Задачник (1134178), страница 6
Текст из файла (страница 6)
pUSTX u(x; t) | RE[ENIE ZADA^I kO[I(44ut = u W Rn R+ ;ut=0 = '1 (x1 ) : : : 'n (xn );x 2 Rn ;nQ'k (xk ) 2 C (R) \ L1 (R); k = 1; : : : ; n. tOGDA u(x; t) = uk (x; t),k=1GDE uk (x; t) | RE[ENIQ ZADA^ kO[I(W R R+ ;x 2 R;k = 1; : : : ; n:dLQ OGRANI^ENNYH RE[ENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTISPRAWEDLIW PRINCIP MAKSIMUMA W SLOE:ESLI FUNKCIQ u(x; t) 2 C 2 (T ) \ Cb (T ) UDOWLETWORQET W SLOET ODNORODNOMU URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI ut = a2 uxx, TOinf u(x; 0) 6 u(x; t) 6 supn u(x; 0) 8(x; t) 2 T :x2Rn(uk )t = (uk )xxuk t=0 = 'k (x);x2RdLQ OGRANI^ENNYH RE[ENIJ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTISPRAWEDLIWY TEOREMY O STABILIZACII:pUSTX u(x; t) | OGRANI^ENNOE RE[ENIE ZADA^I kO[I(ut = uxxW R R+ ;u t=0 = '(x); x 2 R;'(x) 2 C (R) \ L1 (R): tOGDAA+ + A :1.
eSLI lim '(x) = A ; TO lim u(x; t) =x!1t!+12l1 Z '(x)dx = A; TO lim u(x; t) = A :2. eSLI limt!+1l!+1 l2l3. eSLI '(x) | PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ, TO lim u(x; t) = '0 ;t!+1GDE '0 | NULEWOJ KO\FFICIENT RAZLOVENIQ FUNKCII '(x) W RQDfURXE, PROSTRANSTWENNOE SREDNEE.454.27. sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA W SLOE DLQ URAWNENIQut +xu = 0 W TOM VE WIDE, W KAKOM ON SPRAWEDLIW DLQ URAWNENIQTEPLOPROWODNOSTI?4.28. dOKAZATX, ^TO RE[ENIE u(x; t) ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ ut = uxx BUDET NE^ETNYM PO x, ESLI NA^ALXNAQ FUNKCIQu(x; 0) | NE^ETNAQ.4.29.
pRI KAKIH t > 0 SU]ESTWUET INTEGRAL, WHODQ]IJ W FORMULU, KOTORAQ DAET RE[ENIE ZADA^I kO[Iut = uxx; ut=0 = '(x);ESLI TREBOWANIE OGRANI^ENNOSTI '(x) ZAMENQETSQ PREDPOLOVENIEMj'(x)j 6 MeKx2 ; M > 0; K > 0?4.30. dOKAVITE (ISPOLXZUQ INTEGRAL pUASSONA), ^TO SU]ESTWUET RE[ENIE u(x; t) 2 C 2 (R R+ ) W R R+ SLEDU@]EJ ZADA^I:ut = uxx; u(x; t) ! '(x) W L2 (R) PRI t ! 0;GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ IZ L2 (Rx ) (NE OBQZATELXNO NEPRERYWNAQ!)4.31. eDINSTWENNA LI FUNKCIQ u(x; t) SO SLEDU@]IMI SWOJST2;1 (R (0; h]);WAMI: u 2 Cx;tut = uxx; (x; t) 2 R (0; h];lim u(x; t) = 0 8x 2 R;sup ju(x; t)j < +1 8t 2 (0; h]?t!0x2R4.32. pUSTX G = f(x; t) j x 2 R; t 2 R g. nAJTI WSE FUNKCII2;1 (G); OGRANI^ENNYE W G I UDOWLETWOu(x; t), PRINADLEVA]IE Cx;tRQ@]IE W G URAWNENI@ ut = uxx.4.33.
pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I2 + sin xut = 4uxx; ut=0 = x1 +2x2 :nAJTI t!limu(x; t):+1464.34.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[Iut = uxx;ut=0 = arcctg x:nAJTI t!limu(x; t):+14.35.kO[IpUSTX u(x; t) | OGRANI^ENNOE RE[ENIE W R R+ ZADA^Iut = uxx;ut=0 = '(x) 2 C (R) \ L1 (R):nAJTI t!limu(0; t), ESLI+11 Z l '(x) dx = A:liml!+1 llnAJTI t!limu(x; y; t); GDE u(x; y; t) | RE[ENIE W R2 R++1ZADA^I kO[I4.36.ut = uxx + uyy ;ut=0 = '(x; y)PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH:22A) '(x; y) = 1 +x 2x2 ; B) '(x; y) = sin2 y; W) '(x; y) = (1x +sin2yx)2 :4.37.A) rE[ITX ZADA^U kO[I W R3 R+ut = u 3u;ut=0 = e (x1 +x2 +x3 ) :B) nAJTI tlim!1 u(x; t):4.38.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I:ut = uxx;nAJTI tlim!11Z0ut=0 = e x2 :u(x; t) dx:474.39.
pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R R+ ZADA^I kO[I URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI S \POTENCIALOM":ut = uxx u; ut=0 = sin2 x:dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET POSTOQNNAQ A, TAKAQ, ^TOu(x; t) Ae t 6 (t)e t ;GDE FUNKCIQ (t) ! 0 PRI t ! 1. nAJTI POSTOQNNU@ A.4.40. pUSTX POLOVITELXNAQ OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ UDOWLETWORQET URAWNENI@ut = uW SLOE R3 (0; 1) Iu0W KUBE (0; 1) (0; 1) (0; 1) (0; 1):wERNO LI, ^TO u 0 W SLOE R3 (0; 1)?TT4.41. pUSTX u 2 C 2 (QTR ) \ C (Q R ) | RE[ENIE W POLOSE QR ZADA^I kO[Iut = uxx; ut=0 = 0 I ju(x; t)j 6 C jxj:dOKAZATX, ^TO u 0 W QTR .4.42. pUSTX := R R+ n f(0; 1)g | POLUPLOSKOSTX S ODNOJ\WYKOLOTOJ" TO^KOJ; u(x; t) | RE[ENIE URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W I ju(x; t)j < M PRI (x; t) 2 .
dOKAZATX, ^TO OSOBENNOSTX W TO^KE (0; 1) USTRANIMA, T.E. MOVNO TAK DOOPREDELITXFUNKCI@ u(x; t) W \TOJ TO^KE, ^TO ONA BUDET RE[ENIEM URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W R R+ .4.43. nAJTI RE[ENIE u(x; t) 2 C (R + R) ZADA^I:ut = uxx; (x; t) 2 R + R;ux=0 = cos 5t; t 2 R;sup ju(x; t)j < 1:485uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPAgARMONI^ESKIE FUNKCIIfUNKCIQ u 2 C 2 () NAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ W OBLASTI ,ESLIu = 0:tEOREMA O SREDNEM. eSLI u | GARMONI^ESKAQ W OBLASTI FUNKCIQ, TOu(x0 ) = jS n (1x )jR 0ZSRn (x0 )u(x0 ) = jB n 1(x )jR 0ZBRn (x0 )u(x) ds;u(x) dx:pRINCIP MAKSIMUMA.
pUSTX u GARMONI^ESKAQ W I NEPRERYWNAQ W FUNKCIQ I u(x0 ) = M max, x0 2 , TOGDA u MW :tEOREMA lIUWILLQ. eSLI u | GARMONI^ESKAQ W Rn OGRANI^ENNAQ FUNKCIQ, TO u const.lEMMA hOPFA{oLEJNIK O NORMALXNOJ PROIZWODNOJ.pUSTX GARMONI^ESKAQ W [ARE B FUNKCIQ u(x) | OTLI^NA OTPOSTOQNNOJ, u 2 C (B ) I PUSTX u PRINIMAET NAIMENX[EE (NAIBOLX[EE) ZNA^ENIE W TO^KE b 2 @B . eSLI W TO^KE b SU]ESTWUETPROIZWODNAQ @u@ , GDE | NAPRAWLENIE, OBRAZU@]EE OSTRYJ UGOL S WNE[NEJ NORMALX@ K GRANICE [ARA @B W TO^KE b, TO@u < 0@u > 0 :@@nERAWENSTWO hARNAKA.
pUSTX u | GARMONI^ESKAQ W [AREBRn (0) I NEPRERYWNAQ W B nR (0) NEOTRICATELXNAQ FUNKCIQ, TOGDAu(0)Rn 2 (RR+ jxjjx)nj 1 6 u(x) 6 u(0)Rn 2 (RR +jxjjx)nj 1 :49tEOREMA OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. eSLI u | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W n f0g Iu(x) 6 (x)En (x);GDE (x) ! 0 PRI x ! 0, A En | FUNDAMENTALXNOE RE[ENIEOPERATORA lAPLASA, TO FUNKCI@ u MOVNO DOOPREDELITX W 0 TAK,^TOBY u BYLA GARMONI^ESKOJ WEZDE W :tEOREMA O POTOKE. eSLI u | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W ;u 2 C 1 (); TOZ@u dS = 0;@@GDE | WEKTOR WNE[NEJ NORMALI K @ :5.1.RYHnAJTI WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII u(x; y); DLQ KOTOuy (x; y) = 3xy2 x3 :5.2.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W Rn FUNKCII, PRINADLEVA]IE5.3.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII u(x; y); DLQ KOTO-L2 (Rn ):RYH8 (x; y) 2 R2 :ux (x; y) < uy (x; y)5.4.pUSTX = (x; y) 2 R2 0 < x < 1; 0 < y < 1 ; u 2 C 2 ();u = 0 W ;uy=0 = uy=1 = 0 PRI 0 6 x 6 1:Z1mOVET LI FUNKCIQ f (x) := u2 (x; y) dy IMETX TO^KU PEREGIBAWNUTRI INTERWALA (0; 1)?500pUSTX u(x) { GARMONI^ESKAQ W Ban (0) I NEPRERYWNAQnBa (0) FUNKCIQ, u(0) = 0.
nAJTI SWQZX MEVDU ^ISLAMIW5.5.ZB+u(x) dx IZBu(x) dx;GDE B + = x 2 Ban (0) u(x) > 0 ; B = x 2 Ban (0) u(x) < 0 :5.6.pUSTX u { GARMONI^ESKAQ W B12 (0) FUNKCIQ. nAJTIZ205.7.pUSTX u(x) 2 C 2 (B12 (0)) \ C (B12 (0));u(x) = 0; x := (x1 ; x2 ) 2 B12 (0);u(x) = x22 ; x 2 S12 (0); x2 > 0;u(x) = x2 ; x 2 S12 (0); x2 < 0:nAJTI5.8.u (1; ) d:ZB12=2 (0)u(x) dx:pUSTX u(x) = 1; x 2 B22 (0)nB12(0): ~TO BOLX[E:ZS12 (0)@u (; ) ds ILI@ZS22 (0)@u (; ) ds?@pUSTX 1 2 ; uk 2 C 2 (k ) \ C (k );uk (x) = 0; x 2 k ; uk (x) = fk (x); x 2 @ k (k = 1; 2);f1 (x1 ) < f2 (x2 ) 8x1 2 @ 1 ; 8x2 2 @ 2 ;5.9.x0 2 1 { PROIZWOLXNAQ TO^KA.
~TO BOLX[E: u1(x0 ) ILI u2 (x0 )?51pUSTX u 2 C 2 (B12 (0)) \ C (B12 (0));ux1 x1 + ux1x2 + ux2 x2 = 1; x := (x1 ; x2 ) 2 B12 (0):mOVET LI u(x) IMETX WNUTRI B12 (0)A) MAKSIMUM;B) MINIMUM?5.11. pUSTX u 2 C 2 () \ C (); q 2 C ();u(x) + q(x) u(x) = 0; x 2 ; M = max u(x); m = maxu(x):@5.10.wOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLIA) q(x) 0;B) q(x) > 0;W) q(x) < 0; M > 0;G) q(x) < 0; M < 0?5.12.
pUSTX = (x; y ) 2 R2 1 6 x2 + 2y 2 6 2 ; u 2 C 2 ();u(x; y) = 0;u(x; y) = x + y;@u(x; y) + (1 x)u(x; y) = 0;@nAJTI max u(x; y):(x; y) 2 ;x2 + 2y2 = 2;x2 + 2y2 = 1:pUSTX 1 := R3 nB13 (0); uk 2 C 2 (1 ) \ C (1 );uk (x) = 0; x 2 1 (k = 1; 2);u1(x) < u2 (x) 8x 2 @ 1 :sLEDUET LI OTS@DA, ^TO u1 (x) < u2 (x) 8x 2 1 ?5.14. pUSTX u 2 C 2 () \ C 1 ();@u(x) = (x); x 2 @ :u(x) = 0; x 2 ;@dOKAZATX, ^TO (x) OBRA]AETSQ W NULX NE MENEE ^EM W DWUH TO^KAH NA @ :5.13.52pUSTX B+ := x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 B13 (0) x3 > 0 ; FUNKCIQu(x) OPREDELENA I NEPRERYWNA W B + , RAWNA NUL@ PRI x3 = 0 IQWLQETSQ GARMONI^ESKOJ W B+ .
wERNO LI, ^TO u(x) MOVNO PRODOLVITX DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJ WS@DU W B13 (0)?5.16. A) pUSTX R2 ; 1 = R2 n; u 2 C 2 (1 ) \ C (1 ) \L1 (1 );u(x) = 0;x = (x1 ; x2 ) 2 1 :dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET jxlimu(x):j!1B) nAJTI \TOT PREDEL W SLU^AE, KOGDA = B12 (0) I5.15.Z20u(cos ; sin ) d = 0:pUSTX Q := x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 x21 + x22 < 1; jx3 j < 1 ;L := (0; 0; x3) jx3 j < 21 ; FUNKCIQ u(x) QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ I OGRANI^ENNOJ W QnL: dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ u(x) MOVETBYTX PRODOLVENA DO FUNKCII, GARMONI^ESKOJ WS@DU W Q:5.18.
sPRAWEDLIW LI PRINCIP MAKSIMUMA DLQ URAWNENIQ@2 + @2 ;u + ux + u = 0; = @x2 @y 2W OGRANI^ENNOJ OBLASTI Q NA PLOSKOSTI W TOJ VE FORME, KAKDLQ URAWNENIQ lAPLASA?5.19. pUSTX u(x) | GARMONI^ESKAQ W R3 FUNKCIQ IZZZu2 (x) dx < 1:(1 + jxj)335.17.RwERNO LI, ^TO u(x) const W R3 ?5.20. sU]ESTWUET LI POLOVITELXNAQ GARMONI^ESKAQ FUNKCIQW [ARE B13 (0); TAKAQ, ^TOu(0; 0; 0) = 1; u(0; 0; 1=2) = 10?53pUSTX FUNKCIQ u(x); ZADANNAQ W [ARE B13 (0); UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u ( = const < 0)I u(x) 0 W [ARE B3 (0) RADIUSA ; = const; 0 < < 1:dOKAVITE, ^TO u 0 W B13 (0):5.22. pUSTX K = (r; ')j 0 < r < 1; 0 < ' < =6 | KRUGOWOJSEKTOR RASTWOROM 30; u(r; ') | GARMONI^ESKAQ W K FUNKCIQ,PRINADLEVA]AQ C 1 (K ): dOKAVITE, ^TOu(r; ') 6 Cr6 ;GDE C = const > 0:5.21.pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ W [ARE B13 (0) GARMONI^ESKOJ FUNKCII u(x); TAKOJ, ^TO jruj NEOGRANI^EN W B13 (0):5.24. pUSTX FUNKCIQ u(x); x 2 R3 ; UDOWLETWORQET URAWNENI@u = u(x) W R3 ;A TAKVE OCENKEu(x) 6 C; x 2 R3 :dOKAVITE, ^TO u 0 W R3 :5.25.
