Главная » Просмотр файлов » Наброски лекций. 2017

Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 7

Файл №1134111 Наброски лекций. 2017 (Наброски лекций. 2017) 7 страницаНаброски лекций. 2017 (1134111) страница 72019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Независимостьприращений и однородность процесса вытекают из соответствующих свойств случайных блужданий. Таким образом, процесс Винера можно рассматривать как предельный вариант дискретных случайных блужданий вдоль действительной прямой,когда промежутки времени между скачками и длина скачка согласованно (см. (3.6))стремятся к нулю. Принято называть такую модель одномерным броуновским движением.3.4. Аналитические свойства траекторий процесса Винера. Распределение приращения w(t + h) − w(t) имеет нулевое среднее и дисперсию σ 2 h, поэтомувследствие неравенства ЧебышёваP (|w(t + h) − w(t)| > ε) 6σ2h→ 0,ε2h → +0,а это означает, что w(t + h) − w(t) → 0 по вероятности, если h → +0.

Ещё более2очевидно, что M w(t + h) − w(t) = σ 2 h → 0, т. е. w(t + h) − w(t) → 0 в среднемквадратичном смысле. Значительно сложнее показать сходимость с вероятностьюединица. Для доказательства этого факта нам потребуется лемма Бореля–Кантеллии обобщённое неравенство Чебышёва.Лемма 3.1. Пусть g( · ) – произвольная неубывающая функция, принимающаянеотрицательные значения, и для случайной величины ξ существует M g(ξ). Тогдадля любого действительного числа c, при котором h(c) > 0, справедливо неравенствоM g(ξ)P (ξ > c) 6.(3.7)g(c)Доказательство.

Имеем цепочку оценок, аналогичную той, которая доказывает стандартное неравенство Чебышёва:Z +∞Z cZ +∞g(x) dF (x) >g(x) dF (x) +g(x) dF (x) =M g(ξ) =−∞>Z−∞+∞cg(x) dF (x) > g(c)Z+∞dF (x),ccпоскольку g(x) > 0 и g(x) > g(c) > 0 при x > c. Интеграл в правой части равенP (ξ > c), отсюда M g(ξ) > g(c)P (ξ > c), что при g(c) 6= 0 эквивалентно (3.7).30Теорема 3.1. Пусть w(ω, t), ω ∈ Ω, t > 0, – процесс Винера. Для любого фиксированного t > 0P ω : lim w(ω, t + h) = w(ω, t) = 1.(3.8)h→0Доказательство. Докажем непрерывность траектории в точке t > 0 справа,непрерывность слева доказывается полностью аналогично.Дадим определение непрерывности: для любого ε > 0 существует δ > 0 такое,что для всех 0 < ∆h 6 δ имеет место неравенство |w(t + ∆h) − w(t)| < ε.

Теперьзаменим произвольное (достаточно малое) ε > 0 на 1/m, (малую) величину δ > 0заменим на 1/n, а неравенство 0 < ∆h < δ заменим на ∆h = 1/k, где m, n, k ∈ Nи k > n произвольны. Получим ещё одно (очевидно, эквивалентное предыдущему)определение. Траектория процесса Винера непрерывна в точке t > 0 справа, еслидля любого m ∈ N найдётся n ∈ N такое, что для всех k > n имеет место неравенство |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m. Теперь мы можем записать множество под знакомвероятности в (3.8) стандартным образом:∞ [∞ \∞\ω : lim w(ω, t + h) = w(ω, t) =ω : |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m .h→0m=1 n=1 k=nПоложим для краткости(m)ω : |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m = Ak ,(m)(m)ω : |w(t + 1/k) − w(t)| > 1/m = Bk = Ak .(3.9)Тогда∞ \∞∞ \∞[[def(m)(m)ω : |w(t + 1/k) − w(t)| < 1/m =Ak = lim inf A(m)== A∗ .nn=1 k=nn→∞n=1 k=nВ этих обозначениях утверждение теоремы записывается как \ [∞∞(m) def(m)(m)P= 1 ⇐⇒ P= 0, B∗ == lim sup Bn(m) .A∗B∗m=1n→∞m=1(m)Если мы покажем, что равенство P (B∗ ) = 0 выполнено для любого m = 1, 2, .

. . ,то, очевидно, будем иметь для любого M = 1, 2, . . .P [Mm=1(m)B∗6MX(m)m=1P (B∗) = 0,а переходя к пределу M → ∞, получим в силу включенияP [∞m=1(m)B∗= lim PM →∞ [Mm=1(m)B∗SMm=1(m)B∗⊂SM +1m=1(m)B∗= 0.(m)Итак, для доказательства нам достаточно показать, что P (lim supn→∞ Bn ) = 0.А для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы было выполнено условие (лемма31Бореля–Кантелли)∞Xn=1P (Bn(m) ) < ∞ дляP (|w(t + 1/n) − w(t)| > 1/m).(3.10)Теперь попытаемся оценить по порядку величины n слагаемое этого ряда.

Приращение w(t + 1/n) − w(t) имеет нормальное распределение с нулевым средним идисперсией σ 2 /n. Тогда имеем по стандартному неравенству Чебышёваm2 σ 216= O(n−1 ),P |w(t + 1/n) − w(t)| >mnи мы видим, что данное неравенство не может помочь нам в доказательстве сходимости ряда. Но мы можем воспользоваться обобщённым неравенством Чебышёва (3.7) для ξ = |w(t + 1/n) − w(t)| и g(x) = x4 .

Тогда, как нетрудно показать,M (w(t + 1/n) − w(t))4 = 3σ 4 /n2 . Отсюда1m4 σ 2P |w(t + 1/n) − w(t)| >6= O(n−2 ),mn2что доказывает условие (3.10) и вместе с ним всю теорему.С точки зрения траекторий доказанное свойсвто означает, что почти все траектории процесса Винера – функции, непрерывные в каждой точке t > 0., она распределена нормальРассмотрим теперь случайную величину w(t+h)−w(t)h222но с нулевым средним, но её дисперсия σ h/h = σ /h → ∞ при h → +0.

Этоозначает, что данная случайная величина едва ли может иметь предел при h → +0в каком-либо смысле. Оказывается, справедливо следующее утверждение, котороемы оставим без доказательства:w(t + h) − w(t)P ω ∈ Ω : существует limхотя бы для одного t > 0 = 0,h→+0hто есть почти все траектории процесса Винера являются нигде не дифференцируемыми функциями.3.5. Процесс Винера и уравнение теплопроводности. В этом пункте мыпокажем, как получить процесс Винера из некоторых достаточно общих предположений о поведении одномерной плотности распределения.Теорема 3.2. Пусть случайный процесс w(t), t > 0, является однородным процессом с независимыми приращениями, начинающимся в нуле. Пусть распределение приращения ∆w(h) = w(t+h)−w(t) абсолютно непрерывно и плотность p( · , h)распределения случайной величины ∆w(h) удовлетворяет следующим условиям:kp(x,t)непрерывны по x и ограничены вплоть до тре1) частные производные ∂ ∂xkтьего порядка (k = 1, 2, 3) для всех x ∈ R при любом фиксированном t > 0 и непрерывны по t вплоть до второго порядка (k = 1, 2) для всех t > 0 при любом фиксированном x ∈ R;322) при h → +0 имеют место асимптотические равенства для моментов случайной величины ∆w(h)Z1 ∞xp(x, h) dx = M1 + o(h),h −∞Z1 ∞ 2x p(x, h) dx = M2 + o(h),(3.11)h −∞Z1 ∞|x|3 p(x, h) dx = M3 + o(h),h −∞где M1 = 0, M2 = σ 2 > 0, M3 = 0.Тогда случайная величина w(t) при каждом t > 0 имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией σ 2 t:pw(t) (z) = √1z22πσ 2 te− 2σ2 t ,−∞ < z < ∞.(3.12)Доказательство.

Выразим случайную величину w(t + h) через приращения: сучётом того, что по условию процесс начинается в нуле, P (w(0) = 0) = 1, имеемw(t+h) = w(t+h)−w(0) = w(t+h)−w(t)+w(t)−w(0),∆w(t+h) = ∆w(h)+∆w(t),причём слагаемые в правой части последнего равенства суть независимые случайныевеличины. Плотность распределения суммы независимых случайных величин естьсвёртка плотностей распределения слагаемых, и в наших обозначениях мы имеемZ ∞p(z, t + h) =p(z − x, t)p(x, h) dx.(3.13)−∞Теперь разложим p(z − x, t) в ряд Тейлора по x до третьего порядка:∂p(z, t) x2 ∂ 2 p(z, t) x3 ∂ 3 p(zx∗ , t)p(z − x, t) = p(z, t) − x+−,∂z2∂z 26∂z 3где z − x 6 zx∗ 6 z. Первая и вторая частные производные не зависят от x и вформуле (3.13) могут быть вынесены из интеграла, а третья производная по условиюограничена на всей числовой прямой, 3 ∗ ∂ p(zx , t) ∂z 3 6 C.Кроме того, с учётом нормировки плотности и условий (3.11) мы можем записатьZ ∞Z ∞xk p(x, t) dx = h Mk + o(h) , k = 1, 2, 3.p(x, t) dx = 1,−∞−∞Подставляя все эти соотношения в (3.13), получаемp(z, t + h) = p(z, t) − h M1 + o(h) ∂p(z, t) h(Mk + o(h)) ∂ 2 p(z, t)+−∂z2∂z 233−Z∞−∞x3 ∂ 3 p(zx∗ , t)p(x, t) dx.6∂z 3(3.14)Последнее слагаемое в силу ограниченности третьей производной допускает оценкуZ ∞Z ∞ 3 3 ∗x ∂ p(zx , t)3(3.15)|x| p(x, t) dx = C M3 + o(h) .p(x, t) dx 6 C 3∂z−∞−∞ 6Теперь подставим в (3.14), (3.15) значения M1 = M3 = 0 и M2 = σ 2 и получимp(z, t + h) − p(z, t)σ 2 ∂ 2 p(z, t)=+ o(h),h2∂z 2(3.16)что в пределе h → +0 даёт дифференциальное уравнение теплопроводности∂p(z, t)σ 2 ∂ 2 p(z, t)=.∂t2∂z 2(3.17)Это уравнение необходимо дополнитьR ∞условием неотрицательности плотности распределения, условием нормировки −∞ p(x, t) dx = 1 и сингулярным начальнымусловием p(z, 0) = δ(0), которое согласуется с требованием P (w(0) = 0) = 1.

Решением полученной задачи является функцияp( z, t) = √12πσ 2 tz2e− 2σ2 t ,−∞ < z < ∞.(3.18)Тем самым теорема доказана.Замечание 3.3. На самом деле, переходя в (3.16) к пределу h → +0, мы получили правую производную по времени. Для расчёта левой производной при t > 0следует взять 0 < h < t и всюду заменить t + h на t и t – на t − h > 0. Тогдавместо (3.16) мы получимσ 2 ∂ 2 p(z, t − h)p(z, t) − p(z, t − h)=+ o(h),h2∂z 2но мы предположили, что производная в правой части (как функция двух переменных x и t) непрерывна по t при любом t > 0 и фиксированном x. Поэтому вновь получаем при h → +0 уравнение (3.17).

В нём производная по времени левая, а втораяпроизводная по z осталась без изменений. Таким образом, мы можем утверждать,что производная по времени в уравнении (3.17) понимается в классическом смысле.Замечание 3.4. Соотношения M2 = σ 2 > 0 и M3 = 0 в условиях (3.11) говорято том, что при малых h малые отклонения случайной величины w(h) от нуля болеевероятны, чем большие.Замечание 3.5. Если в условиях (3.11) положить M1 = µ 6= 0, то мы получимвместо (3.17) уравнение∂p(z, t)∂p(z, t) σ 2 ∂ 2 p(z, t)= −µ+.∂t∂z2∂z 234с теми же условиями неотрицательности, нормировки и начальным условием, чтои выше.

Заменой x − µt 7→ x это уравнение сводится к (3.17) и, возвращаясь к исходной переменной, мы получаем решениеp( z, t) = √12πσ 2 te−(z−µt)22σ 2 t−∞ < z < ∞.,Такой случайный процесс отвечает переходу к непрерывному пределу в модели несимметричных случайных блужданий (см.

п. 3.3), в которых прыжок направо совершается с вероятностью p, а прыжок налево – с вероятностью q, p + q = 1 и p − q = µ.3.6. Распределение времени первого достижения данного уровня. Какобычно, будем считать, что случайный процесс Винера стартует из нуля. Зафиксируем некоторое значение x > 0 и определим случайную величину τx , равную моментупервого достижения траекторией процесса точки x.

А именно, τx = t, если w(s) < xдля всех 0 6 s < t и w(t) = x.Найдём распределение случайной величины τx . Для решения этой задачи мыпримем без доказательства одно тождество:P (w(t) 6 z | τz 6 t) = P (w(t) > z | τz > u) =1,2z >,t > 0.(3.19)Смысл этого равенства в том, что если в какой-то момент времени τx = s частица достигла точки z, то последующие блуждания (при t > s) симметричны относительноточки z.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
468,8 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее