Наброски лекций. 2017 (1134111)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССАПусть (Ω, F , P ) – некоторое вероятностное пространство. Пусть T – подмножестводействительной прямой.Определение1.1. Случайным процессом называется семейство случайных величин ξ(ω, t), ω ∈ Ω, t ∈ T}.Как обычно в теории вероятностей, мы будем опускать зависимость от элементарного исхода и писать ξ(t) вместо ξ(ω, t), если эта зависимость не является существенной для наших рассуждений.Как правило, полагают, что T = {t > 0}, и в этом случае параметру t можно придать смысл времени.

Однако природа множества T может быть и другой.Конечное множество T = {t1 , . . . , tn } приводит нас к понятию n-мерной случайнойвеличины ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), ξk = ξ(tk ), и тем самым мы возвращаемся в рамки теориивероятностей. Таким образом, естественно полагать, что множество T бесконечно.Если множество T счётно, T = {t1 , . . . , tn , . .

.}, то случайный процесс ξ(t) называется процессом с дискретным временем, или случайной последовательностью. Длямногих физических моделей характерно, что множество T лежит не на числовойпрямой, а в многомерном пространстве, например в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. Определение 1.1 в этом случае остаётся без изменений, а случайный процесс ξ(t) как правило называют случайным полем, или случайной функцией.

Поскольку математические основы теории случайных процессов практическине зависят от того, какова размерность множества T, далее мы будем считать, чтопараметр t – действительное число, более того, выбирать в качестве множества Tсчётное множество {t1 , . . . , tn , . .

.}, или множество R+ = {t > 0}, или конечныйинтервал [0, T ], 0 < T < ∞.Другим направлением обобщений определения 1.1 является изменение размерности пространства значений функции ξ( · , t), заданной на множестве элементарныхисходов Ω: мы можем полагать, что ξ(ω, t) – точка не на числовой прямой, а в многомерном пространстве. Особенно часто рассматриваются случайные процессы созначениями на комплексной плоскости. В этом случаеξ(t) = ξ Re (t) + iξ Im (t) = ρ(t)eiϕ(t) ,(1.1)где ξ Re (t), ξ Im (t), ρ(t), ϕ(t) для каждого фиксированного t ∈ T суть случайныевеличины, заданные на Ω, в их стандартном понимании. Далее, ввиду особой важности комплекснозначных (обычно для краткости говорят просто «комплексных»)случайных процессов в физике, при формулировке определений и теорем мы, еслиэто необходимо, будем специально оговаривать, о каком процессе, действительномили комплексном, идёт речь.Введем некоторые термины.Определение 1.2.

Пусть значение параметра t ∈ T фиксировано. Случайнаявеличина ξt (ω) = ξ(t, ω), ω ∈ Ω, называется сечением случайного процесса в точке t.Пусть элементарный исход ω ∈ Ω фиксирован. Тогда числовая (действительноили комплекснозначная) функция ξω (t), t ∈ T, есть траектория (говорят такжереализация, или выборочная функция) случайного процесса.1Обратим внимание на то, что мы обозначаем фиксированные аргументы t ∈ Tили ω ∈ Ω нижними индексами, чтобы отличать соответственно случайные величины или неслучайные числовые функции от случайного процесса. Мы, как обычно,будем далее опускать зависимость от ω в сечении ξt случайного процесса.Примем ещё одно соглашение об обозначениях.

Мы будем часто обозначать через ξ(t) и сечение, и сам случайный процесс, просто оговаривая (если есть рискнепонимания природы ξ(t) в каждом конкретном случае), о чём идёт речь; для случайных процессов мы также часто будем указывать, что t не фиксировано, а пробегает некое множество, т. е. писать ξ(t), t ∈ T.Пример 1.1. Пусть случайный процесс задан формулами (ниже α – случайнаявеличина)1ξ(t) = tα ,P (α = 1) = P (α = −1) = ,t > 0.2Определить, как выглядят сечения и траектории данного случайного процесса.Решение. Фиксируем t > 0, получаем дискретную случайную величину ξt , равновероятно принимающую два значения:P (ξt = t) = P (ξt = t−1 ) =1.2Различные сечения случайного процесса суть случайные величины, имеющие распределения, сосредоточенные в двух точках, эти точки зависят от того, какое значение t > 0 фиксировано. Заметим, что при t = 1 данная случайная величинапринимает значение 1 с вероятностью единица, т.

