Задачник (1134178), страница 3
Текст из файла (страница 3)
E. C 1 () =6 H 1 ():1.20.15oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S^ASTNYMI PROIZWODNYMI2kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ. hARAKTERISTIKIlINEJNOE URAWNENIE WTOROGO PORQDKA IMEET WIDnXi;j =1aij uxi xj +nXi=1ai uxi + au = g(x);x 2 Rn ; aij = aji : (1)wEKTOR = (1 ; : : : ; n ) IMEET HARAKTERISTI^ESKOE NAPRAWLENIE, ESLInXaij i j = 0:i;j =1pOWERHNOSTX (x) = 0 NAZYWAETSQ HARAKTERISTIKOJ URAWNENIQ (1), ESLI NORMALX K \TOJ POWERHNOSTI = r IMEET HARAKTERISTI^ESKOE NAPRAWLENIE W KAVDOJ TO^KE, T.E.nX@ @ = 0:aij @xi @xji;j =1eSLI MATRICU aij PRIWESTI K DIAGONALXNOMU WIDU, TO WSOOTWETSTWII SO ZNAKAMI DIAGONALXNYH \LEMENTOW, URAWNENIQPODRAZDELQ@TSQ NA \LLIPTI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ODNOGO ZNAKA), GIPERBOLI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ROWNO ODIN OTLI^AETSQ PO ZNAKU OT OSTALXNYH), PARABOLI^ESKIE (KOGDA SU]ESTWUET ROWNO ODIN NULEWOJ,A OSTALXNYE \LEMENTY ODNOGO ZNAKA).
oSTALXNYE TIPY MY NENAZYWAEM.u URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMIa11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu = g(x; y)HARAKTERISTIKAMI QWLQ@TSQ KRIWYE, KOTORYE NAHODQTSQ IZURAWNENIQa11 (dy)2 2a12dx dy + a22 (dx)2 = 0;16NAZYWAEMOGO HARAKTERISTI^ESKIM. eSLI a11 6= 0, TO I]EMRE[ENIE W WIDE y = y(x), GDEpdy = a12 D ; D = a2 a a | DISKRIMINANT.11 2212dxa11w ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINANTA WOZNIKA@T TRI SLU^AQ.gIPERBOLI^ESKIJ SLU^AJ: D > 0, DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x; y) = C I (x; y) = C . pRI ZAMENE = (x; y); = (x; y):URAWNENIE PRIWODITSQ KO WTOROJ KANONI^ESKOJ FORMEu + MLAD[IE ^LENY = 0:w SLU^AE ZAMENY = + ;= URAWNENIE PRIWODITSQ K PERWOJ KANONI^ESKOJ FORMEu u + MLAD[IE ^LENY = 0:pARABOLI^ESKIJ SLU^AJ: D = 0, ODNO SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x; y) = C .
l@BOJ NEWYROVDENNOJ ZAMENOJ WIDA = (x; y); = (x; y);GDE (x; y) | NEKOTORAQ FUNKCIQ OT DWUH PEREMENNYH, URAWNENIEPRIWODITSQ K KANONI^ESKOJ FORMEu + MLAD[IE ^LENY = 0:|LLIPTI^ESKIJ SLU^AJ: D < 0, DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET, NO ESTX DWA SEMEJSTWA KOMPLEKSNO SOPRQVENNYHHARAKTERISTIK (x; y) i(x; y) = C . dLQ PRIWEDENIQ K KANONI^ESKOJ FORME (TOLXKO K PERWOJ) NEOBHODIMO SDELATX ZAMENU = (x; y); = (x; y):17w \TOM SLU^AE URAWNENIQ PRIWODITSQ K WIDUu + u + MLAD[IE ^LENY = 0:2.1.sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDAnXi;j =1aij (x1 ; : : : ; xn ) uxi xj = 0;aij 2 C (Rn );QWLQ@]EESQ \LLIPTI^ESKIM NA NEPUSTOM MNOVESTWE D Rn ,D=6 Rn , I GIPERBOLI^ESKIM NA EGO DOPOLNENII Rn nD?2.2.
wERNY LI SLEDU@]IE UTWERVDENIQ: ESLI URAWNENIEnXi;j =1aij (x1 ; : : : ; xn ) uxi xj = 0;aij 2 C (Rn );| GIPERBOLI^ESKOE (\LLIPTI^ESKOE, PARABOLI^ESKOE) W TO^KE(x1 ; : : : ; xn ), TO ONO QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM (SOOTWETSTWENNO\LLIPTI^ESKIM, PARABOLI^ESKIM) TAKVE W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI?2.3. dLQ KAKIH IZ TREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTIut = uxx; utt = uxx; utt = uxxSU]ESTWUET NEPOSTOQNNOE RE[ENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNUTYMI LINIQMI UROWNQ?2.4. pRI KAKIH (x; y; z ) 2 R3 URAWNENIEuxy + (3x + y z )uxz + (3x y + z )uyz = 0QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM?2.5. nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx y 2 uyy = 0, PROHODQ]IE ^EREZ:A) TO^KU (1; 2);B) TO^KU (1; 0).18A) nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQuxy uyy ux + uy = 0:B) nAJTI EGO OB]EE RE[ENIE.2.7.
