Задачник (1134178), страница 2
Текст из файла (страница 2)
| 3-E IZDANIE. | m.:nAUKA, 1988. | 336 c.5. sOBOLEW s.l. iZBRANNYE WOPROSY TEORII FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTW I OBOB]ENNYH FUNKCIJ. | m.: nAUKA,6.7.8.9.1989. | 254 c.pETROWSKIJ i.g. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | 3-E IZDANIE | m.: fIZMATGIZ, 1961. | 400 S.sOBOLEW s.l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-EIZDANIE. | m.: nAUKA, 1992. | 432 S.tIHONOW a.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 6-E IZDANIE. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA,1999. | 798 S.kURANT r. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.:mIR, 1964.710. iLXIN a.m., kALA[NIKOW a.s., oLEJNIK o.a. lINEJ-NYE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA PARABOLI^ESKOGO TIPA11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.8//umn.{ 1962.{ T.
17, WYP. 3.{ S. 3{146 (SM. TAKVE tRUDYSEMINARA IM. i.g.pETROWSKOGO.{ 2001.{ T. 21.{ S. 9{193.)mIHAJLOW w.p. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W ^ASTNYHPROIZWODNYH. | m.: nAUKA, 1984.oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK. UN-TA, 1976.oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: iZD-WO mOSK.
UN-TA, 2004.kOME^ a. i., pRAKTI^ESKOE RE[ENIE URAWNENIJ MATEMA-TI^ESKOJ FIZIKI (u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE DLQ STUDENTOW UNIWERSITETOW) | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK.UN-TA, 1993.aRNOLXD w. i., lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mk nmu, 1995.lADYVENSKAQ o.a. kRAEWYE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: nAUKA, 1973.|WANS l.k. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | nOWOSIBIRSK.: iZD-WO nAU^NAQ KNIGA, 2002.{UBIN m.a. lEKCII OB URAWNENIQH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: iZD-WO mcnmo, 2001.
| 302 S.bUDAK b.m., sAMARSKIJ a.a., tIHONOW a.n. sBORNIK ZADA^PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: gOS. IZD-WO TEHNIKO{TEORETI^ESKOJ LITERATURY, 1956. | 683 S.wLADIMIROW w.s. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1982. | 256 S.bICADZE a.w., kALINI^ENKO d.f. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA,1977. | 222 S.mIZOHATA s., tEORIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1977. | 504 S.bERS l., dVON f., {EHTER m.
uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1966. | 351 S.gILBARG d., tRUDINGER n. |LLIPTI^ESKIE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGO PORQDKA | m.: iZD-WO nAUKA, 1989. | 463 S.25. gODUNOW s.k. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EB-NOE POSOBIE DLQ STUDENTOW FIZIKO{MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW. | 2-OE IZDANIE. | m.: nAUKA, 1979. | 392 c.26. gODUNOW s.k., zOLOTAREWA e.w. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI.
u^EBNOE POSOBIE. | nOWOSIBIRSK: iZD-WO nOWOSIBIRSKOGO GOS. UN-TA, 1987. | 96c.27. pOLOVIJ g.n. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EB-NOE POSOBIE DLQ STUDENTOW MEHANIKO-MATEMATI^ESKIHI FIZIKO{MATEMATI^ESKIH FAKULXTETOW UNIWERSITETOW. | m.: wYS[AQ [KOLA, 1964. | 559 c.28. sMIRNOW m.m. zADA^I PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJFIZIKI.
u^EBNOE POSOBIE. | 6-OE IZDANIE. | m.: nAUKA,1975. | 126 c.29. sMIRNOW w.i. kURS WYS[EJ MATEMATIKI (DLQ MEHANIKO-MATEMATI^ESKIH I FIZIKO{MATEMATI^ESKIH FAKULXTETOW UNIWERSITETOW. | m.: fIZMATGIZ, 1959.30. mIHAJLOW w.p. lEKCII PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJFIZIKI: U^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW WUZOW. | m.: fIZMATLIT, 2001. |206 S.31. mASLENNIKOWA w.n. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. u^EBNOE POSOBIE. | 2-E IZDANIE. |m.: iZD-WO rudn, 2000. | 229 c.32.
eGOROW `.w. lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. dOPOLNITELXNYE GLAWY. u^EBNOE POSOBIE DLQSTUDENTOW, OBU^A@]IHSQ PO SPECIALXNOSTI \MATEMATIKA". | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1985. | 164 c.91wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZAoBOB]ENNYE FUNKCII I FUNDAMENTALXNYE RE[ENIQoBOB]ENNYMIFUNKCIQMINAZYWA@TSQ \LEMENTY PROSTRAN0 n0STWA D (R ) (ILI D ()), T.
