Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Это условие представляется довольно естественным, его можно пониматькак «сдвиг» очевидного равенства P (w(t) 6 0) = P (w(t) > 0) = 1/2, получающийсяв результате сдвига начала координат на плоскости переменных t, ξ) из точки (0, 0)в точку (s, z). Заметим также, что это условие хорошо согласуется с марковскимсвойством процесса Винера.На основании сделанного допущения найдём Fτx (t) = P (τx < t). Очевидно, чтоесли τx > t, т.

е. первое достижение точки с координатой x случилось не ранее,чем в момент времени t, то вплоть до момента времени t траектория процесса неподнималась выше уровня x, т. е. w(t) 6 x. Другими словами, событие τx > t влечётw(t) 6 x, и, переходя к дополнениям этих событий, мы получаем, что событиеw(t) < x влечёт τx < t. Следовательно, в (3.19)1P (w(t) > x, τx < t)P (w(t) > x)= P (w(t) > x | τx < t) ==,2P (τx < t)P (τx < t)откудаZ∞z21√e− 2σ2 t dz =Fτx (t) = P (τx < t) = 2P (w(t) > x) = 22πσ 2 t x Z ∞x1 − u22√ e,=2du = 2 1 − Φ √√2πσ2tx/ σ 2 t(3.20)где Φ( · ) – так называемый интеграл вероятности (функция стандартного нормального распределения),Z a1z2a21√ e− 2 dz,Φ(a) =Φ′ (a) = √ e− 2 .2π2π−∞35Найдём производную Fτ′x (t) = pτx (t):xx − x22d x1′e 2σ t ,pτx (t) = −2Φ √· √=√dt σ 2 tσ2t2πσ 2 t3/2t > 0.(3.21)Здесь x > 0 есть параметр плотности распределения pτx ( · ).Из формулы (3.21) нетрудно получить распределение случайной величины (далееt > 0 есть фиксированный параметр)ξ ∗ (t) = max w(s),06s6tравной максимальному значению процесса Винера на промежутке [0, t].

Отметим,что в силу непрерывности траектории максимум достигается с вероятностью единица. Мы будем искать Ft∗ (x) = P (ξ ∗ (t) < x) для x > 0; при x < 0 следует заменитьмаксимум на минимум и воспользоваться симметричностью процесса, т. е. тем, чтоP (w(t) > 0 = P (w(t) < 0).Нетрудно заметить, что если ξ ∗ (t) < x, то w(s) < x для всех s ∈ [0, t], и первоедостижение траекторией уровня x с необходимостью наступает позже времени t,другими словами, τx > t.

Верно и обратное: если τx > t, то при любом s 6 tтраектория процесса ещё не достигла уровня x, т. е. w(s) < x для всех s ∈ [0, t], а этовлечёт ξ ∗ (s) < x. Таким образом, события ξ ∗ (t) < x и τx > t равносильны, поэтомуx∗∗Ft (x) = P (ξ (t) < x) = P (τx > t) = 1 − P (τx 6 t) = 1 − P (τx < t) = 2Φ √− 1.σ2tМы воспользовались тем, что распределение случайной величины τx абсолютнонепрерывно (P (τx = t) = 0), и формулой (3.20). Дифференцируя функцию распределения, получаемr2 1 − x22x1dFt∗ (x)′∗√ e 2σ t ,·√== 2Φ √x > 0.pt (x) =dxπσ 2 tσ2tσ2tЗдесь t > 0 есть параметр плотности распределения p∗t ( · ).3.7.

Закон арксинуса. Пусть, как и выше ξ ∗ (t) = max06s6t w(s), теперь t > 0есть фиксированный параметр. Введём ещё одну случайную величину τ ∗ (t), равную первому моменту времени на промежутке [0, t], когда траектория достигла своего максимального значения ξ ∗ (t). Как уже отмечалось, вследствие непрерывноститраектории такой момент времени с вероятностью единица существует. Вычислимплотность распределения этой случайной величины.Дополнительно к t > 0 зафиксируем некоторое положительное x 6 y и найдёмусловную плотность pξ∗ (t)|τx (y|u) при u < t. По определениюpξ∗ (t)|τx (y|u) dy = P (y 6 ξ ∗ (t) < y + dy | u < τx < u + du).Дальнейшие рассуждения мы будем проводить не совсем строго, заменяя событияy 6 ξ ∗ (t) < y + dy и u < τx < u + du равенствами ξ ∗ (t) = y и τx = u, хотя, конечноже, P (ξ ∗ (t) = y) = 0 и P (τx = u) = 0.Если время первого достижения максимума τx = u и x 6 y, то до момента времени u траектория процесса ещё не достигла уровня x, следовательно, w(s) < x для36любого s ∈ [0, u).

Если мы считаем, что y > x, то тем более w(s) < y для любогоs ∈ [0, u). Таким образом, максимальное значение y заведомо достигается послевремени u,y = max w(s) = max w(s).06s6tu6s6tПри этом в силу τx = u мы имеем w(u) = x, таким образом, при условии τx = uпроцесс w(t), t > u, есть винеровский процесс, стартовавший из точки w(t) = x.Сдвинем начало координат (t, x) в пространстве переменных (t, ξ) в точку (0, 0),т. е. совершим замену ŵ(t) = w(t − u) − x, где x и u – фиксированные неслучайныепараметры.

Стохастические свойства процесса ŵ(t), t > 0, полностью эквивалентнысвойствам процесса w(t), t > 0. Таким образом, при условии τx = u случайнаявеличинаξ ∗ (t) = max w(s) = max w(s)06s6tu6s6tимеет то же распределение, что и случайная величинаx + max w(s) − x = x + max ŵ(s) = x + ξ ∗ (t − u).u6s6t06s6t−uНетрудно найти плотность распределения такой сдвинутой на x случайной величины: мы имеем px+ξ∗ (t−u) (y) = pξ∗ (t−u) (y − x) или, в явном виде,r(x−y)221− 2σ 2 t∗√pξ∗ (t)|τx (y|u) = pt−u (y − x) =e,0 < u < t, 0 < x 6 y.πσ 2 t − uДалее запишем совместную плотность, используя формулу (3.21):pξ∗ (t),τx (y, u) = pξ∗ (t)|τx (y|u) pτx (u) =r(x−y)22x − x2211− 2σ 2 t√e 2σ u ==e·√2πσt−u2πσ 2 u3/222x − (x−y)11− x2σ 2 t e 2σ 2 u ,p···e=0 < u < t,πσ 2u(t − u) u0 < x 6 y.В частности, при x = ypξ∗ (t),τy (y, u) =y − y2211p··· e 2σ t ,πσ 2u(t − u) u0 < u < t.(3.22)Вспомним, что τx – момент, когда траектория винеровского процесса в первый раздостигает уровня x.

Если нас интересует достижение уровня x = y = max06s6t w(t),то τx = τ ∗ (t). Таким образом, формула (3.22) даёт нам совместную плотность случайных величин ξ ∗ (t) и τ ∗ (t). ОтсюдаZ ∞pτ ∗ (t) (u) =pξ∗ (t),τ ∗ (t) (y, u) dy =0Z ∞Z ∞22y1111− y2− z22σ t dy =pzedz == ·p·e·ππu(t − u) 0 σ 2 uu(t − u) 011= ·p,0 < u < t.πu(t − u)37Парадоксальность этого результата состоит в том, что плотность распределениявремени достижения траекторией своего максимума увеличивается к концам отрезка [0, t], т. е. максимум скорее всего будет достигнут либо в самом начале, либо в самом конце промежутка наблюдения за винеровским процессом. Если мы обратимсяк функции распределения случайной величины τ ∗ (t), то получим после несложныхвычисленийrZ u2u,0 < u < t.Fτ ∗ (t) (u) =pτ ∗ (t) (ũ) dũ = arcsinπt0Это равенство носит название закон арксинуса.384.

МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫРассмотрим ξ(t), t > 0, – случайный процесс с непрерывным временем. Будемсчитать, что каждая из случайных величин ξ(t) принимает значения из одного и тогоже конечного множества {x1 , . . . , xs } при любом t > 0. Будем говорить, что в моментвремени t система, описываемая данным процессом, пребывает в состоянии xj , еслиреализовалось событие ξ(t) = xj .Определение 4.1. Случайный процесс ξ(t), t > 0, со значениями в множестве {x1 , . . . , xs } называется марковским, если при любых n = 3, 4, . .

. и любыхt1 , t2 , . . . tn , удовлетворяющих условию 0 = t0 < t1 < · · · < tn , случайные величиныξ(t0 ), . . . , ξ(tn−1 ), (ξ(tn) образуют цепь Маркова, т. е. для любых xi0 , . . . , xin−1 , xin ,выбранных из множества {x1 , . . . , xs }, имеет место равенствоP (ξ(tn) = xin | ξ(tn−1 ) = xin−1 , . . . , ξ(t0 ) = xi0 ) == P (ξ(tn ) = xin | ξ(tn−1 ) = xin−1 ).(4.1)Будем говорить, что марковский процесс является однородным, еслиP (ξ(t + s) = xj | ξ(s) = xi ) = πij (t),i, j = 1, . . . , s,(4.2)для любых 0 6 s < t.

Вероятности πij (t) называются вероятностями перехода изсостояния xi в состояние xi за время t > 0.Всюду далее мы рассматриваем только однородные марковские процессы с конечным множеством состояний (1 < s < ∞).Чтобы найти любое конечномерное распределение марковского процесса, нужнозадать начальное распределениеP (ξ(0) = xi ) = ai ,i = 1, . . . , s,sXai = 1,(4.3)i=1и матрицу вероятностей перехода π(t) за любое конечное время t > 0. Тогда длялюбого n = 1, 2, . . .

и для любых 0 = t0 < t1 < · · · < tnP (ξ(0) = xi0 , ξ(t1 ) = xi1 , . . . , ξ(tn ) = xin ) = ai πi0 i1 (t1 − t0 ) . . . πin−1 in (tn − tn−1 ), (4.4)Нетрудно также рассчитать распределение процесса в любой момент времени t > 0,пользуясь формулой полной вероятности:P (ξ(t) = xj ) =sXai πij (t),j = 1, . .

. , s.i=1Равенства (4.2) задают на множестве {t > 0} матричнозначную функцию π( · ) созначениями в множестве Mat(s) матриц размера s × s. Для этой функции справедливы общие свойства матриц перехода в цепях Маркова: неотрицательность матричных элементов, равенствоsXπij (t) = 1,i = 1, . .

. , s,j=139t > 0,(4.5)отражающее условие нормировки условного распределения случайной величины ξ(t)при фиксированном начальном состоянии ξ(0) = xi , и уравнение Чепмена–Колмогороваπij (t + s) =sXπik (t)πkj (s) =k=1sXπik (s)πkj (t),i, j = 1, . . . , s,t, s > 0, (4.6)k=1являющееся прямым следствием условия (4.1) и формулы полной вероятности. Этоуравнение удобнее писать в матричном видеπ(t + s) = π(t)π(s) = π(s)π(t),(4.7)t, s > 0.Как следствие этого уравнения можно записать, например, матричное равенствоπ(n · t) = π n (t) для любого натурального n и любого t > 0.По сути марковский процесс есть цепь Маркова, в которой переходы между состояниями происходят не в фиксированные дискретные моменты времени t1 , t2 , .

Характеристики

Список файлов лекций