Задачник (1134178), страница 11
Текст из файла (страница 11)
eDINSTWENNOLI RE[ENIE TAKOJ ZADA^I dIRIHLE?102rE[ENIE2. rASSMOTRIM OBLASTX = f0 < r < 1; 0 < ' <=2g R ; GDE (r; ') { POLQRNYE KOORDINATY NA PLOSKOSTI, IGRANI^NU@ TO^KU x = 0 2 @ : rASSMOTRIM ZADA^U dIRIHLEu = 0; x 2 ;u(x)x2@ ; x=6 0 = 0:rE[ENIEDANNOJ ZADA^I NE EDINSTWENNO: u1 (r; ') 0; u2 (r; ') =12r r2 sin 2':zADA^A5.46.pUSTX R3 | WNE[NOSTX EDINI^NOGO [ARA. eDINSTWENNO LIRE[ENIE u(x) 2 C 2 () \ C () WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLEu(x) = 0; jxj > 1;ujxj=1 = 0PRI DOPOLNITELXNOM USLOWIIZA)j xj<1u( )2 d = O(1)B)Zj xj<1u( )2 d = o(1)PRI jxj ! +1?rE[ENIE.iZWESTNO, ^TO RE[ENIE WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLE W R3 EDINSTWENNO PRI DOPOLNITELXNOM USLOWII u(x) ! 0 PRI jxj ! +1:oCENIM u(x): pO TEOREME O SREDNEM DLQ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ PO [ARU S CENTROM W TO^KE x RADIUSA 11u(x)2 = 4=32Zj xj<1u( ) d 616 (4=3)2ZNERAWENSTWO kO[I{bUNQKOWSKOGOj xj<1d Zj xj<1u()21d = 4=3Zj xj<1u( )2 d:103uSLOWIE (A) \KWIWALENTNO USLOWI@ u(x) = O(1) PRI jxj !+1; KOTOROGO NEDOSTATO^NO DLQ EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ WR3 : rE[ENIE TAKOJ ZADA^INEEDINSTWENNO.
pRIMER: u1 (x) 0;u2 (x) = 1 jxj 1 ; u2(x) 6 1 PRI jxj > 1;u2 (x) = 0; jxj > 1;u2jxj=1 = 0;ZZu ( )2 d 6d = 4 = O(1) PRI jxj ! +1:2j xj<13j xj<1iZ USLOWIQ (B) SLEDUET, ^TO u(x) ! 0 PRI jxj ! +1; ZNA^IT,RE[ENIE TAKOJ ZADA^I EDINSTWENNO.zADA^A5.47.A) nAJTI RE[ENIE u(; ) ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W B12 (0) S GRANI^NYM USLOWIEM1Xu=1 =k=1k p 1 sin(kq );GDE p I q { ZADANNYE NATURALXNYE ^ISLA.B) pRI KAKIH p, q \TO RE[ENIE PRINADLEVIT PROSTRANSTWUH 1 (B12 (0))?rE[ENIE. a) oB]IJ WID RE[ENIQ ZADA^I dIRIHLE W KRUGEu(; ) = A0 +1Xn=1An n cos n +1XCn n sin n:n=1iZ GRANI^NOGO USLOWIQ WYTEKAET, ^TO An = 0,\TOM n = kq I Cn = k p 1 :n = 0; 1; : : : PRItAKIM OBRAZOM, RE[ENIEu(; ) =1Xk=1k p 1 kq sin kq :B) lEGKO POS^ITATX KWADRAT GRADIENTA RE[ENIQ (PRI 6= 0)22 ! X1q@u1@u2jru(; )j = @ + 2 @= k 2p+2q 2 2k 2k=1104eSLI u 2H 1 (B12 (0)),^TO 0 < < 1, TOGDATOZB12 (0)jruj2 dx < 1: wYBEREM TAKOE,Z2Z X10 0=1 2p+2q 2Xk 2p+2q 2 2kq 1 d d = 2 k 2kq 2kq =0k=1k=11Xk=11Xk 2p+q 2 2kq ! k 2p+qk=12PRI ! 1:rQD SHODITSQ, ESLI 2p + q 2 < 1; T.E.q < 1 + 2p:tAKVE MOVNO PROWERITX, ^TO KLASSI^ESKIJ GRADIENT FUNKCII uQWLQETSQ OBOB]ENNYM W [ARE B12 (0) I ^TO PRI POLU^ENNOM SOOTNO[ENII SAMA FUNKCIQ u PRINADLEVIT PROSTRANSTWU L2(B12 (0)):105oTWETY.( 1; 1) (1; 1) ( 1;1) .
