Главная » Просмотр файлов » Наброски лекций. 2017

Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 6

Файл №1134111 Наброски лекций. 2017 (Наброски лекций. 2017) 6 страницаНаброски лекций. 2017 (1134111) страница 62019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Найти одномерноераспределение процесса (2.28).Решение. Индукцией по n покажем, что в нашем случае плотность распределения pn ( · ) случайной величины Sn (2.27) имеет видpn (x) = λ(λx)n−1 −λxe,(n − 1)!x > 0,при всехn = 1, 2, . . . .(2.29)Пусть x > 0. При n = 1 мы имеем S1 = τ1 , следовательно, по условию задачиp1 (x) = λe−λx , и начальное индукционное утверждение выполнено.Пусть для некоторого n плотность распределения случайной величины Sn имеетвид (2.29).

Тогда Sn+1 = Sn +τn+1 , причём (опять же по условию задачи) случайныевеличины Sn = τ1 + · · · + τn и τn+1 независимы. Тогда функцию распределенияслучайной величины Sn+1 можно найти стандартным образом: для x > 0ZZFn+1 (x) = P (Sn + τn+1 < x) =pSn(z)pτn+1 (u) dz du =z+y<x24=ZZz+y<xz,y>0(λz)n−1 −λz −λue·edz du =λ(n − 1)!Zx0(λz)n−1 −λzλedz(n − 1)!Zx−zλe−λu du.0Возьмём только внутренний интеграл,Z x(λz)n−1 −λzFn+1 (x) =λe(1 − e−λ(x−z) ) dz =(n−1)!0Z xZ x(λz)n−1(λz)n−1 −λz−λxλ=λedz − edz,(n − 1)!(n − 1)!00и найдём плотность распределения, дифференцируя под знаком интеграла:dFn+1 (x) =dxZ xn−1(λz)n−1(λx)n−1 −λx−λx−λx (λx)=λe− −λedz + eλ=λ(n − 1)!(n − 1)!(n − 1)!0Z xn x(λz)n−1(λx)n −λx−λx (λz) −λxdz = λe·e,x > 0.λ=λ= λe(n − 1)!n! 0n!0pn+1 (x) =Мы видим, что pn+1 ( · ) имеет вид (2.29).

Формула (2.29) доказана.Вернёмся к нашей задаче и найдём распределение произвольного сечения случайного процесса ξ(t). По аналогии с формулами, приведёнными выше, запишемP (ξ(t) = n) = P (Sn 6 t, Sn+1 > t) = P (Sn 6 t, Sn + τn+1 > t) =ZZ=pn (z)pτn+1 (u) dz du =z6t, z+y>tZZ=z6t, z+u>tz,u>0=Z0t(λz)n−1 −λzλe· λe−λu dz du =(n − 1)!Z0t(λz)n−1 −λzλedz(n − 1)!Zt(λt)n −λt(λz)n−1 −λz −λ(t−z)(λz)n −λt·e=λe·edz =e .(n − 1)!n! 0n!t−zТаким образом, ξ(t) имеет распределение Пуассона с параметром λt.25∞λe−λu du =3.

ПРОЦЕСС ВИНЕРАЭтот раздел посвящён одному из самых важных в теории случайному процессу –процессу Винера. Его математическое исследование достаточно сложное, поэтомунекоторые утверждения, сформулированные ниже, мы оставим без аккуратного математического обоснования. Заметим, однако, что большинство этих утвержденийдостаточно очевидны с точки зрения «здравого смысла».3.1.

Определение и основные характеристики процесса Винера.Определение 3.1. Случайный процесс w(t), t > 0, называется процессом Винера, если:1) его приращения независимы, т. е. для любых 0 6 t0 < t1 < · · · < tn случайныевеличины w(tk ) − w(tk−1 ), k = 1, . . . , n, независимы в совокупности;2) процесс однороден во времени, т. е. распределение приращения w(s + t) − w(s)для t, s > 0 зависит только от t и не зависит от s;3) распределение приращения w(s + t) − w(s) является нормальным с нулевымсредним и дисперсией σ 2 t (здесь σ 2 – положительная постоянная), т.