е. не является случайной.Теперь фиксируем элементарный исход ω, другими словами, фиксируем значениеслучайной величины α = α(ω). Если элементарный исход ω таков, что α(ω) = 1,то ξω (t) = t, и траектория случайного процесса представляет собой прямую линию.Если же α(ω) = −1, то ξω (t) = 1/t, и траектория случайного процесса – гипербола(оба варианта траектории заданы при t > 0).Отметим также, что данный случайный процесс по сути не является случайным:если в какой-либо момент времени мы находись на траектории, скажем, ξ(t) = t,то мы можем с достоверностью утверждать, что во все последующие и предыдущиемоменты времени мы этой траектории не покинем.

Случайным является тольковыбор траектории в начальный момент времени.1.1. Конечномерные распределения случайного процесса.Определение 1.3. Пусть ξ(t), t ∈ T, – действительный случайный процесс. За(n)дадим функцию Fξ : (R ⊗ T)n 7→ R равенством(n)Fξ (x1 , t1 ; . .

. ; xn , tn ) = P (ξ(t1 ) < x1 , . . . , ξ(tn) < xn ),x1 , . . . , xn ∈ R,t1 , . . . , tn ∈ T,(n)n = 1, 2, . . . .(1.2)Функция Fξ ( · ) называется n-мерной функцией распределения случайного процесса ξ(t).2По сути n-мерная функция распределения случайного процесса ξ(t) – это совместная функция распределения n случайных величин ξt1 , .

. . , ξtn , однако она рассматривается как функция 2n аргументов:• n аргументов x1 , . . . , xn , каждый из которых произвольно меняется на действительной прямой (эти аргументы по своему смыслу полностью идентичны аргументам обычной совместной функции распределения n случайных величин);• n аргументов t1 , . . . , tn , каждый из которых выбирается произвольно в множестве T (эти аргументы для совместной функции распределения n случайных величинявляются параметрами).Значения функции распределения, как и любая другая вероятность, лежат в отрезке [0, 1].На практике чрезвычайно редко используются n-мерные функции распределения при n > 2, т.

е. рассматриваются исключительно одно- и двумерные функциираспределения.Непосредственно из определения (1.2) следует, что n-мерная функция распределения должна удовлетворять следующему условию: если {k1 , . . . , kn } – произвольнаяперестановка множества индексов {1, . . . , n}, тоF (xk1 , tk1 ; . . . ; xkn , tkn ) ≡ F (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn );(1.3)например, F (x1 , t1 ; x2 , t2 ) = F (x2 , t2 ; x1 , t1 ) для всех x1,2 ∈ R, t1,2 ∈ T.Из свойств совместной функции распределения случайных величин вытекаютследующие свойства n-мерной функций распределения случайного процесса. Выберем произвольным образом все аргументы xk , кроме одного, например xn (каквытекает из предыдущего свойства, номер выделенного аргумента несуществен),и зафиксируем их. Также выберем произвольно и зафиксируем t1 , . .

. tn ∈ Tn . Тогдаn-мерная функцию распределения F (n) ( · ) как функция одной переменной xn ∈ Rнепрерывна слева в каждой точке xn = a,F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn , tn )x →a−0 = F (n) (x1 , t1 ; . . . , a, tn );(1.4)nне убывает,F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) 6 F (n) (x1 , t1 ; .

. . , x̃n , tn ),xn 6 x̃n ;удовлетворяет двум предельным свойствам (во втором, разумеется, n > 1)F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn−1 , tn−1 ; xn , tn )x →−∞ = 0, n(n)F (x1 , t1 ; . . . , xn−1 , tn−1 ; xn , tn )x →+∞ = F (n−1) (x1 , t1 ; . . . , xn−1 , tn−1 ),n(1.5)(1.6)(1.7)где F (n−1) ( · ) – (n − 1)-мерная функция распределения случайного процесса. Напомним, что свойства (1.4)–(1.7) верны при любых фиксированных x1 , . . .

