Задачник (1134178), страница 10
Текст из файла (страница 10)
mODULI SLEDU@]IH DWUH INTEGRALOWMOGUT BYTX OCENENY S U^ETOM TEOREMY lAGRANVA KAKppZ1 1F (x 2 t) F (2 t) exp( 2 )d 6p t216 p2tZ10px'(2 t + x) exp( 2 )d 62jxj sup j'( )jexp( 2 ) j+1 =2Rpp;02tt 2 (0; 1): tAKIM OBRAZOM, W SILU OGRANI^ENNOSTI ' W KAVDOJFIKSIROWANNOJ TO^KE x INTEGRALY STREMQTSQ K NUL@ PRI t !+1:dALEE,ppZ11F(x+2t)F(x2t) exp( 2 )d =I2 = p262jxj sup j'( )j 2Rt 190p1pZF (2 t) F ( 2 t) exp( 2 )d+= p122t 11Zpp+ p1(F (x + 2 t) F (2 t)) exp( 2 )d2 t 1p1Z12 t 1pp(F ( x 2 t) F ( 2 t)) exp( 2 )d:pOSLEDNIE DWA INTEGRALA STREMQTSQ K NUL@ PRI t ! +1, KAKBYLO POKAZANO WY[E, A PERWYJ MOVET BYTX PREOBRAZOWAN KAKppZ1F (2 t) pF ( 2 t) 2pt2 exp( 2 )d =p12 t2t 1Z1 ppF (2 t) pF ( 2 t) A 2 exp( 2 )d+2 t1= p1+ pAZ112 exp( 2 )d:wTOROE SLAGAEMOE RAWNO NUL@ W SILU TOGO, ^TOpZ122 exp( )d = 2 ;1A PERWOE MOVET BYTX OCENENO PO MODUL@ KAKpp Z1 F (2 t) pF ( 2 t) A 2 exp( 2 )d 6p1 2 t1pp F (2 t ) F ( 2 t )1p6 2 sup A :2 t2R91nO POSLEDNEE WYRAVENIE STREMITSQ K NUL@ PRI t ! 1 W SILUUSLOWIQ (21): sOBRAW WMESTE WSE OCENKI, POLU^IM, ^TO u(x; t) !A ; t ! +1:2oBOZNA^IM PERIOD FUNKCII '(x) ZA 2l; TOGDA+1X'(x) =ck exp( ikxl ):k= 1rQD SHODITSQ RAWNOMERNO W SILU NEPRERYWNOSTI '(x); ^TO POZWOLQET EGO PO^LENNO INTEGRIROWATX.pREDSTAWIM RE[ENIE ZADA^I kO[I SOGLASNO FORMULE pUASSONA:Z121u(x; t) = p'( ) exp( ( 4tx) )d =2 t 13.1Z2= pc0exp( 4tx) )d +2 t 1Z1+1X1( x)2 )d:ck exp( ikx+ p)exp(l4t2 t k= 1 1pERWYJ INTEGRAL RAWEN c0 : pOKAVEM, ^TO WTOROJ STREMITSQK NUL@ PRI t ! +1: dEJSTWITELXNO, WYDELQQ POLNYJ KWADRATPOD ZNAKOM \KSPONENTY, POLU^IM, ^TOZ11( x)2 )d =pexp( ikx)exp(l4t2 tZ1124k2 t2 ) exp( ( (x + 2iktl )) )d == p1exp( 4iktll24t2 t 122= exp( 4ikt 4k t ) ! 0; t ! 1:ll2lZtAKIM OBRAZOM, u(x; t) ! c0 = 21l '(x)dx:l92zADA^A4.36.nAJTI t!limu(x; y; t); GDE u(x; y; t) | RE[ENIE W R2 R+ ZADA^I+1kO[Iut = uxx + uyy ; ut=0 = '(x; y)PRI SLEDU@]IH NA^ALXNYH USLOWIQH:22A) '(x; y) = 1 +x 2x2 ; B) '(x; y) = sin2 y; W) '(x; y) = (1x +sin2yx)2 :rE[ENIE.
