Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . , s. Имеет место также условие нормировкиj=1 pj (t) = 1. При этихусловиях система (4.19) (или (4.20)) имеет единственное решение.45Пример 4.9. Показать, что для процесса Пуассона (как марковского процесса сосчётным числом состояний) справедлива система уравнений Колмогорова.Решение. Процесс Пуассона удовлетворяет условию (4.1), и переходная вероятность имеет видπij (t) = P (ξ(t + s) = j | P (ξ(s) = i) =(λt)j−i −λte ,(j − i)!j − i > 0;а если j − i < 0, то πij (t, t + u) = 0. Отсюда0,dπij (t)−λe−λt ,=dt(λt)j−i−1 −λt(λt)j−i−λ+ λe−λte ,(j − i)!(j − i − 1)!следовательно,def dπij (t) Λ ==dt t=0Записав (4.23) как0,−λ,=λ,0,0,dπij (t) = −λπij ,dt−λπ + λπijj − i < 0,j − i = 0,(4.23)j − i > 0,j − i < 0,j − i = 0,j − i = 1,j − i > 1.j < i,j = i,i+1,j ,j > i,видим, что уравнения Колмогорова π̇(t) = Λπ = πΛ в данном случае выполнены.465. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕСВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВВ этой части мы будем рассматривать комплекснозначные случайные величиныи комплекснозначные случайные процессы.

Пусть ξ : Ω → C есть случайная величина, т. е. ξ(ω) = ξRe (ω) + iξIm (ω), ω ∈ Ω, и ξRe , ξIm – действительнозначные случайныевеличины. Будем обозначать как ξ комплексно-сопряжённую случайную величину,ξ(ω) = ξRe (ω) − iξIm (ω), ω ∈ Ω. Нас не будет интересовать, как устроено совместное распределение действительной и мнимой частей, определим лишь два первыхмомента:M ξ = M ξRe +iM ξIm ,cov(ξ, η) = M (ξ−M ξ)(η − M η),Dξ = cov(ξ, ξ) = M |ξ−M ξ|2.cov(ξ, η) = M ξ η − M ξ · M η,Dξ = M |ξ|2 − |M ξ|2 .Очевидно, чтоM ξ̄ = M ξ,Рассмотрим множество (пространство) случайных величинH = {ξ : Ω → C : M ξ = 0, M |ξ|2 < ∞}.Каждую такую случайную величину ξ будем называть гильбертовой. Заметим, чтов этом пространстве коэффициент ковариации обладает свойствами (комплексного)скалярного произведения: для любых случайных величин ξ, ξ1 , ξ2 , η ∈ H• cov(η, ξ) = cov(ξ, η),• cov(a1 ξ1 + a2 ξ2 , η) = a1 cov(ξ1 , η) + a2 cov(ξ2 , η) для любых a1 .a2 ∈ C,• cov(ξ, ξ) > 0, причём cov(ξ, ξ) = 0 тогда и только тогда, когда P (ξ = 0) = 1.Последнее утверждение вытекает из неравенства Чебышёва, P (|ξ| > ε) = 0 длялюбого ε > 0, если cov(ξ, ξ) = Dξ = 0.Исходя из этих свойств коэффициента ковариации далее наряду с теоретико-вероятностными мы будем использовать стандартные обозначение линейной алгебры:cov(ξ, η) = M ξ η = (ξ, η),cov(ξ, ξ) = M |ξ|2 = Dξ = (ξ, ξ) = kξk2 .Из свойств скалярного произведения вытекает хорошо известное неравенство Коши–Буняковского:|(ξ, η)|2 6 kξk2 · kηk2 ,ξ, η ∈ H.Если случайные величины ξ, η таковы, что (ξ, η) – действительное число, доказательство этого неравенства стандартно: для любого a ∈ Rkξ − aηk2 = M (ξ − aη)(ξ − aη) = M |ξ|2 − aM ξ η − aM ξη + a2 M |η|2 == kξk2 − a(ξ, η) − a(ξ, η) + a2 kηk2 = kξk2 − 2a(ξ, η) + a2 kηk2 .(5.1)Поскольку kξ − aηk2 > 0, правая часть (5.1) как квадратный трёхчлен по a неотрицательна при любом a ∈ R.

Следовательно, дискриминант этого квадратноготрёхчлена неположителен. Последнее условие и означает, что (ξ, η)2 6 kξk2 · kηk2 .Если же (ξ, η) имеет мнимую часть, т. е. (ξ, η) = reiϕ , то, прежде чем писатьсоотношения (5.1), необходимо сделать линейное преобразование ξ̃ = e−iϕ ξ. Тогда|ξ̃|2 = |ξ|2 и (ξ̃, η) = e−iϕ (ξ, η) = r = |(ξ, η)|. При этом (5.1) принимает видkξ̃ − aηk2 = kξk2 − 2a|(ξ, η)| + a2 kηk2 .47Теперь мы можем применить те же рассуждения, что и выше, и получим неравенство |(ξ, η)|2 6 kξk2 · kηk2 .Отметим ещё одно полезное неравенствоkξ̃ + ηk2 6 2kξk2 + 2kηk2 ,(5.2)которое эквивалентно тривиальному неравенству kξ̃ − ηk2 > 0.Будем говорить, что последовательность {ξn }n=1,∞ случайных величин из пространства H сходится в среднем квадратичном к случайной величине ξ ∈ H и писатьс.к.ξn −→ ξ, еслиn→∞M |ξn − ξ|2 = kξn − ξk2 → 0,n → ∞.Далее мы часто не будем задавать условие n = 1, ∞ в обозначениях последовательностей (и писать, например, {ξn }), а также не будем указывать, что предельныйс.к.переход совершается при n → ∞ (и писать просто ξn −→ ξ), в тех случаях, когдаэто не может вызывать непонимания.

Если случайные величины рассматриваютсякак элементы пространства H, то сходимость понимается исключительно как сходимость по норме этого пространства.Важнейшим свойством пространства H является его полнота. Имеет место следующая теорема, которую мы оставим без доказательства.Теорема 5.1. Последовательность {ξn } случайных величин из пространства Hсходится к случайной величине ξ ∈ H тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т. е. для любого ε > 0 найдётся натуральное число N = N (ε) такое,что для всех m, n > N имеет место неравенство kξn − ξm k < ǫ (или, кратко,kξn − ξm k → 0 для всех m, n → ∞).Докажем несколько простых утверждений о свойствах сходимости последовательностей из H, которые часто будем использовать в дальнейшем.Лемма 5.6.

Если kξn − ξk2 → 0 при n → ∞, то числовая последовательностьквадратов норм {kξn k2 } ограничена.Доказательство. Числовая последовательность kxn − xk2 , n = 1, 2, . . . , сходится к нулю, следовательно, ограничена. В силу неравенстваkxn k2 = kxn − x + xk2 6 2kxn − xk2 + 2kxk2 ,аналогичного (5.2), ограничена и последовательность kxn k2 , n = 1, 2, . . . .Лемма 5.7. Если kξn − ξk2 → 0 при n → ∞, то kξn k2 → kξk2 при n → ∞.Доказательство.

Поскольку, очевидно, kξn −ξk2 = kξn k2 −(ξn , ξ)−(ξn, ξ)+kξk2и kξk2 = (ξ, ξ) = (ξ, ξ), мы можем записать следующую цепочку равенств:kξn k2 − kξk2 = kξn − ξk2 − 2kξk2 + (ξn , ξ) + (ξn , ξ) == kξn − ξk2 − (ξ, ξ) − (ξ, ξ) + (ξn , ξ) + (ξn , ξ) == kξn − ξk2 + (ξn , ξ − ξ) + (ξn , ξ − ξ).Отсюда kξn k2 − kξk2 6 kξn − ξk2 + 2(ξn , ξ − ξ) 6 kξn − ξk2 + 2kξn − ξk · kξk.48Каждое слагаемое в правой части неравенства стремится к нуля, таким образом,kξn k2 − kξk2 → 0 при n → ∞.Лемма 5.8. Если kξn − ξk2 → 0 при n → ∞ и kξ̃m − ξk2 → 0 при m → ∞, то(ξn , ξ̃m ) → (ξ, ξ) при n, m → ∞.Доказательство. Запишем цепочку неравенств (ξn , ξ̃m ) − (ξ, ξ) = (ξn , ξ̃m ) − (ξn , ξ) + (ξn , ξ) − (ξ, ξ) = = (ξn , ξ̃m − ξ) + (ξn − ξ, ξ) 6 (ξn , ξ̃m − ξ) + (ξn − ξ, ξ) 66 kξn k · kξ̃m − ξk + kξn − ξk · kξk.В силу условия kξn − ξk2 → 0 для любого ε > 0 найдётся номер N1 такой, чтоεkξn − ξk 6при n > N1 .2kξkДалее, по лемме 5.6 найдётся C > 0 такое, что kξn k 6 C для всех n.