, xn−1 ∈ Rи t1 , . . . , tn ∈ T. Если же мы «отпустим» все x-переменные и устремим их к +∞, тоt1 , . . . , tn ∈ T.(1.8)F (n) (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) x1 →+∞ = 1,············xn →+∞Оказывается, что свойства (1.4)–(1.8) не только необходимы, но и достаточны длятого, чтобы функции F (n) ( · ) : (R ⊗ T)n 7→ R, n = 1, 2, . . . , были конечномернымифункциями распределения некоторого случайного процесса (теорема Колмогорова).3Для комплексных случайных процессов (1.1), заданных как ξ(t) = ξ Re (t) + iξ Im (t)или как ξ(t) = ρ(t)eiϕ(t) , также можно определить n-мерную функцию распределения.

Это будет функция, заданная как совместная функция распределения 2n случайных величинξ Re (t1 ), . . . , ξ Re (tn ), ξ Im (t1 ), . . . , ξ Im (tn )илиρ(t1 ), . . . ρ(tn ), ϕ(t1 ), . . . , ϕ(tn )в зависимости от формы представления комплексного случайного процесса. Свойства (1.4)–(1.8) сохраняют свою силу за исключением того, что перестановка в (1.3),разумеется, должна производиться согласованно в каждом из n наборов аргументов.Приведем для пояснения этого замечания аналог равенстваF (x1 , t1 ; x2 , t2 ) = F (x2 , t2 ; x1 , t1 )для процесса ξ(t) = ξ Re (t) + iξ Im (t):F (x1 , y1 , t1 ; x2 , y2 , t2 ) = F (x2 , y2 , t2 ; x1 , y1 , t1 ),где аргументы функции распределения сгруппированы по три в соответствии с определениемF (x1 , y1 , t1 ; x2 , y2 , t2 ) = P (ξ Re (t1 ) < x1 , ξ Im(t1 ) < y1 ; ξ Re (t2 ) < x2 , ξ Im (t2 ) < y2 ).Далее мы часто будем использовать сокращённые обозначения.

Во-первых, вместо x1 , . . . , xn мы будем писать просто x и аналогично введем многомерную переменную t (размерность этих переменных обязательно равна размерности функциираспределения). Во-вторых, мы часто будем опускать нижний индекс ξ в обозна(n)чении Fξ ( · ), а также, если мы говорим о функции конкретного фиксированногопорядка, не будем писать и верхний индекс, используя для всех функций распредедения общее обозначение F ( · ):F (x, t) = P (ξ(t) < x),F (x, t) = P (ξ(t1 ) < x1 , ξ(t2 ) < x2 ),x ∈ R,2t ∈ T,x = (x1 , x2 ) ∈ R , t = (t1 , t2 ) ∈ T2 .(1.9)Примем ещё одно соглашение. Пусть x = (x1 , . . . , xn ) и t = (t1 , . .

. , tn ) – многомерные переменные. Неравенство x 6 ξ(t) < x + dx будем понимать как одновременноевыполнение неравенств вида xk 6 ξ(tk ) < x1 + dxk :x 6 ξ(t) < x + dx ⇐⇒ x1 6 ξ(t1 ) < x1 + dx1 , . . . , xn 6 ξ(tn ) < xn + dxn .При этом, очевидно, P (x 6 ξ(t) < x + dx) = F (x + dx, t) − F (x, t) = dx F (x, t), гдеF ( · ) – n-мерная функция распределения случайного процесса, dx F – её дифференциал (приращение) по многомерной переменной x.Определение 1.4.

Пусть ξ(t), t ∈ T, – действительный случайный процесс. Ес(n)ли приращение n-мерной функции распределения Fξ ( · ) по переменной x при любых x ∈ Rn и t ∈ Tn имеет вид(n)(n)(n)Fξ (x + dx, t) − Fξ (x, t) = pξ (x, t) dx,x ∈ Rn ,t ∈ Tn ,(1.10)то говорят, что случайный процесс ξ(t), t ∈ T, имеет n-мерную плотность распре(n)деления pξ ( · ). Напомним, что dx = dx1 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций