU@ ZADA^U130utt uxx = 0;ut=2x = sin x; x > 0;t < 2x; x > 0;ut=0 = 0; ut t=0 = 1:2.(2) rE[ITE ZADA^U dIRIHLE W KOLXCE K = 1 < jxj < 3 ;@u + u = 1; @u = 2;u = 0 W K;@r@r r=3r=1r | RADIALXNAQ KOORDINATA.3. (2) dANA ZADA^A kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = u(t; x); x 2 R3 ; t > 0;ut=0 = 1 + jxj2 1 ;nAJDITE WELI^INU u(10; 0; 0; 0):ut t=0 = sin jxj:wARIANT 1 (WTORAQ ^ASTX).A) (1) sFORMULIRUJTE PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQTEPLOPROWODNOSTI.B) (1) sFORMULIRUJTE TEOREMY O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIHFUNKCIJ.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