pUSTX u(x; y ) | RE[ENIE URAWNENIQ lAPLASA W POLUPOLOSE = (0; 1) R+ NA PLOSKOSTI (x; y); R+ fy > 0g;u 2 C 2 () \ C (); UDOWLETWORQ@]EE GRANI^NYM USLOWIQMux=0 = ux=1 = 0; y > 0;PRI^EM u(x; y) ! 0 PRI y ! +1 RAWNOMERNO PO x: dOKAVITE,^TOu(x; y ) 6 Ce 3:14 y ;GDE C = const > 0:5.26. pUSTX u(x; y ) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W POLUPLOSKOSTI P = fy > 0g; u 2 C (P );u(x; y ) 6 M;x 2 R; y 2 R+ Iuy=0 = 0 8x 2 R1x ;GDE M | NEKOTORAQ POSTOQNNAQ. dOKAVITE, ^TO u 0 W P:5.23.54kLASSI^ESKAQ POSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^fORMULY gRINAeSLI u; v 2 C 2 () \ C 1 (), TOZZvu dx =Z@v @u@ ds(vu uv) dx =Z @Zrurv dx;@v ds;v @uu@ @(10)GDE | WEKTOR EDINI^NOJ WNE[NEJ NORMALI K GRANICE OBLASTI@ :wNUTRENNQQ ZADA^A dIRIHLEpUSTX 2 Rn { OGRANI^ENNAQ OBLASTX, @ { POWERHNOSTX KLASSAC2:kLASSI^ESKOJ ZADA^EJ dIRIHLE NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2 () \ C () :u = f (x);x 2 ;ux2@ = '(x);GDE f (x) 2 C (); '(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII.rE[ENIE WNUTRENNEJ ZADA^I dIRIHLE SU]ESTWUET I EDINSTWENNO.wNUTRENNQQ ZADA^A nEJMANAkLASSI^ESKOJ ZADA^EJ nEJMANA W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2 C 2 () \ C 1 () :8x 2 ;< u = f (x);@u (11)= '(x);:@ x2@ GDE f (x) 2 C (); '(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII, | WEKTORWNE[NEJ NORMALI K @ :55uSLOWIEM RAZRE[IMOSTI ZADA^I nEJMANA (11) QWLQETSQ RAWENSTWO NA FUNKCII f (x) I '(x)ZZZZ@uf (x) dx = u dx = @ dS = '(x) dS;@@(KOTOROE SLEDUET IZ FORMULY gRINA (10) PRI v(x) 1).
rE[ENIE ZADA^I (11) NE EDINSTWENNO, A OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DOPROIZWOLXNOJ ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ: ESLI u1 (x) I u2 (x) { RE[ENIQ (11), TO u1 (x) u2 (x) const :wNE[NQQ ZADA^A dIRIHLEpUSTX 2 Rn { OGRANI^ENNAQ OBLASTX S GRANICEJ @ KLASSAC 2 ; 1 Rn n :kLASSI^ESKOJ WNE[NEJ ZADA^EJ dIRIHLE W NEOGRANI^ENNOJOBLASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2C 2 (1 ) \ C (1 ); UDOWLETWORQ@]EJ SISTEMEu = f (x); x 2 1 ;ux2@ 1 = '(x);I USLOWI@ NA BESKONE^NOSTI(n > 3); u(x)! 0 PRI jxj ! 1(12)u(x) 6 C PRI jxj ! 1(n = 2);GDE f (x) 2 C (1 ) \ L1 (1 ); '(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII,C { NEKOTORAQ POSTOQNNAQ.rE[ENIE WNE[NEJ ZADA^I dIRIHLE SU]ESTWUET I EDINSTWENNO.wNE[NQQ ZADA^A nEJMANAkLASSI^ESKOJ WNE[NEJ ZADA^EJ nEJMANA W NEOGRANI^ENNOJ OBLASTI 1 NAZYWAETSQ ZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x) 2C 2 (1 ) \ C 1 (1 ); UDOWLETWORQ@]EJ@uu = f (x); x 2 1 ;@ x2@ 1 = '(x);56I USLOWI@ (12) NA BESKONE^NOSTI; ZDESX f (x) 2 C (1 ) \ L1 (1 );'(x) 2 C (@ ) { ZADANNYE FUNKCII, | WEKTOR WNE[NEJ NORMALI K @ 1 :pRI n > 3 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE RE[ENIE WNE[NEJ ZADA^I nEJMANA.pRI n = 2 WNE[NQQ ZADA^A nEJMANA RAZRE[IMA TOLXKO PRIDOPOLNITELXNOM USLOWIIZ1f (x) dx =Z@ 1'(x) dS ;EE RE[ENIE OPREDELQETSQ NEODNOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO PROIZWOLXNOJ ADDITIWNOJ POSTOQNNOJ.kRAEWYE ZADA^I NA PLOSKOSTIrE[ENIE KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ lAPLASA u = 0 W KRUGEILI KOLXCE MOVNO POLU^ITX, ESLI PEREJTI W POLQRNYE KOORDINATY21 @ 2 u = 0;u(; ) = @@u2 + 1 @u+@ 2 @2I PRIMENITX METOD RAZDELENIQ PEREMENNYH.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