Тогда длялюбого ε > 0 найдётся номер N2 такой, чтоεпри m > N2 .kξ̃m − ξk 62CОбъединяя полученные неравенства получаем, что для любого ε > 0 найдётся номерN = max(N1 , N2 ) такой, что(ξn , ξ̃m ) − (ξ, ξ) 6 ε при n, m > N.(5.3)Лемма доказана.Теперь докажем в некотором смысле обратное утверждение.Лемма 5.9. Если (ξn , ξm ) → A при n, m → ∞, где A – некоторое комплексноечисло, то последовательность {ξn } имеет предел.Доказательство. Заменим в соотношении (5.3) (ξ, ξ) на A и положим ξ˜m = ξmдля всех m = 1, 2, . . . .

Получим для любого ε > 0(ξn , ξm ) − A 6 ε при n, m > N (ε).Отсюда (при m = n) kξn k2 → A при n → ∞ и видно, что число A с необходимостьюдействительное. Следовательно,kξn − ξm k2 = kξn k2 − (ξn , ξm ) − (ξn , ξm ) + kξm k2 → A − A − A + A = 0,n, m → ∞;это означает, что последовательность {ξn } фундаментальна, поэтому имеет предел.Лемма доказана.Теперь мы обрели необходимый математический инструмент для исследованияслучайных процессов.Рассмотрим комплекснозначный случайный процесс ξ(t) = ξRe (t) + iξIm (t), t ∈ R.Назовём такой процесс гильбертовым, если для любого t ∈ R сечение ξ(t) ∈ H, т.

е.M ξ(t) = 0 и M |ξ(t)|2 < ∞ при всех t ∈ R. Если использовать структуру пространства H, то для ковариационной функции такого процесса мы можем записатьR(t, s) = cov(ξ(t), ξ(s)) = M ξ(t)ξ(s) = (ξ(t), ξ(s)),t, s ∈ R.Далее, если иное не оговорено особо, мы рассматриваем гильбертовы случайныепроцессы.49Непрерывность в среднем квадратичном.Определение 5.1.

Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, называется непрерывнымв среднем квадратичном (с.к.-непрерывным) в точке t, если M |ξ(t + h) − ξ(t)|2 → 0при h → 0, или, другими словами, для любой последовательности {hn } ⊂ R, сходящейся к нулю,M |ξ(t + hn ) − ξ(t)|2 = kξ(t + hn ) − ξ(t)k2 → 0n → ∞.при(5.4)Далее мы свяжем с.к.-непрерывность с непрерывностью функции R( · ). Напомним, R( · ) как функция двух действительных переменных непрерывна в точке (t, s),еслиR(t + hn , s + h̃m ) − R(t, s) → 0 при hn → 0, h̃m → 0(здесь сходящиеся к нулю последовательности {hn } и {h̃m } произвольны).Теорема 5.2.

Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, с.к.-непрерывен в точке t тогдаи только тогда, когда функция R( · ) непрерывна в точке (t, t).Доказательство. Выберем произвольным образом сходящиеся к нулю последовательности {hn } и {h̃m } и положим ξn = ξ(t + hn ), ξ̃m = ξ(t + h̃m ) и ξ = ξ(t).Если случайный процесс с.к.-непрерывен в точке t, то независимо от выбора последовательностей {hn } и {h̃m } мы имеем kξn − ξk2 → 0 при n → ∞ и kξ̃m − ξk2 → 0при m → ∞.

В силу леммы 5.8R(t + hn , t + h̃m ) = (ξn , ξ̃m ) → (ξ, ξ) = R(t, s) приn, m → ∞.Наоборот, если для любых сходящихся к нулю последовательностей {hn } и {h̃m }R(t + hn , t + h̃m ) − R(t, t) → 0 при n, m → ∞,то (при h̃m = hm для всех m)kξn k2 = (ξn , ξn ) = R(t + hn , t + hn ) → R(t, t) = (ξ, ξ) = kξk2приn → ∞,а также (при h̃m = 0 для всех m)(ξn , ξ) = R(t + hn , t) → R(t, t) = kξk2приn → ∞,Отсюдаkξn − ξk2 = kξn k2 − (ξn , ξ) − (ξn , ξ) + kξk2 → kξk2 − kξk2 − kξk2 + kξk2 = 0,другими словами, M |ξ(t + hn ) − ξ(t)|2 → 0 для любой сходящейся к нулю последовательности {hn }.Замечание 5.7. Если функция R( · ) непрерывна в точках (t, t) и (s, s), то онанепрерывна в точке (t, s).

Характеристики

Список файлов лекций