1.2. a = 1.xe x) + C1 + C2 e x. 1.5. (y jxj)=2. 1.7. nET.dA B) DA; W) NET. 1.9.p nET, PRIMER: u = sin(1=jxj).B nET, PRIMER: u = x x2 . < 1=2; B) > 1=2, = 0. 1.13. < 1=2.A L@BOE, ESLI n > 7; < 1=2, ESLI n = 6.B) > 1=2 ILI = 0, ESLI n > 7.1.15. > 1=2, = 0; = (2k 1)=2; k 2 Z.1.16. = (2k 1); k 2 Z; L@BOE, ESLI n > 3; < 1=2, ESLI n = 2; = 0, ESLI n = 1.1.18. dA.
1.19. nET. 1.20. 0.1.1. (1;1) +1.4. ( )(11.8. a);1.10. )1.12. a)1.14. )2.1. nET. 2.2. dA | DLQ GIPERBOLI^ESKOGO I \LLIPTI^ESKOGO;NET | DLQ PARABOLI^ESKOGO. 2.3. tOLXKO U utt = uxx,PRIMER: u = x2 + t2 . 2.4. z 6= y 3x. 2.5 a) y = 2e(x 1); B) y = 0.2.6. a) x = C1 , x + y = C2 ; B) u = ey f (x) + g (x + y ).2.7. a) gIPERBOLI^ESKOE; B) x 2y = C1 , y = C2 ;W) u = xy + f (x 2y) + g(y).2.8. A) gIPERBOLI^ESKOE PRI =6 0, PARABOLI^ESKOE PRI = 0.B) 162 u 4u = 0 PRI y=6 x0;uxx + ux = 0 PRI = 0.W) u(x; y) = F (y + 3x) exp 4 + G(y x) PRI =6 0;u(x; y) = F (y) + G(y)e x PRI = 0;.
2.9. A) > 4; 2 ?;B) = 0; = 4; W) NET; G) DA. 2.11. A) x + t = C ; B) = 1;W) x + t = C PRI = 1; x t = C PRI = 1;G) PRIMER: u = t(x + t) PRI = 1; u = x t PRI = 1;D) PRIMER: u =psin(x t) PRI = 1; PRI = 1 RE[ENIJ NET.2.12. x y t 2 = 0. 2.13. z = C PRI = 0;PRI =6 0 DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET.2.14. u = ex f (x y; x z ) + e x g (x y; x z ).2.15. a) = x + y , = 2x y ; u + u + u = 0;Z 2x yhi(x+y)(y2x)B) u = ef (x + y) +g(s)e (x+y)sds .02.16. + 3 2 =6 0. 2.17. a) = 0; B) = 2.
2.18. nET.2.19. dA. 2.20. dA. 2.21. nET. 2.22. a) dA; B) NET.p2i mxg =kONTRPRIMER: u = um(x; t) = Reexpf pm + i m2 t + 1+pexpf m + pm2 xg cos m2 t + pm2 x . 2.23. > 0.106nET. pRIMER: un (x; y) = n12 eny sin n2 + 1 x :p3.1. nET. 3.2. jx1 x2 j 6 2. 3.3. pRIMER: '(x) = 1; (x) = x.3.4. A) '(x) = 7x2 ; (x) = 2x; NET; B) '(x) = x2 ; (x) = x.3.5. nET.3.6. < 0, | L@BOE; = 0, < 1=2.3.7.
= 0, | L@BOE; =6 Z 0, < 5=2. 3.8. ???.1 + jx0 j , c = 1 1 (x) dx.3.10. t0 =a2a 123.11. 1=a. 3.12. > =2 + 1. 3.13. u(x; y; t) = e (x+t) +2e (x t) + arctg(y + t) + arctg(y t) + (cos x + sin y) sin t =2.1 (t + jxj)9 jt jxjj9 , jxj =6 0; u(0; t) = 0.3.14. u(x; t) =18jxjpparctg(x+x+x+t3)arctg(x+x+xt3) .123123p3.15. u =p2.242 3A) u(t; x; y; z ) = sin x cos 2t + e2z ch 4t;B) u(t; x; y; z ) = (yz )2 + 4t2(y2 + z 2) + 163 t4 ;hppW) u(t; x; y; z ) = 12 (3x y + z + 2 11 t) exp(3x y + z + 2 11 t) +pp i(3x y + z 2 11 t) exp(3x y + z 2 11 t) .3.17. 1=2: 3.18.
a) x21 + x22 > (t + 1)2 ; B) 1=8.3.19. a) 0 6 t 6 minfx1 ; x2 ; 1 x1 ; 2 x2 g.3.20. 0 6 t 6 0:05, 0:9 + t 6 jxj 6 1 t;0:9 6 t 6 1, jxj 6 min(1 t; t 0:9). 3.21. q > 1=2 + m.3.22. A) n = 1; 2; KONTRPRIMER DLQ n = 3 SM. ZADA^U 3.20.3.23. nET. 3.24. a) t 2 ( x; 2 + x), 0 6 x 6 =2;t 2 (( x)+ ; 2 x) [ ( + x; 2 + x), =2 < x < 3=2;t 2 ((x 2)+ ; x ) [ ( + x; 2 + x), x > 3=2.3.25. I) (=6 1, ' 2 C 2 (R + ), '0 (0) = 0, '00 (0) = 0;1(x t)];x > t;u(x; t) = 21 ['(x + t) + '+12['(x + t) + '(t x)'(0)]; x < t;3.16.2 1(1x > t;II) = 1, '(x) K = const; u(x; t) = K;K + f (t x); x < t;GDE f 2 C 2 (R + ), f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = 0.
p3.26. '0 (x) 2 (x) = C . 3.27. A = 1, ! = 2;107( 1(x+t)2 + e (x t)2 ;2 e1 e (x+t)2 e (x t)2 + cos p2(x2x > t;u(x; t) =t); x < t:3.28. B) ??? 3.29. = 0, ; k | L@BYE; 6= 0, > 2, k < 1;RE[ENIE EDINSTWENNO PRI k > 1 I NEEDINSTWENNO PRI k < 1.3.30. a) 0 6 t + x 6 2, 0 6 t x 6 1=2;W) u(x; t) = '((t + x)=2) '(3(t x)=2) + (t x).3.32. = = = 0; u(x; t) = sin x cos t.3.33. a) 30 + 36 2 ; B) 4 sin3 x. 3.34.
nET. 3.35. 1=105.3.36. 1=1260. 3.37. ! 2= f4; 6g. 3.38. 6= k; k 2 N .3.39. A) k > 1= ; B) SM. RE[ENIE. 3.40. dA.4.1. dA. 4.2. nET. 4.3. a) nET; B) DA; W) NET. 4.4. nET. 4.5. nET.Z 14.6. dA. 4.8. 0. 4.9. A) pRI L@BOJ '(x): B)'(x)dx = 0:4.10. < 2 . 4.11.0Z'(x) sin x dx = 0.Z 34.12. a) '(x) | L@BAQ. B)'(x) sin kx dx = 0 PRI k = 1; 2;003W) '(x) 0. 4.13. 1 + 6x=. 4.14.
x1 x2 . 4.15.1. 4.16. < 4=3.Z 14.17. 3x 2. 4.18. +1. 4.19. A) l > 1=3; B)'(x) sh(!x)dx = 0;0GDE ! > 0 { RE[ENIE URAWNENIQ ! = 3 th !:4.20. A) ??? B) ??? W) ??? 4.21. B) nET. 4.23. mOVNO.4.25. nEOGRANI^ENO. 4.26. a(1 x) + bx. 4.27. nET.4.29. t < 1=4K . 4.31. nET. 4.32. u(x; t) = C . 4.33. 1=2.4.34. =2. 4.35. A=2.
4.36. A) 1=2; B) 1=2; W) 1=4.p4.37. A), B) u(t; x) = e (x1 +x2 +x3 ) 4.38. . 4.39. A = 1=2.4.40. dA.5.1. u(x; y ) = xy 3 x3 y + C1 x + C2 . 5.2. u(x) 0.5.3. u(x; y ) = C1 x + C2 y + C3 , GDE C1 < C2 .5.4. nET. 5.5. sUMMA RAWNA NUL@. 5.6. 0. 5.7. =16 1=4.5.8. wTOROJ INTEGRAL. 5.9. u2 (x0 ). 5.10. a) nET; B) DA.5.11. a)p nET; B) DA; W) NET; G) DA.5.12. 3. 5.13. nET. 5.15. dAp . 5.16.
(B) 0.5.18. nET. pRIMER: Q = [0p; 2 ] [0; 2];u(x; y) = exp( x=2) sin(x= 2) sin(y=2):5.19. wERNO, u 0: 5.20. nET.5.23. fUNKCIQ u(x); POLU^ENNAQ PO FORMULE DLQ RE[ENIQ ZADA^I108dIRIHLE S RAZRYWNOJ GRANI^NOJFUNKCIEJ, NAPRIMER:0;> 0;u = 0; jxj < 1; ujxj=1 = 1; xx1 <1 0:5.28. nET. 5.29. 2 f 3=4; 0g.5.30. I) =6 0; 8 ; u = 22 1 + ln 2 ;II) = 0; = 1=2; u =p ln + C .3 3 + cos sin 2 .5.31. dA. 5.32.
u =4225.33. a) dA; B) NET. 5.34. < 1. 5.35. < 3=2.5.36. u(0; y ) = 2 + (y 2) ln(2 y ) y ln( y ).5.37. 1. 5.38. dA.1 4 r cos + 2 1 + r sin :5.39. A) dA; B) u(r; ) =5 r5 r5.40. A) pRIMER: u(x; y ) = sin(x) exp(y ): B) dA.5.41. nET. 5.42. 1=25: 5.43. nET. 5.44 a = =2:5.45 nET. 5.46. A) nET; B) dA.1 p 1 kqP5.47. a) u(; ) =k sin(kq ); B) q < 2p + 1.k=15.50. B) u(x) 0; W) u(x) 0.
5.51. u(x) 0:5.52. =2: 5.53. 2 . 5.54. ???109|KZAMENACIONNYE WARIANTY2003 GOD, POTOK \KONOMISTOW, OSNOWNOJ \KZAMEN, LEKTORa.`.gORICKIJA) (1+1) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET LINEJNAQ ZAMENA PEREMENNYH (x; y) ! (t; z ), PEREWODQ]AQ URAWNENIEuxx 2uxy + uyy = 0(1)| W URAWNENIE STRUNY utt = uzz ;| W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz .B) (1+2) tE VE WOPROSY OB URAWNENIIuxx 2uxy + uyy + 2ux 2 uy = 0:W) (3) pUSTX OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ u(x; y) 2 C 2 (R2 ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (1) S NEKOTORYM > 5. mOVET LI PRI \TOMu 6 const? oTWET OBOSNOWATX.G) (2) tOT VE WOPROS DLQ < 5.2.
A) (1+1) oPISATX WSE -PERIODI^ESKIE FUNKCII '(x) I (x),PRI KOTORYH RE[ENIE u(t; x) ZADA^I kO[I(2)9utt = uxx;ut=0 = '(x); utt=0 = (x)QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ PO t. nAJTI \TOT PERIOD.B) (2+1) tE VE WOPROSY DLQ ZADA^I9utt = uxx + sin t;ut=0 = '(x); ut t=0 = (x):W) (3) mOVET LI PERIOD PO t U RE[ENIQ u(t; x) ZADA^I kO[I (2)BYTX MENX[E 2 PRI USLOWII, ^TO ' I | -PERIODI^NY I NEIME@T MENX[IH PERIODOW?3. pUSTX u(t; x) | RE[ENIE W POLUPOLOSE (t; x) 2 (0; +1) (0; )KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx; uxx=0 = ux= = 0; ut=0 = '(x):A) (3) dOKAZATX, ^TO sup ju(1; x)j 6 sup j'(x)j:0<x<0<x<B) (2) wERNO LI, ^TO DLQ L@BOGO NA^ALXNOGO USLOWIQ '(x) WYPOLNENOsup ju(1; x)j 6 12 sup j'(x)j ?1.0<x<1100<x<W) (3) nAJTI RE[ENIE u(t; x) POSTAWLENNOJ ZADA^I S NA^ALXNOJFUNKCIEJ '(x) = ( x)( + x).4.
A) (1+1) dATX OPREDELENIE PROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA.dATX OPREDELENIE PROSTRANSTWA H 1 ().B) (2) pRIWESTI PRIMER NIGDE NE DIFFERENCIRUEMOJ (W KLASSI^ESKOM SMYSLE) FUNKCII, PRINADLEVA]EJ PROSTRANSTWU H 1 (), R2 . dOKAZATX EE PRINADLEVNOSTX \TOMU PROSTRANSTWU. oTWET OBOSNOWATX.W) (3) rASSMATRIWAETSQ FUNKCIQ f (x) = jxj sin(!jxj) W EDINI^NOM [ARE B1 = fx 2 R3 j jxj < 1g.
pRI KAKIH I ! WYPOLNENO f (x) 2 H 1 (B1 )?kRITERII OCENOK: \OTLI^NO" | 19 BALLOW; \HORO[O" |12 BALLOW; \UDOWLETWORITELXNO" | 5 BALLOW PRI MAKSIMALXNOWOZMOVNOJ SUMME 32 BALLA. wREMQ NAPISANIQ | 3 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA.2000GOD, POTOK MEHANIKOW, PERESDA^A, LEKTORa.`.gORICKIJpERWAQ ^ASTXA) (1) oPREDELITX TIP URAWNENIQuxx 6uxy + uyy + 2ux + (3 )uy + 4 5 u = 0 ()W ZAWISIMOSTI OT PARAMETRA 2 R.B) (1) pRIWESTI URAWNENIE () K KANONI^ESKOMU WIDU PRI = 5.W) (1) tOT VE WOPROS DLQ = 9.G) (1) nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ () PRI = 5.W) (1) tOT VE WOPROS DLQ = 9.2. A) (1) dATX OPREDELENIE FUNKCII gRINA ZADA^I dIRIHLE DLQURAWNENIQ lAPLASA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI R3 .B) (2) w PREDPOLOVENII, ^TO SU]ESTWUET KLASSI^ESKOE RE[ENIEZADA^Iu(x) = f (x); x 2 ;ux2@ = '(x);WYWESTI FORMULU, DA@]EE \TO RE[ENIE ^EREZ FUNKCI@ gRINA.W) (1) nAPISATX FORMULU pUASSONA, DA@]EE RE[ENIE ZADA^I dIRIHLE DLQ URAWNENIQ lAPLASA W [ARE.1.111A) (1) sFORMULIROWATX POSTANOWKU ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI.B) (2) sFORMULIROWATX I DOKAZATX PRINCIP MAKSIMUMA DLQURAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W SLOE I TEOREMU EDINSTWENNOSTIDLQ POSTAWLENNOJ ZADA^I kO[I.3.wTORAQ ^ASTXnAJTI FUNKCI@ u(x; y; z; t), QWLQ@]U@SQ RE[ENIEM ZADA^IkO[I8@2u + @2u + @2u ;< @u=@t@x22 @y2 @z 2: u t=0 = e x cos(2y z ):2.
nAJTI, PRI KAKIH a I b IMEET RE[ENIE SLEDU@]AQ ZADA^A832u = u(r; ); r < 1;< u = r (a + cos );: @u < < :@r r=1 = bjj;1.uSLOWIQ PROWEDENIQ \KZAMENA. wREMQ NAPISANIQ PERWOJ^ASTI RABOTY | 1,5 ASTRONOMI^ESKIH ^ASA. dLQ POLU^ENIQ OCENKI \UDOWLETWORITELXNO" NEOBHODIMO I DOSTATO^NO NABRATX NEMENEE 4 BALLOW IZ WOZMOVNYH 12. dLQ TOGO ^TOBY PRETENDOWATXNA OCENKI \HORO[O" I \OTLI^NO" NEOBHODIMO NABRATX NE MENEESOOTWETSTWENNO 8 I 10 BALLOW, I TEM SAMY PROJTI NA WTORU@^ASTX \KZAMENA.dALEE, DLQ POLU^ENIQ OCENKI \OTLI^NO" ILI \HORO[O" POREZULXTATAM WTOROJ ^ASTI \KZAMENA NEOBHODIMO RE[ITX SOOTWETSTWENNO OBE ILI ODNU IZ PREDLOVENNYH ZADA^.GOD, POTOK MEHANIKOW, DOSRO^NYJ \KZAMEN, LEKTORg a ~E^KIN2003.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