E. PROSTRANSTWA LINEJNYH NEPRERYWNYH FUNKCIONALOW NAD D(Rn ) = C01 (Rn ) (SOOTWETSTWENNO,NAD D() = C01 ()). dEJSTWIE FUNKCIONALA f 2 D0 NA ' 2 DOBOZNA^AETSQ f (') ILI (f; ').w PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ WYDELQETSQ KLASS REGULQRNYH OBOB]ENNYHFUNKCIJ, TO ESTX OBY^NYH FUNKCIJf (x) 2 L1; loc(Rn ) (ILI f (x) 2 L1; loc ()), DEJSTWIE KOTORYH OPREDELQETSQ TAK:(f; ') =Zf (x)'(x)dx 8' 2 D(INTEGRIROWANIE IDET PO PROSTRANSTWU Rn ILI PO OBLASTI SOOTWETSTWENNO). oBOB]ENNYE FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ REGULQRNYMI, NAZYWA@TSQ SINGULQRNYMI. pRIMEROM SINGULQRNOJOBOB]ENNOJ FUNKCII QWLQETSQ -FUNKCIQ.pROIZWODNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII f 2 D0 PO PEREMENNOJ xiNAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM @f @' ;'=f; @x 8' 2 D:@xiipO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE OBOB]ENNOJ FUNKCIIPROIZWOLXNOGO PORQDKA.fUNDAMENTALXNYM RE[ENIEM DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA L NAZYWAETSQ (WOOB]E GOWORQ, OBOB]ENNAQ) FUNKCIQ ETAKAQ, ^TO L(E ) = , TO ESTX (L(E ); ') = '(0) 8' 2 D.10pRIWEDEM PRIMERY FUNDAMENTALXNYH RE[ENIJ NEKOTORYHDIFFERENCIALXNYH OPERATOROW.fUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORA lAPLASA L = W PROSTRANSTWE RAZMERNOSTI n IMEET WIDEn (x) = ! (2 1n)jxjn 2 ;n1E2 (x) = 2 ln jxj;n > 3;n = 2:@ a2 FUNDAMENdLQ OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI L = @tTALXNYM RE[ENIEM QWLQETSQ FUNKCIQE (x; t) =(t)p e2a t njxj24a2 t :@ 2 a2 W ZAWISIMOSTI OT RAZwOLNOWOJ OPERATOR L = @t2MERNOSTI n, n = 1; 2; 3, PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ x IMEETSLEDU@]IE FUNDAMENTALXNYE RE[ENIQE1 (x; t) = 21a (at jxj);E2 (x; t) = (pat2 2 jxj) 2 ;2a a t jxjE3 (x; t) = 4a1 2 t (jxj at);n = 1;n = 2;n = 3:w OTLI^IE OT SLU^AEW ODNOJ ILI DWUH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH, E3 QWLQETSQ SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ, DEJSTWIE KOTOROJ NA OSNOWNYE FUNKCII OPREDELENO RAWENSTWOM(E3 ; ') =ZR14a2 tZjxj=at'(x; t) dSx dt 8'(x; t) 2 D(R4 );dSx | \LEMENT PLO]ADI NA SFERE Sat3 (0).11pUSTX u(x; y) | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ KWADRATA@ 2 u W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH( 1; 1) ( 1; 1).
nAJTI @x@yFUNKCIJ.1.1.1.2.pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 R1 FUNKCIQ(u(x; t) = 1 PRI t 6 ax;0 PRI t > ax;(x; t) 2 R2 ;QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ ut = ux W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ?pUSTX FUNKCIQ y(x) 2 D0 (R) I UDOWLETWORQET URAWNENI@0y = y KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGU1.3.LQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ Cex , C = const.1.4.1.5.nAJTI WSE FUNDAMENTALXNYE RE[ENIQ OPERATORA2 u(x) du(x)Lu(x) = d dx2 + dx :nAJTI FUNDAMENTALXNOE RE[ENIE OPERATORALu(x; y) = uxx(x; y) uyy (x; y);OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y < 0.dOKAVITE, ^TO FUNKCIQpc r )cos(E (x; x0 ) =r = jx x0 j;4r ;QWLQETSQ FUNDAMENTALXNYM RE[ENIEM OPERATORA1.6. + c; GDE c = const > 0; n = 3:12pROSTRANSTWA sOBOLEWAoBOB]ENNOJ PROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA FUNKCII u(x)PO PEREMENNOJ xi W OBLASTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ v(x) (OBOZNA^ENIE: v(x) = @u=@xi), UDOWLETWORQ@]AQ INTEGRALXNOMU TOVDESTWUZZv(x)'(x) dx =u(x) @'@x(x) dx 8' 2 C01 ():ipROSTRANSTWOM sOBOLEWA H 1() NAZYWAETSQ PROSTRANST-WO FUNKCIJ u(x), PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2 () WMESTESO SWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI @u=@xi, i = 1; : : : ; n, WSMYSLE sOBOLEWA PERWOGO PORQDKA.pROSTRANSTWO H 1 () QWLQETSQ BANAHOWYM (T.
E. POLNYM NORMIROWANNYM) PROSTRANSTWOM. nORMA W NEM OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:kuk2 1H ()= kuk22L2() + kruk(L2 ())n=Z juj2 +n Xi=1@u 2 dx:@xipROSTRANSTWOM1 sOBOLEWA H1() NAZYWAETSQZAMYKANIEPODPROSTRANSTWA C0 () W PROSTRANSTWE H 1 ().nERAWENSTWO fRIDRIHSA. dLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI SU]ESTWUET KONSTANTA C (), TAKAQ ^TOZ1juj2 dx 6 C ()Z Xn i=1@u 2 dx 8u 2 H1 ():@xi w SILU NERAWENSTWA fRIDRIHSA SLEDU@]IJ FUNKCIONAL WH ()kuk2H1 () = kruk2(L2())n =Z Xn i=1@u 2 dx@xiZADAET NORMU, \KWIWALENTNU@ ISHODNOJ NORME PROSTRANSTWAH 1 ().13pROSTRANSTWO H 1 () QWLQETSQ GILXBERTOWYM OTNOSITELXNOSKALQRNOGO PROIZWEDENIQZ Xn @u @v[u; v] = (ru; rv)(L2 ())n =dx:i=1 @xi @xipROSTRANSTWO H 1 () TAKVE QWLQETSQ GILXBERTOWYM SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM(u; v)H 1 ()= (u; v) + [u; v]; GDE (u; v) =Zu(x)v(x) dx| STANDARTNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE W L2 ().1.7.
pUSTX f (x) 2 H 1 (), a(x) 2 C 1 (). dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f (x)a(x) QWLQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W SMYSLE sOBOLEWA, IDLQ NAHOVDENIQ EE PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA SPRAWEDLIWAOBY^NAQ FORMULA lEJBNICA. wERNO LI, ^TO f (x)a(x) 2 H 1 ()?1.8.
pUSTX f 2 H 1 (B1n (0)). wOZMOVNO LI, ^TO f 2= L1 (B1n (0))A) PRI n = 3; B) PRI n = 2; W) PRI n = 1?1.9. pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W B13 (0) FUNKCIQ, GLADKAQ WB13 (0) n f0g. mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO u 2 H 1 (B13 (0))?A) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H 1 (0; 1) QWLQETSQNEPRERYWNOJ.B) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE [0; 1],TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0, PRINADLEVIT H 1 (0; 1) ?1.11. pUSTX u 2 C () \ H 1 () I u(x) = 0 PRI x 2 @ . dOKAZATX,^TO u 2 H 1 ().1.12. pRI KAKIH FUNKCIQ u(x; y ) = ln(x2 + y 2 ) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (), ESLIA) = B12=2 (0);B) = B22 (0)nB12=2 (0)?1.10.14pRI KAKIH FUNKCIQ u(x; y) = ln(x2 + xy + 2y2 ) PRINADLEVIT H 1 (), GDE = ( 1=4; 1=4) ( 1=4; 1=4)?1.14.
A) pRI KAKIH I n FUNKCIQ f (x) = (ln jxj) =jxj2 PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1n=2 (0))?B) tOT VE WOPROS DLQ PROSTRANSTWA H 1 (B1n (0)).1.15. pRI KAKIH ; FUNKCIQ f (x) = jxj cos x PRINADLEVITPROSTRANSTWU H 1 ( 1; 1) ?1.16. pRI KAKIH ; 2 R FUNKCIQ f (x) = ln jxj cos( jxj), GDEx = (x1 ; : : : ; xn ), PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1n=2 (0))?1.17. pUSTXD = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn j x21 + + x2n 1 < ax2n ; 0 < xn < +1g:dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ POSTOQNNOJ C > 0 NAJDUTSQTAKAQ1OGRANI^ENNAQ OBLASTX D I TAKAQ FUNKCIQ f 2 H (), ^TOZZf 2 (x) dx > C jrf (x)j2 dx:1.13.1.18.sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE = (x; y) j 0 < x < 1; 1 < y < +1 R2 ?pUSTX Q = B1n (0).
sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C > 0 TAKAQ, ^TOju(0)j 6 C kukH 1 (Q) 8u(x) 2 C 1 (Q) ?1.19.rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H 1 ( 1; 1) MNOVESTWO AGLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@'0 (0) + '(0) = 0, 2 R. nAJDITE KORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ AMNOVESTWA A W H 1 ( 1; 1) .1.21. pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ OBLASTI NA PLOSKOSTI R2 , TAKOJ ^TO FUNKCII C 1 () NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGOMNOVESTWA W PROSTRANSTWE H 1 (), T.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
