Главная » Просмотр файлов » Наброски лекций. 2017

Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 5

Файл №1134111 Наброски лекций. 2017 (Наброски лекций. 2017) 5 страницаНаброски лекций. 2017 (1134111) страница 52019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

, tn−1 + ∆tn−1 < tn , то мыимеем аналогично (2.21)P (t1 6 τ1 < t1 + ∆t1 , t2 6 τ2 < t2 + ∆t2 , . . . , tn 6 τn < tn + ∆tn ) == P (ξ(t1 ) = 0) · P (∆ξ(∆t1 ) = 1) · P (∆ξ(t2 − t1 − ∆t1 ) = 0) ×× P (∆ξ(∆t2 ) = 1) · P (∆ξ(t3 − t2 − ∆t2 ) = 0) × · · ·· · · × P (∆ξ(∆tn−1 ) = 1) · P (∆ξ(tn − tn−1 − ∆tn−1 ) = 0) · P (∆ξ(∆tn ) > 1).Как и выше, первый порядок малости по ∆tn дают P (∆ξ(∆tk ) = 1), поэтомуP (∆ξ(tn − tn−1 − ∆tn−1 ) = 0) мы заменяем на e−λ(tn −tn−1 ) , собираем показателиэкспонент и получаем ответ:(λn e−λtn при t1 < t2 < · · · < tn ,pτ1,τ2,...,τ2(t1 , t2 , . . .

, tn ) =(2.23)0при прочих t1 , t2 , . . . , tn .Хотя создаётся впечатление, что плотность распределения (2.23) зависит толькоот «старшего» времени tn , на самом деле это не так: зависимость от остальныхвремён содержится в условии t1 < t2 < · · · < tn , ограничивающих область ненулевыхзначений плотности.Пример 2.6.

Показать, что промежутки времени ∆τk = τk − τk−1 (считаем, чтоτ0 = 0 с вероятностью единица и, следовательно, ∆τ1 = τ1 ) между последовательными моментами поступления требований в пуассоновом потоке независимы привсех k = 1, 2, . . . , n для любого n > 1 и каждая из случайных величин ∆τk имеетэкспоненциальное распределение, т. е. её плотность распределения имеет вид λe−λtпри t > 0.19Решение. Вновь начнём с n = 2. Пусть u1 , u2 > 0.

Имеем в силу стандартныхформул теории вероятностей и выражения (2.22) для двумерной плотности распределенияF∆τ1,∆τ2(u1 , u2 ) = P (τ1 < u1 , τ2 − τ1 < u2 ) =ZZZZ=pτ1,τ2(t1 , t2 ) dt1 dt2 =t1 <u1, t2 −t1 <u2=Zu1λ dt10Zt1 +u2t1λ2 e−λt2 dt1 dt2 =0<t1 <t2 ,t1 <u1 ,t2 −t1 <u2λ e−λt2 dt2 = (1 − e−λu2 )(1 − e−λu1 ).Видно, что F∆τ1,∆τ2(u1 , u2 ) = F∆τ1(u1 )F∆τ2(u2 ), где F∆τk(uk ) = (1 − e−λuk ), k = 1, 2,при u1 , u2 > 0.Отсюда вытекает независимость случайных величин ∆τ1 и ∆τ2 , а также, чтокаждая из них имеет плотность p∆τk (uk ) = e−λuk при uk > 0, k = 1, 2.При произвольном натуральном n > 2 имеемF∆τ1,∆τ2,...,∆τ2(u1 , u2 , .

. . , un ) = P (τ1 < u1 , τ2 − τ1 < u2 , . . . , τn − τn−1 < un ) =ZZZpτ1,τ2,...,τn(t1 , t2 , . . . tn ) dt1 dt2 . . . dtn ==···t1 <u1, t2 −t1 <u2 ,...,tn −tn−1 <unZZ=λn e−λtn dt1 dt2 . . . dtn =0<t1 <t2 <···<tn ,t1 <u1, t2 −t1 <u2 ,...,tn −tn−1 <un=Zu1λ dt1Zt1 +u2λ dt2 · · ·t10Ztn−1 +unλ e−λtn dtn .tn−1Многократный интеграл вычислить несложно: последний (внутренний) интегралравенZ tn−1 +unλ e−λtn dtn = e−λtn−1 − e−λ(tn−1 +un ) = (1 − e−λun )e−λtn−1 .tn−1Видно, что не зависящий от всех tk множитель 1 − e−λun выносится, а множительe−λtn−1 переходит в следующий интеграл:Z tn−2 +un−1λ e−λtn−1 dtn−1 = e−λtn−2 − e−λ(tn−2 +un−1 ) = (1 − e−λun−1 )e−λtn−2 .tn−2Таким образом, последовательное взятие интегралов по tn , tn−1 , . .

. t2 в конечномитоге даёт при всех uk > 0F∆τ1,∆τ2,...,∆τ2(u1 , u2 , . . . , un ) =−λun= (1 − e−λun−1)(1 − e−λu2) . . . (1 − e20)Z0u1−λt1λedt1 =nYk=1(1 − e−λuk ).Отсюда вытекает независимость случайных величин ∆τk , k = 1, 2, . . . , n, а также,что каждая из них имеет плотность p∆τk (uk ) = e−λuk при uk > 0.Замечание 2.2. Пусть случайная величина τ имеет экспоненциальное распределение, pτ (t) = λe−λt , t > 0. Найдём условную вероятность P (t 6 τ < t + s | τ > t).Имеем при t, s > 0P (t 6 τ < t + s | τ > t) =P (t 6 τ < t + s)P (t 6 τ < t + s, τ > t)=.P (τ > t)P (τ > t)Находим вероятностиP (t 6 τ < t + s) =P (τ > t) =Zt+sZt ∞λe−λu du = e−λt − e−λ(t+s) ,λe−λu du = e−λt .tОтсюда условная вероятностьe−λt − e−λ(t+s)P (t 6 τ < t + s | τ > t) == 1 − e−λs−λteне зависит от t и совпадает с P (0 6 τ < s).

Другими словами, экспоненциальное распределение не имеет «памяти»: если требование не поступило к моменту времени t,то условная вероятность того, что оно поступит в следующие s единиц временине зависит от t, т. е. от того, как долго мы ждали поступления этого требованияраньше.Пример 2.7. Пусть случайные величины α1 , α2 , . .

. независимы и имеют одинаковые математическое ожидание и дисперсию, M αj = a, Dαj = d2 . ПоложимP (α0 = 0) = 1. Определим N (t), t > 0, как процесс Пуассона с интенсивностью λ,причём любое сечение этого процесса и случайные величины α1 , α2 , . . . будем такжесчитать независимыми. Случайный процесс ξ(t) задан формулойN(t)ξ(t) =Xαj ,t > 0.j=0Найти математическое ожидание и ковариационную функцию процесса ξ(t).Решение. Возьмём полную группу событий N (t) = n, где n = 0, 1, 2, .

. . , и разложим одномерную функцию распределения процесса ξ(t) по этой полной группе:Fξ (x, t) =∞Xk=0P (ξ(t) < x | N (t) = n)P (N (t) = n) =∞Xk=0Fξ (x, t | N (t) = n)P (N (t) = n),где через Fξ ( · | N (t) = n) мы обозначили условную (при условии N (t) = n) одномерную функцию распределения случайного процесса.

Тогда математическое ожидание случайного процесса ξ(t) также разложится в сумму условных математических21ожиданий (здесь мы не приводим строгого математического обоснования законностиперестановки интеграла и суммы):Z ∞∞ Z ∞Xx dFξ (x, t | N (t) = n)P (N (t) = n) =x dFξ (x, t) =M ξ(t) =−∞=∞Xn=0n=0−∞M (ξ(t) | N (t) = n)P (N (t) = n).Далее, по условиюP (N (t) = n) =(λt)n −λten!и, самое главное,M (ξ(t) | N (t) = n) = M=M N(t)Xj=0nXXnαj N (t) = n = Mαj N (t) = n =j=0αj =j=0nXM αj = an,(2.24)j=1где при переходе от условного математического ожидания к безусловному (при переходе на вторую строку формулы) мы воспользовались независимостью случайныхвеличин N (t) и α0 , α1 , α2 .

. . . Также мы учли, что M αj = a при j > 0 и M α0 = 0.Таким образом,∞X(λt)n −λte= aλt.(2.25)M ξ(t) = an·n!n=0Здесь при вычислении суммы мы использовали тот факт, что она определяет математическое ожидание случайной величины, распределённой по Пуассону с параметром λt.Для расчёта ковариационной функции мы воспользуемся аналогичным приёмом,но теперь полная группа событий будет связана с возможными значениями двух различных сечений случайного процесса.

Кроме того, следует учесть, что приращениеN (t + s) − N (s) при t, s > 0 распределено по Пуассону и принимает неотрицательныецелые значения, следовательно, N (t + s) > N (t) с вероятностью единица. В соответствии с этим выберем полную группу событий какN (s) = m,m = 0, 1, 2, . . . ,N (t + s) = n + m,n = 0, 1, 2, .

. . .При этом в силу независимости приращений процесса N (t), t > 0,P (N (s) = m, N (t + s) = n + m) = P (N (s) − N (0) = m, N (t + s) − N (s) = n) == P (N (s) − N (0) = m) · P (N (t + s) − N (s) = n) ==(λs)m −λs (λt)n −λte·e= Ps (m)Pt (n),m!n!в правой части для краткости мы ввели обозначения для пуассоновых вероятностейPs (m) = P (N (s) = m) =(λs)m −λse,m!22Pt (n) = P (N (t) = n) = P (N (t + s) − N (s) = n) =(λt)n −λte .n!Итак, имеем по аналогии с (2.24)M ξ(s)ξ(t + s) ==∞∞ XXMm=0 n=0=∞ X∞X N(s)X=m=0 n=0αjj=0mXMm=0 n=0∞∞ XXN(t+s)j=0αjXk=0n+mXk=0Ps (m)Pt (n) ·αk N (s) = m, N (t + s) = n + m ×× P (N (s) = m, N (t + s) = n + m) =αk · Ps (m)Pt (n) =m n+mXXM αj αk .j=0 k=0Теперь найдём M αj αk .

Очевидно,(M αj · M αk , j 6= k,M αj αk =M α2k ,j = k,и (поскольку неслучайная величина α0 = 0 независима с остальными αk )((a2 + d2 , k > 0,a2 , k 6= j, k, j > 0,M α2k =M αj · M αk =0, k 6= j, k · j = 0,0,k = 0.Таким образом,m n+mXXM αj αk =j=0 k=02m n+mXXM αj αk =j=1 k=1m n+mXX(a2 + δjk d2 ) =j=1 k=1222= a · m(m + n) + d · m = a m + a2 mn + d2 m.(2.26)Теперь подставляем полученные выражения в разложение по полной группе событий. Имеем∞ X∞XmPs (m)Pt (n) =m=0 n=0∞ X∞Xm2 Ps (m)Pt (n) =m=0 n=0∞Xm=0∞Xm=0mPs (m) ·∞XPt (n) = λs,n=0∞Xm2 Ps (m) ·Pt (n) = λs + (λs)2 ,n=0где, суммируя по m, мы нашли математические ожидания случайных величин N (s)и N 2 (s), а суммируя по n, учли условие нормировки распределения случайной величины N (t + s) − N (t).

Наконец,∞ X∞Xm=0 n=0mnPs (m)Pt (n) =∞Xm=0mPs (m) ·23∞Xn=0nPt (n) = λs · λt.Собираем все полученные результаты (см. правую часть равенства (2.26)):M ξ(s)ξ(t + s) = a2 λs + (λs)2 + a2 λs · λt + d2 λs.Отсюда, принимая во внимание уже найденное математическое ожидание (2.25),получаемR(s, t + s) = M ξ(s)ξ(t + s) − M ξ(s) · M ξ(t + s) == a2 λs + (λs)2 + a2 λs · λt + d2 λs − aλs · aλ(t + s).Приведём подобные слагаемые: R(s, t + s) = λs(a2 + d2 ).

Видно, что значение ковариационной функции определяется значением меньшего из её аргументов, как этобывает у процессов с независимыми приращениями.В заключение рассмотрим процесс, в некотором роде обратный к процессу Пуассона. Пусть в составе некоторой системы имеется устройство, которое работаетв течение случайного времени τ , после чего отказывает. Непосредственно после отказа устройство мгновенно заменяют на аналогичное.

Таким образом, время работысистемы до n-го отказа есть случайная величинаSn = τ1 + · · · + τn ,(2.27)где τk – время работы k-го устройства. Мы будем считать, что случайные величины τ1 , τ2 , . . . , τn независимы при любом n и одинаково распределены. Определимслучайный процесс ξ(t), t > 0, формулойξ(t) = max{n | τ1 + · · · + τn < t},t > 0,(2.28)таким образом, ξ(t) – количество отказов, случившихся вплоть до момента времени t(на промежутке [0, t)). Процесс ξ(t) называется процессом восстановления.Пример 2.8. Пусть в случайном процессе (2.28) случайные величины имеют экспоненциальное распределение с плотностью λe−λx при x > 0.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
468,8 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее