Задачник (1134178), страница 5
Текст из файла (страница 5)
i]ETSQ RE[ENIE u(x; t) ZADA^Iutt = uxx; ut=x = '(x) 2 C 2 ([0; 1]);0 6 x 6 1;2ut=2x = (x) 2 C ([0; 1=2]); 0 6 x 6 1=2:zDESX '(k) (0) = (k) (0) = 0 DLQ k = 0; 1; 2.A) oPISATX S POMO]X@ NERAWENSTW MNOVESTWO WSEH ZNA^ENIJ(x; t) 2 R2 , DLQ KOTORYH ODNOZNA^NO OPREDELENO RE[ENIE u(x; t)\TOJ ZADA^I.B) nARISOWATX \TO MNOVESTWO.W) nAJTI RE[ENIE u(x; t) RASSMATRIWAEMOJ ZADA^I.3.27.33oGRANI^ENNAQ STRUNA. mETOD fURXEiZU^ENIE SOBSTWENNYH KOLEBANIJ OGRANI^ENNOJ STRUNY S ZAKREPLENNYMI KONCAMI PRIWODIT K ZADA^Eutt = uxx; x 2 (0; l); t > 0; ujx=0 = ujx=l = 0; (7)ut=0 = '(x); ut t=0 = (x);(8)|TO TAK NAZYWAEMAQ SME[ANNAQ, ILI NA^ALXNO{KRAEWAQ, ZADA^ADLQ URAWNENIQ STRUNY.
rE[ENIE \TOJ ZADA^I I]ETSQW KLASSEFUNKCIJ u(x; t) 2 C 2 (0; l) R+ \ C 1 [0; l] R + .kRAEWYE USLOWIQ W (7) W KAVDOM IZ KONCOW x = 0 I x = lMOGUT BYTX ZAMENENY (NEZAWISIMO DRUG OT DRUGA) NA USLOWIQODNOGO IZ TREH WIDOW, UKAZANNYH DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY. sOOTWETSTWENNO, DLQ SU]ESTWOWANIQ KLASSI^ESKOGO RE[ENIQZADA^I (7){(8) NEOBHODIMO WYPOLNENIE USLOWIJ SOGLASOWANIQ WDWUH TO^KAH: (0; 0) I (l; 0).rE[ENIE NA^ALXNO{KRAEWOJ ZADA^I NA OTREZKE, KAK PRAWILO, STROITSQ STANDARTNYM METODOM fURXE W WIDE RAZLOVENIQ WRQD PO SOBSTWENNYM FUNKCIQM Xk (x) SOOTWETSTWU@]EJ ZADA^I{TURMA{lIUWILLQ. w SLU^AE ODNORODNYH KRAEWYH USLOWIJ I III RODA NA OBOIH KONCAH BAZISNYE FUNKCII Xk IME@T WID:Xk (x) = sin kx(k2N)WSLU^AEu=ux=0x=l = 0;lX0 (x) 1; Xk (x) = cos kxWSLU^AEu=uxxx=0x=l = 0;lXk (x) = sinXk (x) = coskkl1 x21 x2W SLU^AEux=0 = ux x=l = 0;W SLU^AE uxx=0 = ux=l = 0;lnAPRIMER, RE[ENIE ZADA^I (7){(8) DAETSQ FORMULOJ1 Xkat sin kx ;u(x; t) =Ak cos kat+Bsinklllk=1Z l2 Z l (x) sin kx dx:Ak = 2l '(x) sin kxdx;B=kl2ka 0l034iNTEGRALOM \NERGII DLQ RASSMATRIWAEMOJ SME[ANNOJ ZA-DA^I NAZYWAETSQ FUNKCIQE (t) =l h1Z02a 222 ut (x; t) + 2 ux (x; t) dx:iw SLU^AE, ESLI W OBOIH KONCAH x = 0 I x = l IME@TSQ ODNORODNYE KRAEWYE USLOWIQ I ILI II RODA, WYPOLNENO \NERGETI^ESKOETOVDESTWO:E (t) constDLQ L@BOGO KLASSI^ESKOGO RE[ENIQ u(x; t) \TOJ ZADA^I.3.31.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W R + R + ZADA^I:utt = uxx; uxx=0 = 0;(3ut=0 = sin x; < x < 2;ut t=0 = 0:0;x 2= (; 2);A) nARISOWATX GRAFIK u(x; 2).B) tOT VE WOPROS DLQ SLU^AQ, KOGDA URAWNENIE RASSMATRIWAETSQ DLQ x 2 [0; 2 ], t 2 R + I STAWITSQ DOPOLNITELXNOE USLOWIEux=2 = 0.W) tOT VE WOPROS DLQ SLU^AQ, KOGDA POSLEDNEE USLOWIE ZAMENQETSQ USLOWIEM uxx=2 = 0.3.32.
uKAZATX WSE ZNA^ENIQ POSTOQNNYH , I , PRI KOTORYHSU]ESTWUET RE[ENIE u 2 C 2 (Q) SME[ANNOJ ZADA^Iutt = uxx; ux=0 = ux= = 0;ut=0 = x4 + x3 + sin x; ut t=0 = cos xW KWADRATE Q = [0; ] [0; ]. nAJTI \TO RE[ENIE.353.33.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W [0; 1] R + SME[ANNOJ ZADA^Iutt = 4uxx; ux=0 = ux=1 = 0;ut=0 = 4 sin3 x; ut t=0 = 30x(1 x):A) nAJTI f ( 13 ),GDE f (t) =B) nAJTI u(x; 2).3.34.Z10u2t (x; t) + 4u2x(x; t) dx.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W [0; ] R + SME[ANNOJ ZADA^Iutt = uxx; ux=0 = ux= = 0; ut=0 = sin100 x; ut t=0 = 0:wERNO LI, ^TO jut (x; 2 )j > 100 NA MNOVESTWE, MERA KOTOROGOBOLX[E 1?pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W [0; 1] R + SME[ANNOJ ZADA^Iutt = uxx; ux=0 = ux=1 = 0; ut=0 = 0; utt=0 = x2 (1 x):3.35.nAJTI t!lim+13.36.Z10u2t (x; t) + u2x(x; t) dx.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W [0; 1] R + SME[ANNOJ ZADA^Iutt = uxx; ux=0 = ux=1 = 0; ut=0 = 0; ut t=0 = x2 (1 x)2 :nAJTI t!lim+13.37.1=2 Z0u2t (x; t) + u2x(x; t) dx.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W [0; ] R + SME[ANNOJ ZADA^Iutt = uxx + sin x cos 5x sin !t;u x=0 = ux= = 0; ut=0 = ut t=0 = 0:nAJTI WSE !, DLQ KOTORYH sup ju(x; t)j < +1.Q36pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W [0; 1] R + SME[ANNOJ ZADA^Iutt = uxx; ux=0 = 0; ux=1 = sin t; ut=0 = 0; ut t=0 = x;nAJTI WSE , DLQ KOTORYH sup ju(x; t)j < +1.3.38.Q3.39.
A) nAJTI WSE k > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII'(x) 2 C 1 (0; ) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE RE[ENIE W [0; ] R + ZADA^Iutt = 9uxx ; ux=0 = (ux ku)x= = 0;ut=0 = 0; utt=0 = '(x):B) dLQ k = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 (0; l) , DLQKOTORYH RE[ENIE u(x; t) \TOJ ZADA^I OGRANI^ENO.3.40. pUSTX u(x; t) 2 C 2 (0; ) (0; +1) \ C 1 [0; ] [0; +1)| RE[ENIE W [0; ] R + KRAEWOJ ZADA^I:utt = uxx; ux=0 = f (t); ux= = 0; ut=0 = ut t=0 = 0;f (t) | GLADKAQ FUNKCIQ I f (t) ! 0 PRI t ! 1: mOVET LIRE[ENIE \TOJ ZADA^I NEOGRANI^ENNO WOZRASTATX PO WREMENI, TOESTX PO PEREMENNOJ t?374uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPAkRAEWAQ ZADA^ApERWOJ SME[ANNOJ, ILI NA^ALXNO{KRAEWOJ, ZADA^EJ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI W OGRANI^ENNOJ OBLASTI NAZYWAETSQZADA^A O NAHOVDENII FUNKCII u(x; t) 2 C 2 (QT ) \ C (Q T ), T > 0ILI T = +1, UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQMut = a2 x u; ux2@ = 0; ut=0 = '(x) 2 C ();GDE '(x) | ZADANNAQ FUNKCIQ. kRAEWOE USLOWIE MOVET BYTX INEODNORODNYM.eSLI WMESTO USLOWIJ NA ZNA^ENIQ FUNKCII u PRI x 2 @ ZADANY ZNA^ENIQ EE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ ILI LINEJNOJ KOMBINACII SAMOJ FUNKCII I EE NORMALXNOJ PROIZWODNOJ, ZADA^ANAZYWAETSQ SOOTWETSTWENNO II I III KRAEWOJ.pRINCIP MAKSIMUMA W CILINDRE.
eSLI FUNKCIQ u(x; t) 2C 2 (QT ) \ C (Q T ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ TEPLOPROWODNOSTI WCILINDRE QT , TO SWOE MAKSIMALXNOE (I MINIMALXNOE) ZNA^ENIEW QT ONA PRINIMAET LIBO NA NIVNEM OSNOWANII CILINDRA t = 0,LIBO NA EGO BOKOWOJ POWERHNOSTI x 2 @ .rE[ENIE DANNOJ ZADA^I, KAK PRAWILO, STROITSQ METODOM fURXE. nAPRIMER, RE[ENIE ODNOMERNOJ PO PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ x 2 (0; l) ZADA^Iut = a2 uxx; ux=0 = ux=l = 0; ut=0 = '(x)DAETSQ FORMULOJ1Xka 22 Z l '(x) sin kx dx:;C=u(x; t) = Ck e l t sin kxk lll0k=1384.1.
mOVET LI OTLI^NOE OT POSTOQNNOJ RE[ENIE PERWOJ KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI PRINIMATX NAIMENX[EE ZNA^ENIE WO WNUTRENNEJ TO^KE?2;14.2. pUSTX u 2 Cx;t (Q) | RE[ENIE W Q := [0; 1] [0; 1] ZADA^Iut = uxx; ux=0 = ux=1 = 0; ut=0 > 0:Z1mOVET LI FUNKCIQ f (t) := u2 (x; t) dx IMETX MAKSIMUM WNUT0RI INTERWALA (0; 1)?2;14.3. pUSTX u 2 Cx;t (Q) \ C (Q) | RE[ENIE W Q := ( 1; 1) (0; 1]URAWNENIQut = uxx + q(x; t) u; GDE q 2 C (Q):oBOZNA^IM M := max u; m := max u, GDE := Q n Q.QwOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLI:A) q(x; t) 0; B) q(x; t) > 0; W) q(x; t) < 0, M > 0 ?4.4.
pUSTX Q := (0; 1) (0; 1]. sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u(x; t)2;1 (Q) \ C (Q);SO SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: u 2 Cx;tut = uxx; (x; t) 2 Q;u t=0 = 2 sin x;ut=1 = 3 sin x;0 6 x 6 1;u x=0 = sin t;u x=1 = sin t + 2 sin t; 0 6 t 6 1?4.5. pUSTX Q = f(x; t) 2 R2 j x2 + t2 6 1g: sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u 2 C 2 (Q), UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ut = uxx + 1 W Q I USLOWI@ xux = tu NA @Q?2;1 (Q) \ C 3 (Q) QWLQETSQ RE[EpUSTX FUNKCIQ u(x; t) 2 Cx;tNIEM W Q := (0; 3) (0; 1] KRAEWOJ ZADA^Iput = uxx; ux=0 = e t=4 ; ux=3 = 2e t=64 ; ut=0 = x + 1;wERNO LI, ^TO u(x; t) W Q UBYWAET PO t?4.6.392;1 (Q ) \ C (Q ), k = 1; 2, QWLQpUSTX FUNKCII uk (x; t) 2 Cx;tkkT@TSQ RE[ENIQMI W Qk := Q( k;k) KRAEWYH ZADA^(uk )t = (uk )xx ;uk x=k = 0; uk t=0 = '(x); jxj 6 k:zDESX ' 2 C 1 ([ 2; 2]); '(x) > 0 PRI jxj 6 1 I '(x) = 0 PRI1 6 jxj 6 2; ' 6 0.dOKAZATX, ^TO u1 (x; t) < u2(x; t) 8(x; t) 2 [ 1; 1] (0; T ]:2;14.8.