A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ 2uxx + uxy = 1.B) nAJTI EGO HARAKTERISTIKI.W) nAJTI EGO OB]EE RE[ENIE.2.8. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQuxx 2uxy 32 uyy + uy + ux = 0(2)W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA .B) pRIWESTI URAWNENIE (2) K KANONI^ESKOJ FORME.W) nAJTI OB]EE RE[ENIE \TOGO URAWNENIQ.2.9. A) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET LINEJNAQ ZAMENAPEREMENNYH (x; y) ! (t; z ), PEREWODQ]AQ URAWNENIEuxx + 4uxy uyy = 0(3)| W URAWNENIE STRUNY utt = uzz ;| W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz .B) tE VE WOPROSY OB URAWNENIIuxx + 4uxy uyy ux + 2 uy = 0:W) pUSTX FUNKCIQ u(x; y) 2 C 2 (B12 (0)) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (3) PRI NEKOTOROM ZNA^ENII < 10. wOZMOVNO LI PRI\TOM u 2= C 1 (B12 (0))?G) tOT VE WOPROS DLQ > 10.2.10.
pUSTX = f(x; y ) 2 R2 j x2 + (y2l)2 < l2 g, FUNKCIQu 2 C 2 () UDOWLETWORQET URAWNENI@2u + sign y u = 0 W OBLASTI .2.6.xx2yyA) wOZMOVNO LI, ^TO u 2= C 3 () W SLU^AE l > 0?B) tOT VE WOPROS W SLU^AE l < 0.19nA PLOSKOSTI (x; t) 2 R2 RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQut ux = 0;(4)22utt ( + 1) utx + 2uxx = 0:(5)A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4).B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE RE[ENIE u(x; t) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I RE[ENIEM URAWNENIQ (5)?dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA :W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5);G) UKAZATX NEKOTOROE RE[ENIE u(x; t) URAWNENIQ (5), KOTOROENE QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TO TAKOGORE[ENIQ NET.D) tOT VE WOPROS OB OGRANI^ENNOM RE[ENII.2.11.nAJTI HARAKTERISTI^ESKIE PLOSKOSTI URAWNENIQutt = uxx + uyy ;PROHODQ]IE ^EREZ PRQMU@ t = 0, y = x.2.12.nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQuxx + 2uyy + 2uyz + 2 uzz + uz + u = 1PRI KAVDOM 2 R.2.13.2.14.nAJTI OB]EE RE[ENIE URAWNENIQuxx + 2uxy + 2uxz + uyy + 2uyz + uzz u = 0:2.15.
A) pRIWESTI K WIDU, NE SODERVA]EMU NESME[ANNYH PROIZWODNYH WTOROGO PORQDKA, SLEDU@]EE URAWNENIE:uxx + uxy 2uyy + 3(x + y)ux + 6(x + y)uy + 9u = 0:B) nAJTI OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ.202.16. pRI KAKIH WE]ESTWENNYH I TEOREMA O SU]ESTWOWANIII EDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGO RE[ENIQ NEHARAKTERISTI^ESKOJ OBOB]ENNOJ ZADA^I kO[I PRIMENIMA K SLEDU@]EJ ZADA^E:uxy + 3uyy + u = xy; uS = uxS = uy S = 0;GDE S ZADAETSQ URAWNENIEM x + y = 1?2.17. A) nAJTI WSE ZNA^ENIQ , DLQ KOTORYH SU]ESTWUET FUNKCIQ u(x; y), PRINADLEVA]AQ C 1 (R2 ) \ C 2 (fx > 0g) \ C 2 (fx 6 0g),UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@uxx + uxy + uyy = 0 PRI x =6 0I USLOWIQMux=0 = 1; uxx=0 = 0;NO NE PRINADLEVA]AQ C 2 (Ba2 (0; y0 )) NI PRI KAKIH y0 2 R I a > 0.B) nAJTI WSE , DLQ KOTORYH PRI L@BOJ f 2 L1;loc(R) FUNKCIQ u(x; y) = f (x + y) UDOWLETWORQET W D0 (R2 ) URAWNENI@ IZPUNKTA A).kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^oPREDELENIE KORREKTNOSTI. pUSTX ZADANO URAWNENIE Lu = fc DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI Bj u = gj .