е. плотностьраспределения случайной величины ∆w(t) = w(s + t) − w(s) имеет вид√1x22πσ 2 te− 2σ2 t ,−∞ < x < ∞,t > 0;4) процесс начинается в нуле: P (w(0) = 0) = 1.Непосредственно из определения вытекает, что сечение w(t) = w(t) − w(0) процесса Винера распределено нормально, одномерная плотность распределения естьp(x, t) = √12πσ 2 tx2e− 2σ2 t ,−∞ < x < ∞,t > 0.Математическое ожидание M w(t) = 0, дисперсия Dw(t) = σ 2 t, а ковариационнаяфункция Rw (t, s) = σ 2 min(t, s), как это следует из общей формулы для однородныхпроцессов с независимыми приращениями.Найдём n-мерную плотность распределения. Пусть 0 = t0 < t1 < · · · < tn .Выразим сечения w(tk ) через приращения ∆wk = w(tk ) − w(tk−1 ), k = 1, .

. . , n:w(t1 ) = w(t1 ) − w(0) = ∆w1 ,w(t2 ) = w(t2 ) − w(t1 ) + w(t1 ) − w(t0 ) = ∆w1 + ∆w2 ,....................................,(3.1)w(tn ) = w(tn ) − w(tn−1 ) + · · · + w(t1 ) − w(0) = ∆w1 + · · · + ∆wn .Тогда n-мерную функцию распределения можно найти по следующим формулам:defF (x1 , t1 ; x2 , t2 . . . , xn , tn ) == P (w(t1 ) < x1 , . . .

, w(tn ) < xn ) == P (∆w1 < x1 , . . . , ∆w1 + · · · + ∆wn < xn ) =ZZ=...p1 (z1 ) . . . pn (zn ) dx1 . . . dxn ,z1 <x1 ,.........,z1 +···+zn <xn26где мы учли, что случайные величины ∆w1 , . . . , ∆wn независимы, и ввели для краткости обозначение pk ( · ) для плотности распределения приращения ∆wk ,pk (z) = p212πσ 2 (tk− 2σ 2 (t z−t− tk−1 )ekk−1 ),−∞ < z < ∞.Совершим в n-кратном интеграле линейную замену переменных, которая упрощаетвид области интегрирования:y1 = z1 ,y2 = z1 + z2 ,...,z1 = y1 ,z2 = y2 − y1 ,...,yn = z1 + · · · + z1 ,zn = yn − yn−1 .Якобиан перехода при такой замене переменных равен единице. Введём для однообразия формул y0 = 0, тогда zk = ∆yk = yk − yk−1 для всех k = 1, . . . , n (нашазамена в точности повторяет переход от приращений к сечениям, заданный в (3.1)).В результате получимZZZZ...p1 (z1 ) .

. . pn (zn ) dx1 . . . dxn =...p1 (∆y1 ) . . . pn (∆yn ) dy1 . . . dyn .z1 <x1 ,.........,z1 +···+zn <xny1 <x1 ,...,yn <xnВозвращаясь к исходному равенству, имеемZ x1Z xnF (x1 , t1 ; x2 , t2 . . . , xn , tn ) =...p1 (∆y1 ) . . . pn (∆yn ) dy1 . . . dyn ,−∞−∞таким образом, получаем n-мерную плотность (мы, как обычно положили x0 = 0)p(x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 ; xn , tn ) = p1 (∆x1 ) . . . pn (∆xn ),∆xk = xk − xk−1 ,(3.2)или, в явном виде, вспоминая, что pk (∆xk ) = p∆ξk (xk − xk−1 ),p(x1 , t1 ; x2 , t2 . . .

, xn , tn ) =nYk=1p12πσ 2 (tk − tk−1 )(x −xk−1 )2k −tk−1 )− 2σ 2k(te(3.3)для любых x1 , . . . , xn ∈ R и 0 = t0 < t1 < · · · < tn (здесь t0 = 0 и x0 = 0).3.2. Марковское свойство винеровского процесса. Напомним, что такоеусловная плотность распределения. Если случайные величины имеют совместнуюплотность pξ1 ,...,ξn ( · ), то условная плотность случайной величины ξn при условии,что значения случайных величин ξn−1 , . . .

, ξ1 фиксированы, определяется какpξn |ξn−1 ,...,ξ1 (xn |xn−1 , . . . , x1 ) =pξ1 ,...,ξn−1 ,ξn (x1 , . . . , xn−1 , xn ),pξ1 ,...,ξn−1 (x1 , . . . , xn−1 )xn ∈ R.В этой формуле переменная xn выступает как аргумент функции, а переменныеx1 , . . . , xn−1 играют роль параметров этой функции. Условная плотность определенапри всех ξ1 , . . . , ξn−1 , при которых знаменатель отличен от нуля. Можно записатьдифференциальное равенство для условной плотности, связав её с вероятностью:pξn |ξn−1 ,...,ξ1 (xn |xn−1 , . .

. , x1 ) dxn =27= P (xn 6 ξn < xn + dxn | xn−1 6 ξn−1 < xn−1 + dxn−1 , . . . , x1 6 ξn < x1 + dx1 )(сравните с аналогичным равенством pξn (xn ) dxn = P (xn 6 ξn < xn + dxn ) дляобычной, «безусловной», плотности). Можно также записать очевидные равенстваpξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ),pξ1 ,ξ2 ,ξ3 (x1 , x2 , x3 ) = pξ3 |ξ2 ,x1 (x3 |x1 , x2 )pξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) == pξ3 |ξ2 ,x1 (x3 |x1 , x2 )pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ),....................................,pξ1 ,...,ξn (x1 , . . .

, xn ) = pξn |ξn−1 ,...,ξ1 (xn |xn−1 , . . . , x1 ) . . . pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ).Как и для условной вероятности, для условной плотности имеет место формулаполной вероятности (запишем её для n = 2)Z ∞pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ) dx1 .pξ2 (x2 ) =−∞Здесь мы считаем, что x1 ∈ R, а те x1 , для которых pξ1 (x1 ) = 0 и значение условнойплотности не определено, в произведении дают1) pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 = pξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = 0и не вносят вклада в интеграл. Также справедлива формула Байесаpξ1 |ξ2 (x1 |x2 ) =pξ2 |ξ2 (x2 |x2 )pξ1 (x1 )pξ |ξ (x2 |x2 )pξ1 (x1 )= R∞ 2 2.pξ2 (x2 )p(x2 |z1 )pξ1 (z1 ) dz1−∞ ξ2 |ξ1Теперь применим аппарат условных плотностей к винеровскому процессу, имеемв силу (3.2), (3.3)defπ(xn , tn |xn−1 , tn−1 ; .

. . ; x1 , t1 ) == pξn (tn )|ξn−1 (tn−1 ),...,ξ1 (t1 ) (xn |xn−1 , . . . , x1 ) =p(x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 ; xn , tn )=p(x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 )p1 (x1 ) . . . pn−1 (xn−1 − xn−2 )pn (xn − xn−1 )== pn (xn − xn−1 )p1 (x1 ) . . . pn−1 (xn−1 − xn−2 ))=или, в явном виде,π(xn , tn |xn−1 , tn−1 ; .

. . ; x1 , t1 ) = p1(xn −xn−1 )2n −tn−1 )− 2σ 2 (t2πσ 2 (tn − tn−1 )e.Видно, что правая часть этого равенства зависит только от xn−1 , tn−1 и не зависитот переменных xk , tk с более ранними номерами. Мы имеем полную аналогию с марковским свойством для процесса с дискретным множеством состояний.