zDESX2'(x; y) = (1x +sin2yx)2 = '1 (x)'2 (y);2'1 (x) = 1 +x 2x2 ; '2 (y) = sin2 y;SLEDOWATELXNO,lim u(x; y; t) = tlimt!1!1 u1(x; t) tlim!1 u(y; t):nO1lim u (x; t) = 2 (TEOREMA 1),t!1 1Z1A tlim!1 u2 (y; t) = 2sin2 ydy = 12 (TEOREMA 3).1tAKIM OBRAZOM, tlim!1 u(x; y; t) = 4 :zADA^A5.3.nAJTI WSE GARMONI^ESKIE W R2 FUNKCII u(x; y); DLQ KOTORYHux (x; y) < uy (x; y) 8 (x; y) 2 R2 :rE[ENIE. eSLI u(x; y) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W R2 , TO I EEPROIZWODNYE | GARMONI^ESKIE FUNKCII.
pO\TOMU v = ux uy93| GARMONI^ESKAQ WO WSEJ PLOSKOSTI. pO TEOREME lIUWILLQ |\TO KONSTANTA. tAKIM OBRAZOM, ux uy = C:rE[AEM \TO LINEJNOE NEODNORODNOE URAWNENIE S ^ASTNYMIPROIZWODNYMI 1-GO PORQDKA STANDARTNYM OBRAZOM. uRAWNENIQHARAKTERISTIK:dx = dy = duC:|TA SISTEMA IMEET DWA NEZAWISIMYH PERWYH INTEGRALAx + y = C1 ; u Cx = C2 ;T.E. RE[ENIE IMEET WID u = Cx + '(x + y) S PROIZWOLXNOJ GARMONI^ESKOJ FUNKCIEJ '.
tAKIM OBRAZOM,0 = 'xx + 'yy = 2'00 :a \TO OZNA^AET, ^TO '(x + y) = K1 (x + y) + K2 ILI u(x; y) =M1 x + M2y + M3: t.K. ux < uy , TO M1 < M2:zADA^A5.4.pUSTX = (x; y) 2 R2 0 < x < 1; 0 < y < 1 ; u 2 C 2 ();uy=0 = uy=1 = 0 PRI 0 6 x 6 1:u = 0 W ;Z1mOVET LI FUNKCIQ f (x) := u2 (x; y) dy IMETX TO^KU PEREGIBAWNUTRI INTERWALA (0; 1)?rE[ENIE. fUNKCIQ0u2 (x; y)2C 2 (),PO\TOMUZ10u2 (x; y) dyMOVNO DWAVDY DIFFERENCIROWATX PO PEREMENNOJ x. tOGDA, ISPOLXZUQ GARMONI^NOSTX FUNKCII u, IMEEMf 00 (x) = 294Z10u2 + uu dy = 2xxxZ10u2x uuyy dy:iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI, SU^ETOM KRAEWYH USLOWIJ POLU^AEMf 00 (x) = 2Z10u2x + u2y dy > 0;x 2 [0; 1]:|TO OZNA^AET, ^TO PEREGIBA BYTX NE MOVET.zADA^A5.7.pUSTX u(x) 2 C 2 (B12 (0)) \ C (B12 (0));u(x) = 0; x := (x1 ; x2 ) 2 B12 (0);u(x) = x22 ; x 2 S12 (0); x2 > 0;u(x) = x2 ; x 2 S12 (0); x2 < 0:nAJTIZB12=2 (0)u(x) dx:rE[ENIE.
sOGLASNO TEOREME O POWERHNOSTNOM SREDNEM DLQ GARMONI^ESKOJ FUNKCII PRI n = 2 IMEEM, ^TOZu(0) = 1Ru( )d;2SR2 (0)GDE n - PLO]ADX EDINI^NOJ SFERY W Rn ; 2 = 2: pODSTAWLQQZNA^ENIQ u(x) NA OKRUVNOSTI SR2 (0) (S U^ETOM TOGO, ^TO NA RAZNYH EE ^ASTQH \TI ZNA^ENIQ ZADA@TSQ RAZNYMI WYRAVENIQMI)I PEREHODQ K POLQRNYM KOORDINATAM, POLU^IM, ^TO223ZZ124u(0) = 2 sin 'd' + sin 'd'5 = 141:0s DRUGOJ STORONY, PO TEOREME O PROSTRANSTWENNOM SREDNEMZu(0) = 2R2u(x)dx:2tAKIM OBRAZOM,ZB12=2 (0)BR2 (0) 1:u(x)dx = 16495zADA^A5.8.pUSTX u(x) = 1; x 2 B22 (0)nB12 (0): ~TO BOLX[E:Z@u (; ) ds ILI Z @u (; ) ds?@@22S1 (0)S2 (0)rE[ENIE.
pRIMENIM FORMULU gAUSSA{oSTROGRADSKOGO, IMEQ WWIDU, ^TO@u = @u PRI s 2 S 2 (0);@u = @u PRI s 2 S 2 (0);21@ @@@GDE | WNE[NQQ NORMALX K GRANICE OBLASTI. iMEEMZZZZ@u@u ds:3 =1 dxdy =u dxdy =ds@@22B22 (0)nB12 (0)i, SLEDOWATELXNO,Z@u ds =@2S2 (0)zADA^AS2 (0)B22 (0)nB12 (0)ZS12 (0)@u ds + 3 >@ZS12 (0)S1 (0)@u ds:@5.11.pUSTX u 2 C 2 () \ C (); q 2 C ();u(x) + q(x) u(x) = 0; x 2 ; M = max u(x); m = maxu(x):@wOZMOVNO LI, ^TO M > m, ESLIA) q(x) 0;B) q(x) > 0;W) q(x) < 0; M > 0;G) q(x) < 0; M < 0?rE[ENIE.
A) NEWOZMOVNO (PRINCIP MAKSIMUMA);B) WOZMOVNO, PRIMER (W SLU^AE n = 1)u00 + u = 0 PRI x 2 ( ; );962 2PRI \TOM FUNKCIQ u = cos x QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ, DLQKOTOROJ WERNO UTWERVDENIE.W) NEWOZMOVNO, T.K. ESLI WO WNUTRENNEJ TO^KE x0 2 DOSTIGAETSQ MAKSIMUM (u(x0 ) = M ), TO u 6 0;G) WOZMOVNO, PRIMER (W SLU^AE n = 1)u00 u = 0 PRI x 2 ( 1; 1);PRI \TOM FUNKCIQ u = ch x QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ, DLQKOTOROJ WERNO UTWERVDENIE.zADA^A5.12.pUSTX = (x; y) 2 R2 1 6 x2 + 2y2 6 2u(x; y) = 0;u(x; y) = x + y;@u(x; y) + (1 x)u(x; y) = 0;@; u 2 C 2 ();(x; y) 2 ;x2 + 2y2 = 2;x2 + 2y2 = 1:nAJTI max u(x; y):rE[ENIE. pO PRINCIPU MAKSIMUMA maxju(x; y)j DOSTIGAETSQNA GRANICE OBLASTI. sLEDOWATELXNO, NEOBHODIMO SRAWNITX ZNA^ENIQ RE[ENIQ NA GRANICE.pOKAVEM, ^TO NA U^ASTKE GRANICY x2 + 2y2 = 1 WYPOLNQETSQTOVDESTWO u 0. pO LEMME hOPFA{oLEJNIK W TO^KE MAKSIMUMAmax 2 @ (MINIMUMA min 2 @ ) NA GRANICE @u@ (max ) > 0 @u@ (min) 6 0 .
s U^ETOM TOGO, ^TO(1 x) > 0 PRI x2 + 2y2 = 1ZAKL@^AEM, ^TO W TO^KE MAKSIMUMA NA \TOM U^ASTKE GRANICYZNA^ENIE FUNKCII DOLVNO BYTX NEPOLOVITELXNYM, A W TO^KEMINIMUMA NEOTRICATELXNYM. |TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ DOLVNA BYTX NULEWOJ KONSTANTOJ.tEPERX NAJDEM MAKSIMUM RE[ENIQ NA WTOROJ ^ASTI GRANICY,T.E.max x + y:x2 +2y2 =297lEGKO WIDETX, ^TO MAKSIMUM DOSTIGAETSQ W PERWOM KWADRANTE. |TO OZNA^AET, ^TO NADO ISKATX MAKSIMUM FUNKCII f (y) =p2 2y2 + y DLQ POLOVITELXNYH y: oN DOSTIGAETSQ PRI y = p13pI RAWEN 3:zADA^A5.30.pRI KAKIH ; SU]ESTWUET RE[ENIE KRAEWOJ ZADA^I DLQ URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE B22 (0)nB12 (0) S GRANI^NYMI USLOWIQMI@u = 1;@ =1@u + u = ?@=2nAJTI RE[ENIE WO WSEH SLU^AQH, KOGDA ONO SU]ESTWUET.rE[ENIE. oB]IJ WID RE[ENIQ URAWNENIQ lAPLASA W KOLXCE:u(; ) = A0 + B0 ln ++1Xk=11XAk k + Bk k cos k +k=1Ck k + Dk k sin k:sOOTWETSTWENNO,1@u (; ) = B0 + Xk@ k=1 kAk +1Xk=1kCk k11kBk kkDk k1 cos k +1 sin k:tOGDA W SILU GRANI^NYH USLOWIJB0 +981Xk=1(kAk kBk ) cos k +1Xk=1(kCk kDk ) sin k = 1I1B0 + XkAk 2k21kBk 2 k1 cos k +kCk 2k1kDk 2 k1 sin k +k=1+1Xk=1+ A0 + B0 ln 2 ++1XAk 2k + Bk 2 k cos k +k=1Ck 2k + Dk 2 k sin k = :1Xk=1oTS@DA NEPOSREDSTWENNO SLEDUET, ^TO8B0 = 1;>>>>><B0 + A + B ln 2 = ;>>>>>:20Ak = Bk = 0;0k2NtAKIM OBRAZOM, ESLI = 0; TO = 12 I RE[ENIE IMEET WIDu(; ) = A0 + ln (T.E.
S TO^NOSTX@ DO ADDITIWNOJ KONSTANTY).1eSLI =6 0; TO A0 = 2 ln 2, PRI \TOM | L@BOE Iu(; ) = 22 1 + ln 2 :zADA^A5.33.A) eDINSTWENNO LI RE[ENIE SLEDU@]EJ ZADA^I: u 2 C 2 (), GDE = B23 (0)nB13 (0);u(x) = 0;x 2 ;@u(x) u(x) = f (x); x 2 S 3 (0);111@@u(x) + u(x) = f (x); x 2 S 3 (0);222@99k = const > 0 (k = 1; 2)?B) tOT VE WOPROS PRI k = const < 0 (k = 1; 2):rE[ENIE. pUSTX u1(x) I u2(x) | DWA RE[ENIQ POSTAWLENNOJZADA^I. rASSMOTRIM RAZNOSTX v(x) = u1 (x) u2 (x), KOTORAQ QWLQETSQ RE[ENIEM ANALOGI^NOJ ZADA^I S ODNORODNYMI KRAEWYMIUSLOWIQMI.pRIMENIM PERWU@ FORMULU gRINA DLQ FUNKCII v(x): iMEEM0=Zvv dx =ZS13 (0)Z@v v ds +@S23 (0)@v v ds@Zjrvj2 dx:s U^ETOM GRANI^NYH USLOWIJ1ZS13 (0)v2ds + 2ZS23 (0)v2Zds + jrvj2 dx = 0:tAKIM OBRAZOM, PRI 1 > 0; 2 > 0 \TO TOVDESTWO MOVETWYPOLNQTXSQ TOLXKO DLQ v 0:eSLI VE 1 < 0 I 2 < 0, TO RE[ENIEM ZADA^I S ODNORODNYMIKRAEWYMI USLOWIQMI BUDET FUNKCIQ v(x) = A0 + B0 , PRI \TOM8<:B0 + 1 (A0 + B0 ) = 0;B0 A + B0 = 04202(22)i, SLEDOWATELXNO, KO\FFICIENTY 1 I 2 DOLVNY UDOWLETWORQTXSOOTNO[ENI@1 + + 1 2 = 0:(23)422w \TOM SLU^AE RE[ENIE ISHODNOJ ZADA^I NEEDINSTWENNO.lEGKO UWIDETX, ^TO W PROTIWNOM SLU^AE (ESLI NE WYPOLNQETSQ SOOTNO[ENIE (23)) SISTEMA (22) IMEET TOLXKO ODNO NULEWOERE[ENIE, ^TO PRIWODIT K SOWPADENI@ u1 I u2 (T.E.
EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ).100zADA^A5.34.nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO RE[ENIE u(x; y) ZADA^I dIRIHLE DLQURAWNENIQ lAPLASA W POLUPLOSKOSTI R+ R; UDOWLETWORQ@]EENERAWENSTWUu(x; y ) 6 M 1 + x + jy j ;GDE M = const > 0, EDINSTWENNO.rE[ENIE. pUSTX SU]ESTWUET DWA RE[ENIQ u1 I u2. oBOZNA^IMv(x; y) = u1 (x; y) u2 (x; y): lEGKO WIDETX, ^TO v UDOWLETWORQET ODNORODNOJ ZADA^E dIRIHLE. oB]EE RE[ENIE TAKOJ ZADA^I WPOLUPLOSKOSTI IMEET WIDv(; ) =1Xk=1Ck k + Dk k sin k:s U^ETOM USLOWIQjvj 6 ju1 j + ju2 j 6 M1 (1 + cos + j sin j) 6 M2 (1 + )KZAKL@^AEM, ^TO RE[ENIE IMEET WID v(; ) = P Ck k sin k:k=1zDESX KONSTANTA K RAWNA CELOJ ^ASTI :tAKIM OBRAZOM, PRI > 1 SU]ESTWUET NENULEWAQ FUNKCIQv I, SLEDOWATELXNO, RE[ENIE ISHODNOJ ZADA^I | NEEDINSTWENNO.
pRI < 1 SU]ESTWUET TOLXKO NULEWOE v, PO\TOMU RE[ENIEISHODNOJ ZADA^I | EDINSTWENNO.zADA^A5.35.nAJTI WSE TAKIE > 0, ^TO RE[ENIEu(x; y) ZADA^I dIRIHLEDLQURAWNENIQ lAPLASA W OBLASTI (x; y) 2 R2 jyj < px3 ; UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWUu(x; y) 6 M 1 + x2 + y2 ;GDE M = const > 0; EDINSTWENNO.101rE[ENIE. pEREJDEM W POLQRNYE KOORDINATY. oBLASTX, W KOTOROJ RASSMATRIWAETSQ ZADA^A dIRIHLE, PREDSTAWLQET SOBOJ UGLOWOJ SEKTOR j'j < 6 , NERAWENSTWO PEREPI[ETSQ W WIDEju(r; ')j 6 M (1 + r2 ) :(24)eSLI w(r; ') - DRUGOE RE[ENIE DANNOJ ZADA^I dIRIHLE, TOv(r; ') = u(r; ') w(r; ') - GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W DANNOJOBLASTI, UDOWLETWORQ@]AQ NULEWYM GRANI^NYM USLOWIQM.
oNATOVE POD^INENA NERAWENSTWU (24) (WOZMOVNO, S BOLX[EJ KONSTANTOJ), TAK KAK jvj = ju wj 6 juj + jwj: tAKIM OBRAZOM,NAM NADO NAJTI USLOWIQ, PRI KOTORYH v - TOVDESTWENNYJ NULX.fUNKCIQ v IMEET OB]IJ WIDv(r; ') =Xk=3X(Ak rk + Bk r k ) cos k' + (Ck rk + Dk r k ) sin k':k=6tAK KAK W SILU NERAWENSTWA () \TA FUNKCIQ OGRANI^ENA W NULE,TO WSE KO\FFICIENTY Bi ; i = 3; ::: I Di ; i = 6; ::: RAWNY NUL@.~TOBY ISKL@^ITX RE[ENIQ ZADA^I dIRIHLE S NULEWYMI GRANI^NYMI USLOWIQMI, OTLI^NYE OT TOVDESTWENNOGO NULQ, NADOPOTREBOWATX, ^TOBY ROST jv(r; ')j NA BESKONE^NOSTI BYL STROGOMENX[E, ^EM U r3 : tAKIM OBRAZOM, < 23 :zADA^A5.45.pUSTX { OGRANI^ENNAQ OBLASTX NA PLOSKOSTI, u(x) 2 C 2 ();u = 0 W ;'(x) | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ NA @ Ixlim!x0 u(x) = '(x0 )x2DLQ WSEH x0 2 @ KROME EDINSTWENNOJ TO^KI x 2 @ : nAZOWEMTAKU@ FUNKCI@ "RE[ENIEM ZADA^I dIRIHLE u = 0;u@ = '(x) KROME ODNOJ GRANI^NOJ TO^KI x ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