|TA ZADA^A POSTAWLENAKORREKTNO W PARE LINEJNYH NORMIROWANNYH PROSTRANSTW E0 IE1 , ESLI1) DLQ WSEH NABOROW DANNYH (f; gj ) 2 E1 SU]ESTWUET RE[ENIEu 2 E0 ;2) \TO RE[ENIE EDINSTWENNO;3) SU]ESTWUET TAKAQ POSTOQNNAQ K , NE ZAWISQ]AQ OT (f; gj ),^TO kukE0 6 K k(f; gj )kE1 :pOD^ERKNEM, ^TO PROSTRANSTWA E0 ; E1 NE OBQZANY BYTX BANAHOWYMI, T.E. POLNYMI.212.18.rASSMATRIWAETSQ ZADA^Autt = uxx; (x; t) 2 := (x; t) j 0 6 t 6 2x; 0 6 x < +1 ;ut=0 = 0; ut=2x = '(x); 0 6 x < +1;' 2 C 2 (R + ) \ L1 (R + ); '(0) = '0 (0) = '00 (0) = 0: (6)kORREKTNA LI ONA W PARE PROSTRANSTW (E0 ; E1 ), GDEE0 = C 2 () \ L1();kukE0 = sup ju(x; t)j;E1 = '(x) j ' UDOWLETWORQET (6) ; k'kE1 = sup j'(x)j?R+2.19.kORREKTNA LI KRAEWAQ ZADA^A:(x; t) 2 Q := (0; 1) (0; 2];0 6 x 6 1;0 6 t 6 2;ut = uxx;u = '(x);u x=0 = ux=1 = 0; t=0W PARE PROSTRANSTW (E0 ; E1 ), GDE2;1 (Q) \ C (Q) ;E0 = u(x; t) j u 2 Cx;tE1 =2.20.kukE0 = max ju(x; t)j;Q'(x) j ' 2 C 1 ([0; 1]); '(0) = '(1) = 0 ;k'kE1 = maxj'(x)j?[0;1]kORREKTNA LI ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQutt = uxxW POLOSE Q := QTR (0 < T < +1) S USLOWIQMI22ut=0 = '1 (x);ut t=0 = '2 (x);x 2 R;W PARE PROSTRANSTW (E0 ; E1 ), GDEE0 = u(x; t) j u 2 C 2 (Q); sup ju(x; t)j < +1 ;QkukE0 = sup ju(x; t)j;QE1 = (x) = '1 (x); '2 (x) j '1 2 C 2 (R); '2 2 C 1 (R);sup j'j (x)j < +1 (j = 1; 2) ;RkkE1 = sup j'1 (x)j + sup j'2 (x)j?RRkORREKTNA LI ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQut = uxxW POLOSE Q := QTR (0 < T < +1) S USLOWIEMut=0 = '(x); x 2 R;W PARE PROSTRANSTW (E0 ; E1 ), GDE2;1 (Q) \ C (Q) \ L (Q);E0 = u(x; t) j u 2 Cx;t12.21.