pUSTX u 2 Cx;t (Q) \ C (Q) | RE[ENIE W Q := Q1( ;)KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx; ux= = 0; ut=0 = sin2 x:4.7.ZnAJTI t!limu(x; t) dx:+1 04.9. pRI KAKIH USLOWIQH NA FUNKCI@ ' 2 C01 (0; 1) L@BOERE[ENIE u(x; t) W POLUPOLOSE Q1(0;1) ZADA^IA) ut = uxx;ux=0 = uxx=1 = 0;ut=0 = '(x);ut=0 = '(x)B) ut = uxx;uxx=0 = uxx=1 = 0;OBLADAET SWOJSTWOM u(x; t) ! 0 PRI t ! +1?2;14.10. pUSTX u 2 Cx;t (Q)\C (Q) | RE[ENIE W Q := Q1(0;1) ZADA^Iut = uxx + u;ux=0 = ux=1 = 0; ut=0 = '(x):nAJTI WSE TAKIE 2 R, ^TO DLQ L@BOJ NA^ALXNOJ FUNKCII ' 2C ([0; 1]), '(0) = '(1) = 0, WYPOLNENOlim u(x; t) = 0 8x 2 [0; 1]:t!+1pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W Q1(0;) KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx; ux=0 = ux= = 0; ut=0 = '(x);GDE ' 2 C 1 ([0; ]), '(0) = '() = 0. uKAZATX KLASS WSEH TAKIHFUNKCIJ '(x), DLQ KOTORYHlim etu(x; t) = 0 8x 2 [0; ]:t!+14.11.40pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W POLUPOLOSE Q1(0;3) ZADA^Iut = uxx; ux=0 = ux=3 = 0; ut=0 = '(x);GDE ' 2 C 1 ([0; 3]), '(0) = '(3) = 0.
uKAZATX KLASS WSEH TAKIHFUNKCIJ '(x); DLQ KOTORYHptA) SU]ESTWUET KONE^NYJ t!limeu(x; t);+1B) SU]ESTWUET KONE^NYJ t!limetu(x; t);+1t2 u(x; t):W) SU]ESTWUET KONE^NYJ t!lime+14.12.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W Q1(0;=2) KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx; ux=0 = 1; ux==2 = 4; u(x; 0) = cos4 x + 4 sin5 x:nAJTI t!limu(x; t).+14.13.2;1 (Q) \ C (Q) | RE[ENIE W Q := Q1 , GDEpUSTX u 2 Cx;t = (0; 1) (0; 1), ZADA^Iut = ux1 x1 + ux2x2 ;u x1 =0 = u x2 =0 = 0; ux1 =1 = x2 ; ux2 =1 = x1 :nAJTI t!limu(x1 ; x2 ; t).+14.14.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W POLUPOLOSE Q1(0;l) ZADA^Iut = uxx; ux=0 = ux=l = t; ut=0 = '(x);GDE ' 2 C 1 ([0; l]), '(0) = '(l) = 0.nAJTI t!limt 1 u(x; t):+14.16.
pUSTX FUNKCII u1 I u2 UDOWLETWORQ@T SOOTNO[ENIQM(uk )t = (uk )xx ;0 6 x 6 ; 0 6 t < +1;2uk t=0 = sin x sin4 x (k = 1; 2);u1 x=0 = u1 x= = 0; (u2 )x x=0 = (u2 )x x= = 0; 0 6 t < +1:pRI KAKIH SPRAWEDLIWO NERAWENSTWOlim u (x; t) < t!limu (x; t) 8x 2 [0; ]?t!+1 1+1 24.15.414.17.pUSTX FUNKCIQ u(x; t) | RE[ENIE W Q1(0;2) ZADA^Iut = uxx; uxx=0 = uxx=2 = 3;nAJTI t!limu(x; t).+14.18.ut=0 = x3 3x2 + 3x:pUSTX FUNKCIQ u(x; t) | RE[ENIE W Q1(0;2) ZADA^Iut = uxx; ux x=0 = 1; ux x=2 = 13;nAJTI t!limu(x; t).+1ut=0 = x3 + x:4.19. A) nAJTI WSE l > 0, DLQ KOTORYH PRI NEKOTOROJ FUNKCII'(x) 2 C 1 (0; l) SU]ESTWUET NEOGRANI^ENNOE RE[ENIE W Q1(0;l)KRAEWOJ ZADA^Iut = 2uxx; ux=0 = (ux 3u)x=l = 0; ut=0 = '(x):B) dLQ l = 1 OPISATX WSE FUNKCII '(x) 2 C 1 (0; l) , DLQKOTORYH RE[ENIE \TOJ ZADA^I OGRANI^ENO.4.20.
A) fUNKCIQ u(x; t) 6 const UDOWLETWORQET URAWNENI@ut = uxxW OBLASTI T = f(x; t) j 0 < t < T; 0 < x < 5 exp( t)g.dOKAZATX, ^TO MAKSIMUM \TOJ FUNKCII NA T NE MOVET DOSTIGATXSQ NI WO WNUTRENNIH TO^KAH OBLASTI T , NI PRI t = T .B) pUSTX u(x; t) QWLQETSQ RE[ENIEM ZADA^Iut = uxx W OBLASTI t > 0; 0 < x < 5 exp( t); (9)ux=0 = ux=5 exp( t) = 0; ut=0 = '(x);GDE '(x) 2 C01 (0; 4) . dOKAZATX. ^TO ju(x; t)j < Ce t=4 .W) pRIWESTI PRIMER FUNKCII '(x) 2 C01 (0; 4) TAKOJ, ^TODLQ RE[ENIQ u(x; t) ZADA^I (9) WYPOLNENOmaxu(x; t) > e t 8t > 0x2(0;5 exp( t))W PREDPOLOVENII, ^TO TAKOE RE[ENIE SU]ESTWUET.42pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W Q1(0;) ZADA^Iut = uxx; ux=0 = uxx= = 0; ut=0 = '(x);GDE '(0) = '0 () = 0.A) dOKAZATX, ^TO sup ju(x; 1)j 6 sup j'(x)j:4.21.B) wERNO LI, ^TO0<x<0<x<sup ju(x; 1)j 6 12 sup j'(x)j ?0<x<0<x<pUSTX FUNKCIQ u(x; t) 2 C 2 (Q) \ C (Q) QWLQETSQ RE[ENIEM W Q := QT KRAEWOJ ZADA^Iut = u + f (x); ux2@ = 0; ut=0 = 0;GDE f (x) 6 0 PRI x 2 .
dOKAZATX, ^TO PRI FIKSIROWANNOM x0 2 FUNKCIQ u(x0 ; t) QWLQETSQ NEWOZRASTA@]EJ PO t 2 (0; T ).4.23. pUSTX u(x; t) 2 C 2 (Q) \ C (Q) | KLASSI^ESKOE RE[ENIE WQ := Q1(0;1) KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx +v(x; t); ux=0 = ux=1 = 0; ut=0 = '(x) 2 C 1 [0; 1] ;v(x; t) | OGRANI^ENNAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQOCENKE jvj 6 C , C > 0 | ZADANNAQ POSTOQNNAQ.mOVNO LI TAK WYBRATX FUNKCI@ v(x; t); ^TO u(x; t) 0 PRIWSEH t > t , t | NEKOTORAQ POLOVITELXNAQ POSTOQNNAQ?4.24. pUSTX u(x; t) 2 C 2 (Q) \ C 1 (Q) | KLASSI^ESKOE RE[ENIEW Q := Q1(0;1) KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx + 3u; ux=0 = ux=1 = 0;dOKAZATX, ^TO DLQ u(x; t) IMEET MESTO NERAWENSTWOu(x; t) 6 Ce 6t ;C = const > 0:4.22.pUSTX u(x; t) 2 C 2 (Q) \ C 1 (Q) | RE[ENIE W Q := Q1(0;1)KRAEWOJ ZADA^Iut = uxx; ux x=0 = 1; ux x=1 = 1; ut=0 = '(x) 2 C01 (0; 1) :oGRANI^ENO LI \TO RE[ENIE NA Q? (T.E. RASTET LI TEMPERATURA?)4.25.434.26.pUSTX u(x; t) | RE[ENIE W Q := Q1(0;1) ZADA^Iut = uxx; ux=0 = f (t); ux=1 = g(t); ut=0 = '(x);f; g; ' | GLADKIE FUNKCII, PRI^EMf (t) ! a PRI t ! 1; g(t) ! b PRI t ! 1:kAKOJ PREDEL PRI t ! 1 W PROSTRANSTWE C [0; 1] (ESLI TAKOWOJWOOB]E ESTX) IMEET RE[ENIE u(x; t) \TOJ ZADA^I?zADA^A kO[IkLASSI^ESKIM RE[ENIEM ZADA^I kO[I 2DLQURAWNENIQ TEPLOPRO;1 ( ) \ C ( ), OPREDEWODNOSTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ u 2 Cx;tTTLENNAQ W SLOE T = f(x; t) 2 Rn+1 j x 2 Rn ; 0 < t 6 T g IUDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ut = a2 x u + f (x; t) (a > 0); (x; t) 2 TI KRAEWYM USLOWIQMut=0 = '(x) 2 Cb (Rn );GDE '(x); f (x; t) | ZADANNYE NEPRERYWNYE OGRANI^ENNYE FUNKCII.rE[ENIE ZADA^I kO[I W KLASSE OGRANI^ENNYH FUNKCIJ SU]ESTWUET, EDINSTWENNO I WYRAVAETSQ INTEGRALOM pUASSONAZ21jxju(x; t) = p n exp4a2 t '( ) d +2a t n+Zt ZR1 exp2a (t ) np0Rnjx j24a2(t ) f (; ) d d:zAME^ANIE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