Последнееравенство перепишем какπ(x, t|z, s) = p12πσ 2 (t − s)(x−z)2− 2σ 2 (t−s)e.(3.4)1) По аналогии с условной вероятностью: если P (A ) = 0, то формально P (A | A )P (A ) = 0,1211потому что P (A2 | A1 )P (A1 ) = P (A1 ∩ A2 ) = 0.28Справедливо уравнение Чепмена–Колмогорова: если t1 < t2 < t3 , то для любоговремени t2 , удовлетворяющего этому условию,Z ∞π(x3 , t3 |x1 , t1 ) =π(x3 , t3 |x2 , t2 ) π(x2 , t2 |x1 , t1 ) dx2 .(3.5)−∞В самом деле, если мы для краткости положим p123 (x1 , x2 , x3 ) = p(x1 , t1 ; x2 , t2 ; x3 , t3 )для трёхмерной плотности и аналогично pkj (xk ) = p(xk , tk ; xj , tj ) и pk (xk ) = p(xk , tk )для двумерной и одномерной плотностей, а также введём аналогичные обозначениятипа pk|j ( · | · ) для условных плотностей (зависимость от tk в данном случае не является важной), то в силу марковского свойства и по определению условной плотностимы имеемp3|2 (x3 |x2 ) = p3|2,1 (x3 |x2 , 1) =p1,2,3 (x1 , x2 , x3 ),p1,2 (x1 , x2 )p(2|1) (x2 |x1 ) =p1,2 (x1 , x2 ).p1 (x1 )Подставляя эти равенства в правую часть (3.5), получаемZ ∞π(x3 , t3 |x2 , t2 ) π(x2 , t2 |x1 , t1 ) dx2 =−∞Z ∞Z ∞p1,2,3 (x1 , x2 , x3 ) p1,2 (x1 , x2 )dx2 ==p3|2 (x3 |x2 )p2|1 (x2 |x1 ) dx2 =p1,2 (x1 , x2 )p1 (x1 )−∞−∞Z ∞1p1,3 (x1 , x3 )=p1,2,3 (x1 , x2 , x3 ) dx2 == p3|1 (x3 |x1 ),p1 (x1 ) −∞p1 (x1 )и последнее выражение, если вернуться к исходными обозначениям π( · ), совпадаетс левой частью (3.5).3.3.

Винеровский процесс как математическая модель случайных блужданий. Рассмотрим простейшую модель симметричных блужданий по действительной прямой. Пусть в дискретные моменты времени tk = k∆t, k = 1, 2, . . . ,частица совершает прыжки длины ∆x влево и вправо, выбирая каждое из двухвозможных направлений случайным образом с вероятностью 1/2.

Пусть w(tn ) –положение частицы в момент времени tn . Представим случайную величину w(tn )в виде (здесь ∆wk = w(tk ) − w(tk−1 ), w(0) = 0)w(tn ) = ∆w1 + · · · + ∆wn ,P (∆wk = ∆x) = P (∆wk = −∆x) =1,2k = 1, . . . , n.Очевидно, что M ∆wk = 0, M ∆wk = (∆x)2 /2. Если мы считаем случайные величины ∆w1 , ∆w2 , . . . независимыми, то к их сумме применима центральная предельнаятеорема:nX1p∆wk → ξ ∗ ,n → ∞,2n(∆x) k=1где сходимость понимается как сходимость по распределению, величина ξ ∗ имеетнормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.Теперь рассмотрим случайный процесс w(t), t > 0, с непрерывным временем какследующий непрерывный предел описанных выше случайных блужданий: пусть29время t > 0 фиксировано, положим t = n∆t и n → ∞, причём вместе с ∆t → 0потребуем стремления к нулю и ∆x так, что(∆x)2= σ 2 = const.∆tТогда√1σ2tw(t) =r(3.6)nnX1∆t X∆wk = p∆wk → ξ ∗ ,2σ2tn(∆x)k=1k=1√другими словами, в непрерывном пределе случайная величина w(t)/ σ 2 t имеетстандартное нормальное распределение, и это эквивалентно тому, что w(t) имеетнормальное распределение с нулевым средним и дисперсией σ 2 t.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
468,8 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее