Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Независимостьприращений и однородность процесса вытекают из соответствующих свойств случайных блужданий. Таким образом, процесс Винера можно рассматривать как предельный вариант дискретных случайных блужданий вдоль действительной прямой,когда промежутки времени между скачками и длина скачка согласованно (см. (3.6))стремятся к нулю. Принято называть такую модель одномерным броуновским движением.3.4. Аналитические свойства траекторий процесса Винера. Распределение приращения w(t + h) − w(t) имеет нулевое среднее и дисперсию σ 2 h, поэтомувследствие неравенства ЧебышёваP (|w(t + h) − w(t)| > ε) 6σ2h→ 0,ε2h → +0,а это означает, что w(t + h) − w(t) → 0 по вероятности, если h → +0.
Ещё более2очевидно, что M w(t + h) − w(t) = σ 2 h → 0, т. е. w(t + h) − w(t) → 0 в среднемквадратичном смысле. Значительно сложнее показать сходимость с вероятностьюединица. Для доказательства этого факта нам потребуется лемма Бореля–Кантеллии обобщённое неравенство Чебышёва.Лемма 3.1. Пусть g( · ) – произвольная неубывающая функция, принимающаянеотрицательные значения, и для случайной величины ξ существует M g(ξ). Тогдадля любого действительного числа c, при котором h(c) > 0, справедливо неравенствоM g(ξ)P (ξ > c) 6.(3.7)g(c)Доказательство.
Имеем цепочку оценок, аналогичную той, которая доказывает стандартное неравенство Чебышёва:Z +∞Z cZ +∞g(x) dF (x) >g(x) dF (x) +g(x) dF (x) =M g(ξ) =−∞>Z−∞+∞cg(x) dF (x) > g(c)Z+∞dF (x),ccпоскольку g(x) > 0 и g(x) > g(c) > 0 при x > c. Интеграл в правой части равенP (ξ > c), отсюда M g(ξ) > g(c)P (ξ > c), что при g(c) 6= 0 эквивалентно (3.7).30Теорема 3.1. Пусть w(ω, t), ω ∈ Ω, t > 0, – процесс Винера. Для любого фиксированного t > 0P ω : lim w(ω, t + h) = w(ω, t) = 1.(3.8)h→0Доказательство. Докажем непрерывность траектории в точке t > 0 справа,непрерывность слева доказывается полностью аналогично.Дадим определение непрерывности: для любого ε > 0 существует δ > 0 такое,что для всех 0 < ∆h 6 δ имеет место неравенство |w(t + ∆h) − w(t)| < ε.
Теперьзаменим произвольное (достаточно малое) ε > 0 на 1/m, (малую) величину δ > 0заменим на 1/n, а неравенство 0 < ∆h < δ заменим на ∆h = 1/k, где m, n, k ∈ Nи k > n произвольны. Получим ещё одно (очевидно, эквивалентное предыдущему)определение. Траектория процесса Винера непрерывна в точке t > 0 справа, еслидля любого m ∈ N найдётся n ∈ N такое, что для всех k > n имеет место неравенство |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m. Теперь мы можем записать множество под знакомвероятности в (3.8) стандартным образом:∞ [∞ \∞\ω : lim w(ω, t + h) = w(ω, t) =ω : |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m .h→0m=1 n=1 k=nПоложим для краткости(m)ω : |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m = Ak ,(m)(m)ω : |w(t + 1/k) − w(t)| > 1/m = Bk = Ak .(3.9)Тогда∞ \∞∞ \∞[[def(m)(m)ω : |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m =Ak = lim inf A(m)== A∗ .nn=1 k=nn→∞n=1 k=nВ этих обозначениях утверждение теоремы записывается как \ [∞∞(m) def(m)(m)P= 1 ⇐⇒ P= 0, B∗ == lim sup Bn(m) .A∗B∗m=1n→∞m=1(m)Если мы покажем, что равенство P (B∗ ) = 0 выполнено для любого m = 1, 2, .
. . ,то, очевидно, будем иметь для любого M = 1, 2, . . .P [Mm=1(m)B∗6MX(m)m=1P (B∗) = 0,а переходя к пределу M → ∞, получим в силу включенияP [∞m=1(m)B∗= lim PM →∞ [Mm=1(m)B∗SMm=1(m)B∗⊂SM +1m=1(m)B∗= 0.(m)Итак, для доказательства нам достаточно показать, что P (lim supn→∞ Bn ) = 0.А для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы было выполнено условие (лемма31Бореля–Кантелли)∞Xn=1P (Bn(m) ) < ∞ дляP (|w(t + 1/n) − w(t)| > 1/m).(3.10)Теперь попытаемся оценить по порядку величины n слагаемое этого ряда.
Приращение w(t + 1/n) − w(t) имеет нормальное распределение с нулевым средним идисперсией σ 2 /n. Тогда имеем по стандартному неравенству Чебышёваm2 σ 216= O(n−1 ),P |w(t + 1/n) − w(t)| >mnи мы видим, что данное неравенство не может помочь нам в доказательстве сходимости ряда. Но мы можем воспользоваться обобщённым неравенством Чебышёва (3.7) для ξ = |w(t + 1/n) − w(t)| и g(x) = x4 .
Тогда, как нетрудно показать,M (w(t + 1/n) − w(t))4 = 3σ 4 /n2 . Отсюда1m4 σ 2P |w(t + 1/n) − w(t)| >6= O(n−2 ),mn2что доказывает условие (3.10) и вместе с ним всю теорему.С точки зрения траекторий доказанное свойсвто означает, что почти все траектории процесса Винера – функции, непрерывные в каждой точке t > 0., она распределена нормальРассмотрим теперь случайную величину w(t+h)−w(t)h222но с нулевым средним, но её дисперсия σ h/h = σ /h → ∞ при h → +0.
Этоозначает, что данная случайная величина едва ли может иметь предел при h → +0в каком-либо смысле. Оказывается, справедливо следующее утверждение, котороемы оставим без доказательства:w(t + h) − w(t)P ω ∈ Ω : существует limхотя бы для одного t > 0 = 0,h→+0hто есть почти все траектории процесса Винера являются нигде не дифференцируемыми функциями.3.5. Процесс Винера и уравнение теплопроводности. В этом пункте мыпокажем, как получить процесс Винера из некоторых достаточно общих предположений о поведении одномерной плотности распределения.Теорема 3.2. Пусть случайный процесс w(t), t > 0, является однородным процессом с независимыми приращениями, начинающимся в нуле. Пусть распределение приращения ∆w(h) = w(t+h)−w(t) абсолютно непрерывно и плотность p( · , h)распределения случайной величины ∆w(h) удовлетворяет следующим условиям:kp(x,t)непрерывны по x и ограничены вплоть до тре1) частные производные ∂ ∂xkтьего порядка (k = 1, 2, 3) для всех x ∈ R при любом фиксированном t > 0 и непрерывны по t вплоть до второго порядка (k = 1, 2) для всех t > 0 при любом фиксированном x ∈ R;322) при h → +0 имеют место асимптотические равенства для моментов случайной величины ∆w(h)Z1 ∞xp(x, h) dx = M1 + o(h),h −∞Z1 ∞ 2x p(x, h) dx = M2 + o(h),(3.11)h −∞Z1 ∞|x|3 p(x, h) dx = M3 + o(h),h −∞где M1 = 0, M2 = σ 2 > 0, M3 = 0.Тогда случайная величина w(t) при каждом t > 0 имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией σ 2 t:pw(t) (z) = √1z22πσ 2 te− 2σ2 t ,−∞ < z < ∞.(3.12)Доказательство.
Выразим случайную величину w(t + h) через приращения: сучётом того, что по условию процесс начинается в нуле, P (w(0) = 0) = 1, имеемw(t+h) = w(t+h)−w(0) = w(t+h)−w(t)+w(t)−w(0),∆w(t+h) = ∆w(h)+∆w(t),причём слагаемые в правой части последнего равенства суть независимые случайныевеличины. Плотность распределения суммы независимых случайных величин естьсвёртка плотностей распределения слагаемых, и в наших обозначениях мы имеемZ ∞p(z, t + h) =p(z − x, t)p(x, h) dx.(3.13)−∞Теперь разложим p(z − x, t) в ряд Тейлора по x до третьего порядка:∂p(z, t) x2 ∂ 2 p(z, t) x3 ∂ 3 p(zx∗ , t)p(z − x, t) = p(z, t) − x+−,∂z2∂z 26∂z 3где z − x 6 zx∗ 6 z. Первая и вторая частные производные не зависят от x и вформуле (3.13) могут быть вынесены из интеграла, а третья производная по условиюограничена на всей числовой прямой, 3 ∗ ∂ p(zx , t) ∂z 3 6 C.Кроме того, с учётом нормировки плотности и условий (3.11) мы можем записатьZ ∞Z ∞xk p(x, t) dx = h Mk + o(h) , k = 1, 2, 3.p(x, t) dx = 1,−∞−∞Подставляя все эти соотношения в (3.13), получаемp(z, t + h) = p(z, t) − h M1 + o(h) ∂p(z, t) h(Mk + o(h)) ∂ 2 p(z, t)+−∂z2∂z 233−Z∞−∞x3 ∂ 3 p(zx∗ , t)p(x, t) dx.6∂z 3(3.14)Последнее слагаемое в силу ограниченности третьей производной допускает оценкуZ ∞Z ∞ 3 3 ∗x ∂ p(zx , t)3(3.15)|x| p(x, t) dx = C M3 + o(h) .p(x, t) dx 6 C 3∂z−∞−∞ 6Теперь подставим в (3.14), (3.15) значения M1 = M3 = 0 и M2 = σ 2 и получимp(z, t + h) − p(z, t)σ 2 ∂ 2 p(z, t)=+ o(h),h2∂z 2(3.16)что в пределе h → +0 даёт дифференциальное уравнение теплопроводности∂p(z, t)σ 2 ∂ 2 p(z, t)=.∂t2∂z 2(3.17)Это уравнение необходимо дополнитьR ∞условием неотрицательности плотности распределения, условием нормировки −∞ p(x, t) dx = 1 и сингулярным начальнымусловием p(z, 0) = δ(0), которое согласуется с требованием P (w(0) = 0) = 1.
Решением полученной задачи является функцияp( z, t) = √12πσ 2 tz2e− 2σ2 t ,−∞ < z < ∞.(3.18)Тем самым теорема доказана.Замечание 3.3. На самом деле, переходя в (3.16) к пределу h → +0, мы получили правую производную по времени. Для расчёта левой производной при t > 0следует взять 0 < h < t и всюду заменить t + h на t и t – на t − h > 0. Тогдавместо (3.16) мы получимσ 2 ∂ 2 p(z, t − h)p(z, t) − p(z, t − h)=+ o(h),h2∂z 2но мы предположили, что производная в правой части (как функция двух переменных x и t) непрерывна по t при любом t > 0 и фиксированном x. Поэтому вновь получаем при h → +0 уравнение (3.17).
В нём производная по времени левая, а втораяпроизводная по z осталась без изменений. Таким образом, мы можем утверждать,что производная по времени в уравнении (3.17) понимается в классическом смысле.Замечание 3.4. Соотношения M2 = σ 2 > 0 и M3 = 0 в условиях (3.11) говорято том, что при малых h малые отклонения случайной величины w(h) от нуля болеевероятны, чем большие.Замечание 3.5. Если в условиях (3.11) положить M1 = µ 6= 0, то мы получимвместо (3.17) уравнение∂p(z, t)∂p(z, t) σ 2 ∂ 2 p(z, t)= −µ+.∂t∂z2∂z 234с теми же условиями неотрицательности, нормировки и начальным условием, чтои выше.
Заменой x − µt 7→ x это уравнение сводится к (3.17) и, возвращаясь к исходной переменной, мы получаем решениеp( z, t) = √12πσ 2 te−(z−µt)22σ 2 t−∞ < z < ∞.,Такой случайный процесс отвечает переходу к непрерывному пределу в модели несимметричных случайных блужданий (см.
п. 3.3), в которых прыжок направо совершается с вероятностью p, а прыжок налево – с вероятностью q, p + q = 1 и p − q = µ.3.6. Распределение времени первого достижения данного уровня. Какобычно, будем считать, что случайный процесс Винера стартует из нуля. Зафиксируем некоторое значение x > 0 и определим случайную величину τx , равную моментупервого достижения траекторией процесса точки x.
А именно, τx = t, если w(s) < xдля всех 0 6 s < t и w(t) = x.Найдём распределение случайной величины τx . Для решения этой задачи мыпримем без доказательства одно тождество:P (w(t) 6 z | τz 6 t) = P (w(t) > z | τz > u) =1,2z >,t > 0.(3.19)Смысл этого равенства в том, что если в какой-то момент времени τx = s частица достигла точки z, то последующие блуждания (при t > s) симметричны относительноточки z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