jnoE1 = '(x) ddx'j 2 C (R) \ L1(R) (j = 0; 1; : : :; p) ; jpX '(x) kukE0 = sup ju(x; t)j; k'kE1 = sup d dxj ;Qj =0 Rp 2 N FIKSIROWANO?rASSMATRIWAETSQ ZADA^A kO[I DLQ URAWNENIQutt = uxS USLOWIQMIut=0 = '1 (x); ut t=0 = '2 (x):2.22.23A) pRIMENIMA LI K NEJ TEOREMA kO[I - kOWALEWSKOJ W SLU^AEANALITI^ESKIH '1 I '2 ?B) kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW (E0 ; E1 ), GDE1;2 (Q) \ L (Q);Q := Q1R;E0 = u(x; t) j u 2 Cx;t1 jnoE1 = =('1 ; '2 ) ddx'ji 2 C (R) \ L1 (R) (i = 1; 2; j = 0; 1; 2) ; j2 X2X d 'i (x1 ) sup dxj ?kukE0 = sup ju(x; t)j; kkE1 =Qi=1 j =0 RrASSMATRIWAETSQ KRAEWAQ ZADA^Aut + ux = 0; (x; t) 2 Q := R + R + ;ut=0 = g1 (x); x 2 R + ; ux=0 = g2(t); t 2 R + :nAJTI WSE , PRI KOTORYH \TA ZADA^A KORREKTNA W PARE PROSTRANSTW (E0 ; E1 ), GDEE0 = C 1 (Q) \ L1 (Q)g; kukE0 = sup ju(x; t)j;2.23.Q2 C 1 (RE1 = = (0; g1 ; g2 ) j gj+ ) \ L1 (R + ) (j = 1; 2);g1 (0) = g2(0); g20 (0) + g10 (0) = 0 ;kkE1 = sup jg1 (x)j + sup jg2 (t)j:R+R+rASSMOTRIM ZADA^U kO[I W POLOSE = R1x [0; y0 ] W R2x;yu + u= 0 W ; u 2 C 2 () \ C 1 ();uy=0 = '(x); uy y=0 = (x);'(x); (x) | OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA R1x : kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0 ; ('; ) 2E1 ; GDEE0 = C ();kukE0 = sup ju(x; t)j;2.24.E1 = C (R1x ) C (R1x );24kkE1 = sup j'(x)j + sup j (x)j?RR3uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPAsU]ESTWUET LI FUNKCIQ u 2 C 2 (B12 (0) nf0g), UDOWLETWORQ@]AQ W B12 (0) n f0g URAWNENI@ ux1 x1 = ux2 x2 I NEOGRANI^ENNAQW B12 (0)nf0g?3.2.
pUSTX FUNKCIQ u(x) 2 C 2 (R2 ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ux1 x1 = ux2x2 W R2 , I u(x) = 0 PRI WSEH x 2 B12 (0). nAJTI NAIBOLX[EE MNOVESTWO W R2 , NA KOTOROM NEOBHODIMO u(x) = 0.3.3. rASSMOTRIM ZADA^U kO[I NA PLOSKOSTI (x; t) S DANNYMINA HARAKTERISTIKE ft = xg DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = uxx; ut=x = '(x); uxt=x = (x):pRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x), (x), ^TOBY DANNAQZADA^A NE IMELA RE[ENIQ.3.4. pRIWESTI PRIMER FUNKCIJ '; 2 C 2 (R) TAKIH, ^TO ZADA^AkO[Iuxx + 5uxy 6uyy = 0; uy=6x = '(x); uy y=6x = (x)A) IMELA BY RE[ENIE. eDINSTWENNO LI \TO RE[ENIE?B) NE IMELA BY RE[ENIJ.3.5. pUSTX Q = [0; 1] [0; 1], f 2 C 2 (@Q).
eDINSTWENNO LI RE[ENIE u(x; t) 2 C 2 (Q) SLEDU@]EJ ZADA^I:utt = uxx; (x; t) 2 Q; u@Q = f ?3.1.zADA^A kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQkLASSI^ESKIM RE[ENIEM ZADA^I kO[I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQutt = a2 x u + f (x; t) (a > 0); x 2 Rn ; t > 0;ut=0 = '(x); ut t=0 = (x);GDE '(x), (x), f (x; t) | ZADANNYE FUNKCII, NAZYWAETSQ FUNKCIQ u(x; t) 2 C 2 (x 2 Rn ; t > 0) \ C 1 (x 2 Rn ; t > 0).25eSLI WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ'(x) 2 C 2 (R1 ); (x) 2 C 1 (R1 ); f (x; t) 2 C 1 (R1 R + ) (n = 1);'(x) 2 C 3 (Rn ); (x) 2 C 2 (Rn ); f (x; t) 2 C 2 (Rn R + ) (n = 2; 3),TO RE[ENIE ZADA^I kO[I SU]ESTWUET, EDINSTWENNO I ZADAETSQ:PRI n = 1 FORMULOJ dALAMBERAhiu(x; t) = 12 '(x + at) + '(x at) + 21aa(t )Zt x+Z+ 21a0 x a(t )xZ+atx atf (; ) d d ;PRI n = 2 FORMULOJ pUASSONAZ1( ) dpu(x; t) = 2a+2(at) j xj2j xj<at"( ) d +#Z'( ) dp+(at)2 j xj2j xj<attZ1 Zf (; ) d dp+ 2a2 (t )2 j xj2 ;(a0@ 1+ @t2aj xj<a(t )PRI n = 3 FORMULOJ kIRHGOFAu(x; t) = 4a1 2 t+Zt0Zj xj=at"@ 1( ) dS + @t4a2 t14a2 (t )Zj xj=a(t )Zj xj=at#'( ) dS +f (; ) dS d :zAME^ANIE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
