Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Чтобы это показать, выберем произвольные сходящиесяк нулю последовательности {hn } и {h̃m } и положим ξn = ξ(t + hn ), η̃m = ξ(s + h̃m )и ξ = ξ(t), η = ξ(s). Тогда kξn − ξk2 → 0 и kη̃m − ηk2 → 0, следовательно (см.аналогичные выкладки в доказательстве леммы 5.8), R(t + hn , s + h̃m ) − R(t, s) = (ξn , η̃m ) − (ξ, η) 6 6 (ξn , η̃m − η) + (ξn − ξ, η) 6 kξn k · kη̃m − ηk + kξn − ξk · kηk → 0при n, m → ∞.50Дифференцируемость в среднем квадратичном.Определение 5.2. Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, называется дифференцируемым в среднем квадратичном (с.к.-дифференцируемым) в точке t, если существуетслучайная величина ξ̇ = ξ̇(t) ∈ H такая, что2 2 ξ(t + h) − ξ(t) ξ(t + h) − ξ(t)˙M(5.5)− ξ̇(t) = − ξ(t) → 0 при h → 0,hhили, другими словами, для любой последовательности {hn } ⊂ R, сходящейся к нулю, последовательность ξ(t+hhnn)−ξ(t) , n = 1, 2, .
. . , сходится в среднем квадратичномсмысле к некоторой случайной величине.Далее мы свяжем с.к.-дифференцируемость с дифференцируемостью функцииR( · ), точнее, с существованием её второй смешанной производной, которую мы2R(t,s)определим так. Введём разностное отношение для ∂ ∂s∂t :∂R(t, s)R(t + h, s) − R(t, s)≈,∂th∂R(t, s + h̃)/∂t − ∂R(t, s)/∂t∂ ∂R(t, s)≈=∂s ∂th̃R(t + h, s + h̃) − R(t, s + h̃) − R(t + h, s) + R(t, s).=hh̃Будем говорить, что R( · ) имеет вторую смешанную производную3) в точке (t, s),если для любых сходящихся к нулю последовательностей {hn } и {h̃m } существуетR(t + hn , s + h̃m ) − R(t, s + h̃m ) − R(t + hn , s) + R(t, s) def ∂ 2 R(t, s)==.
(5.6)n,m→∞∂s ∂thn h̃mlimТеорема 5.3. Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, с.к.-непрерывен в точке t тогдаи только тогда, когда функция R( · ) имеет вторую смешанную производную в точке (t, t).Доказательство. Выберем произвольные сходящиеся к нулю последовательности {hn } и {h̃m } и положим, как и выше, ξn = ξ(t + hn ), ξ̃m = ξ(t + h̃m ) и ξ = ξ(t).Кроме того, введём для краткости обозначенияR(t + hn , t + h̃m ) − R(t, t + h̃m ) − R(t + hn , t) + R(t, t),hn h̃mξ(t + hn ) − ξ(t)em = ξ(t + h̃m ) − ξ(t) .,DDn =hnh̃m(2)Dn,m(t, t) =(5.7)В этих обозначениях(2)Dn,m(t, t) =(ξn , ξ̃m ) − (ξ, ξ̃m) − (ξn , ξ) + (ξ, ξ)hn h̃m3) Заметим,=что это определение несколько отличается от определения в математическом анализе, в частности, из нашего определения непосредственно вытекает, что если существует одна изсмешанных производных, то существует и другая, причём обе производные, конечно, совпадают.51=и(ξn − ξ, ξ̃m) − (ξn − ξ, ξ)hn h̃m=ξn − ξ ξ̃m − ξ,hnh̃m2 ξ(t + hn ) − ξ(t)− ξ̇(t) = kDn − ξ̇k2 ,Mhnem )= (Dn , D(5.8)˙ξ˙ = ξ(t).Таким образом, если ξ(t), t ∈ R, с.к.-дифференцируем в точке t, то для любыхсходящихся к нулю последовательностей {hn } и {h̃m } мы имеем сходимостиem − ξ̇k2 → 0.kDkDn − ξ̇k2 → 0,(2)В силу леммы 5.8 с учётом выражения для Dn,m (t, t) в (5.7) отсюда следует, что(2)em ) → (ξ̇, ξ̇)Dn,m(t, t) = (Dn , Dприn, m → ∞,таким образом, существует∂ 2 R(t, t)= (ξ̇, ξ̇) = M ξ̇(t)ξ̇(t).∂s ∂t(5.9)Наоборот, если для любых сходящихся к нулю последовательностей {hn } и {h̃m }2(2)em ) → ∂ R(t, t)Dn,m(t, t) = (Dn , D∂s ∂tприn, m → ∞,(5.10)приn → ∞.(5.11)то (при h̃m = hm для всех m) мы получаемkDn k2 = (Dn , Dn ) →∂ 2 R(t, t)∂s ∂tПри этомkDn − Dm k2 = kDn k2 − (Dn , Dm ) − (Dn , Dm ) + kDm k2 .(5.12)Видно, что каждое слагаемое в правой части этого равенства при n, m → ∞ стре2R(t,t)мится к ∂ ∂s(эта величина действительна в силу (5.11)).
Поэтому последова∂tтельность {Dn }n=1,∞ фундаментальна, следовательно, имеет предел. Осталось показать, что этот предел не зависит от выбора последовательности {Dn }n=1,∞ .Выберем две сходящиеся к нулю последовательности {hn } и {h̃m }. Тогда на основании проведённых выше рассуждений мы можем заключить, что существуют˜em → ξ̇˜некоторые случайные величины ξ̇, ξ̇ ∈ H такие, что Dn → ξ̇ при n → ∞ и Dпри m → ∞. При этом в силу соотношений, полностью аналогичных (5.12) (с замеem ), и с учётом (5.10) получаем, чтоной Dm на DОтсюдаe m k2 → 0kDn − Dприn, m → ∞.˜˙ 2˜2em k2 + 2kDem − ξ̇kkξ˙ − ξk6 2kξ̇ − Dn k2 + 2kDn − D→0приn, m → ∞,˜˜а это возможно, если и только если kξ̇ − ξ̇k2 = 0, т. е. ξ˙ = ξ˙ с вероятностью единица.52Замечание 5.8.
Можно показать, что если функция R( · ) имеет вторую смешанную производную в точках (t, t) и (s, s), то она имеет вторую смешанную производную в точке (t, s). Для этого достаточно доказать фундаментальность двухиндексной числовой последовательности(2)(t, s) =Dn,mR(t + hn , s + h̃m ) − R(t, s + h̃m ) − R(t + hn , s) + R(t, s)hn h̃m, n, m = 1, 2, . .
. ,при hn → 0, h̃m → 0. Формулы, которые при этом используются, хотя и несложные, но достаточно громоздкие, поэтому мы не будем приводить доказательствосделанного утверждения.Интегрируемость в среднем квадратичном. Рассмотрим проблему интегрируемости случайного процесса на отрезке [a, b].
Для построения интегральных сумм рассмотрим два набора выборочных точек t0 , t1 , . . . , tn и точек разбиенияt∗0 , t∗1 , . . . , t∗n , удовлетворяющих следующим условиям:a = t0 < t1 < · · · < tn = b,tk−1 6t∗kmax ∆tk → 0при16k6n6 tk ,n → ∞,(5.13)k = 1, . . . , n,где ∆tk = tk − tk−1 .Введём обозначения Tn = {tk }k=0,n , {t∗k }k=1,n и Sm = {sj }j=1,m , {s∗j }j=1,m ,считая, что участвующие в Tn и Sm выборочные точки и точки разбиения всегдаудовлетворяют условиям (5.13) (разумеется, с заменой t на s и n на m для Sm ).Будем говорить, что функция R( · ) интегрируема в квадрате [a, b] × [a, b], еслидля любых Tn и Sm , удовлетворяющих условиям (5.13),defIn,m ==n XmXR(t∗k , s∗j )∆tk ∆sjk=1 j=1−→′n,m →∞defI ==ZbaZbR(t, s) dt ds.(5.14)aОпределение 5.3.
Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, называется интегрируемымв среднем квадратичном (с.к.-интегрируемым) на отрезке [a, b], если существуетслучайная величина Υ ∈ H такая, что для любого разбиения Tn , удовлетворяющегоусловиям (5.13),22 n nX ∗X ∗ξ(tk )∆tk − Υξ(tk )∆tk − Υ = M → 0 приk=1k=1n → ∞.(5.15)Теорема 5.4. Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, с.к.-интегрируем на отрезке [a, b]тогда и только тогда, когда функция R( · ) интегрируема в квадрате [a, b] × [a, b].Доказательство.
Выберем произвольно два разбиения Tn и Sm отрезка [a, b],удовлетворяющих условиям (5.13), и положим ξ(t∗k ) = ξk∗ и ξ̃(s∗j ) = ξ̃j∗ , а такжевведем обозначенияΥn =nXξk∗ ∆tk ,k=153em =ΥmXj=1ξ̃j∗ ∆sj .В этих обозначенияхIn,m ==n XmXk=1 j=1n XmXR(t∗k , s∗j )∆tk ∆sj =n XmXM ξ(t∗k )ξ(s∗j )∆tk ∆sj =k=1 j=1(ξk∗ , ξ̃j∗ )∆tk ∆sjk=1 j=1=Xnξk∗ ∆tk ,k=1mXξ̃j∗ ∆sjj=1e m ).= (Υn , ΥПри этом условие с.к.-интегрируемости процесса ξ(t), t ∈ R, записывается какM |Υn − Υ|2 = kΥn − Υk2 → 0 приn → ∞,причём независимо от выбора разбиения Tn . Другими словами, если процесс с.к.e m → Υ для любых Tn и Sm , удовлетворяющих условиинтегрируем, то Υn → Υ и Υям (5.13).Дальнейшие рассуждения с точностью до замены обозначений повторяют доказательство предыдущей теоремы.Видно, что по лемме 5.8 с.к.-интегрируемость процесса ξ(t), t ∈ R, влечёт сходимость In,m → (Υ, Υ) при n, m → ∞. Таким образом, существуетZbaZbR(t, s) dt ds = (Υ, Υ).aНаоборот, если для любых двух разбиений Tn и Sm отрезка [a, b], удовлетворяe m ) → I при n, m → ∞, то (при Sn ≡ Tn ) мыющих условиям (5.13), In,m = (Υn , ΥполучаемIn,n = (Υn , Υm ) = kΥn k2 → I при n → ∞.ОтсюдаkΥn − Υm k2 = kΥn k2 − (Υn , Υm ) − (Υn , Υm ) + kΥm k2−→n,m′ →∞0.(5.16)Таким образом, последовательность {Υn }n=1,∞ фундаментальна, следовательно,имеет предел.
Осталось показать, что этот предел не зависит от выбора разбиения Tn .Выберем какие-либо два разбиения Tn и Tem отрезка [a, b], удовлетворяющих услоe n из (5.15) удоввиям (5.13). Тогда соответствующие им интегральные суммы Υn и Υem → Υe при m → ∞. При этом в силулетворяют условиям Υn → Υ при n → ∞ и Υe m ) получаем, чтосоотношений, полностью аналогичных (5.16) (с заменой Υm на ΥОтсюдаe m k2 → 0 приkΥn − Υn, m → ∞.e 2 6 2kΥ − Υn k2 + 2kΥn − Υe m k2 + 2kΥe m − Υke 2→0kΥ − Υkприn, m → ∞,e 2 = 0, т.
е. Υ = Υe с вероятностью единица.а это возможно, если и только если kΥ− Υk54Случай ненулевого математического ожидания случайного процесса.Обобщим полученные теоремы на случай, когда M ξ(t) = µ(t) 6≡ 0, сохранив условиеM |ξ(t) − µ(t)|2 < ∞ для всех t ∈ R. Положим ξ ◦ (t) = ξ(t) − µ(t), тогда ξ ◦ (t) ∈ H длявсех t ∈ R и, очевидно,R(t, s) = cov(ξ(t), ξ(s)) = M ξ ◦ (t)ξ ◦ (s) = (ξ ◦ (t), ξ ◦ (s)) = cov(ξ ◦ (t), ξ ◦ (s)) = R◦ (t, s),где R◦ ( · ) – ковариационная функция процесса ξ ◦ (t), t ∈ R.Новые теоремы достаточно просто получаются из предыдущих, если принять вовнимание следующие два замечания.Замечание 5.9.
Пусть последовательность {ξn◦ } ⊂ H (в частности, M ξ ◦ = 0 длявсех n), а {µn } – произвольная неслучайная последовательность комплексных чисел.ТогдаM |ξn◦ + µn |2 = M |ξn◦ |2 + µn · M ξn◦ + µn · M ξn◦ + |µn |2 = M |ξn◦ |2 + |µn |2 ,с.к.отсюда M |ξn◦ + µn |2 → 0 если и только если ξn◦ −→ 0 и µn → 0 при n → ∞.Замечание 5.10. Для любой случайной величины α место тривиальная цепочканеравенствp(5.17)|M α| 6 M |α| 6 M |α|2 ,где последнее эквивалентно тривиальному неравенству D|α| = M |α|2 − (M |α|)2 > 0.с.к.На основании (5.17) мы можем утверждать, что если ξn −→ ξ, тоn→∞|M ξn − M ξ| = |M (ξn − ξ)| 6pM |ξn − ξ|2 → 0 приn → ∞,другими словами, M ξn → M ξ.
Кроме того, из (5.17) вытекает, что если M |ξ|2 < ∞,то M ξ тоже существует и |M ξ|2 6 M |ξ|2.Исследуем с.к.-непрерывность случайного процесса. В силу сделанного выше замечания мы можем переписать приращение в (5.4) какM |ξ(t + hn ) − ξ(t)|2 = M |ξ ◦ (t + hn ) − ξ ◦ (t) + (µ(t + hn ) − µ(t)|2 == M |ξ ◦ (t + hn ) − ξ ◦ (t)|2 + |µ(t + hn ) − µ(t)|2 .с.к.Отсюда ξ(t + hn ) −→ ξ(t) тогда и только тогда, когда выполнются два условия:с.к.• ξ(t + h◦n ) −→ ξ ◦ (t),• µ(t + hn ) → µ(t) при n → ∞.Таким образом, в силу совпадения ковариационных функций R( · ) и R◦ ( · ) мы получаем обобщение доказанной теоремы 5.2.Теорема 5.5.
Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, с ненулевым математическиможиданием µ(t), t ∈ R, с.к.-непрерывен в точке t тогда и только тогда, когдавыполнены следующие два условия: функция R( · ) непрерывна в точке (t, t) и функция µ( · ) непрерывна в точке t.55Для с.к.-дифференцируемости рассуждения аналогичны, но немного сложнее.Введём дифференциальные отношенияDn =ξ(t + hn ) − ξ(t),hnDn◦ =ξ ◦ (t + hn ) − ξ ◦ (t),hnDMn =µ(t + hn ) − µ(t).hn◦Тогда Dn − Dm = Dn◦ − Dm+ DMn − DMm и◦ 2M |Dn − Dm |2 = M |Dn◦ − Dm| + |DMn − DMm |2 .В результате последовательность {Dn } с.к.-фундаментальна (или, что эквивалентно, сходится) тогда и только тогда, когда выполнены оба условия: последовательность {Dn◦ } с.к.-фундаментальна (сходится) и числовая последовательность {µn }фундаментальна (сходится). Таким образом мы получаем обобщение доказаннойтеоремы 5.3.Теорема 5.6. Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, с ненулевым математическиможиданием µ(t), t ∈ R, с.к.-непрерывен в точке t тогда и только тогда, когдавыполнены следующие два условия: функция R( · ) имеет вторую смешанную производную в точке (t, t) и функция µ( · ) дифференцируема в точке t.При этом операции взятия с.к.-производной и вычисления математического ожидания можно менять местами:M ξ̇(t) =dM ξ(t).dtс.к.Действительно, если Dn −→ ξ˙ при hn → 0, то в силу замечания 5.10 M Dn → M ξ̇,следовательно,M ξ̇(t) = lim M Dn = lim Mn→∞n→∞ξ(t + hn ) − ξ(t)µ(t + hn ) − µ(t)= lim= µ̇(t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
