Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Найти одномерноераспределение процесса (2.28).Решение. Индукцией по n покажем, что в нашем случае плотность распределения pn ( · ) случайной величины Sn (2.27) имеет видpn (x) = λ(λx)n−1 −λxe,(n − 1)!x > 0,при всехn = 1, 2, . . . .(2.29)Пусть x > 0. При n = 1 мы имеем S1 = τ1 , следовательно, по условию задачиp1 (x) = λe−λx , и начальное индукционное утверждение выполнено.Пусть для некоторого n плотность распределения случайной величины Sn имеетвид (2.29).

Тогда Sn+1 = Sn +τn+1 , причём (опять же по условию задачи) случайныевеличины Sn = τ1 + · · · + τn и τn+1 независимы. Тогда функцию распределенияслучайной величины Sn+1 можно найти стандартным образом: для x > 0ZZFn+1 (x) = P (Sn + τn+1 < x) =pSn(z)pτn+1 (u) dz du =z+y<x24=ZZz+y<xz,y>0(λz)n−1 −λz −λue·edz du =λ(n − 1)!Zx0(λz)n−1 −λzλedz(n − 1)!Zx−zλe−λu du.0Возьмём только внутренний интеграл,Z x(λz)n−1 −λzFn+1 (x) =λe(1 − e−λ(x−z) ) dz =(n−1)!0Z xZ x(λz)n−1(λz)n−1 −λz−λxλ=λedz − edz,(n − 1)!(n − 1)!00и найдём плотность распределения, дифференцируя под знаком интеграла:dFn+1 (x) =dxZ xn−1(λz)n−1(λx)n−1 −λx−λx−λx (λx)=λe− −λedz + eλ=λ(n − 1)!(n − 1)!(n − 1)!0Z xn x(λz)n−1(λx)n −λx−λx (λz) −λxdz = λe·e,x > 0.λ=λ= λe(n − 1)!n! 0n!0pn+1 (x) =Мы видим, что pn+1 ( · ) имеет вид (2.29).

Формула (2.29) доказана.Вернёмся к нашей задаче и найдём распределение произвольного сечения случайного процесса ξ(t). По аналогии с формулами, приведёнными выше, запишемP (ξ(t) = n) = P (Sn 6 t, Sn+1 > t) = P (Sn 6 t, Sn + τn+1 > t) =ZZ=pn (z)pτn+1 (u) dz du =z6t, z+y>tZZ=z6t, z+u>tz,u>0=Z0t(λz)n−1 −λzλe· λe−λu dz du =(n − 1)!Z0t(λz)n−1 −λzλedz(n − 1)!Zt(λt)n −λt(λz)n−1 −λz −λ(t−z)(λz)n −λt·e=λe·edz =e .(n − 1)!n! 0n!t−zТаким образом, ξ(t) имеет распределение Пуассона с параметром λt.25∞λe−λu du =3.

ПРОЦЕСС ВИНЕРАЭтот раздел посвящён одному из самых важных в теории случайному процессу –процессу Винера. Его математическое исследование достаточно сложное, поэтомунекоторые утверждения, сформулированные ниже, мы оставим без аккуратного математического обоснования. Заметим, однако, что большинство этих утвержденийдостаточно очевидны с точки зрения «здравого смысла».3.1.

Определение и основные характеристики процесса Винера.Определение 3.1. Случайный процесс w(t), t > 0, называется процессом Винера, если:1) его приращения независимы, т. е. для любых 0 6 t0 < t1 < · · · < tn случайныевеличины w(tk ) − w(tk−1 ), k = 1, . . . , n, независимы в совокупности;2) процесс однороден во времени, т. е. распределение приращения w(s + t) − w(s)для t, s > 0 зависит только от t и не зависит от s;3) распределение приращения w(s + t) − w(s) является нормальным с нулевымсредним и дисперсией σ 2 t (здесь σ 2 – положительная постоянная), т.

е. плотностьраспределения случайной величины ∆w(t) = w(s + t) − w(s) имеет вид√1x22πσ 2 te− 2σ2 t ,−∞ < x < ∞,t > 0;4) процесс начинается в нуле: P (w(0) = 0) = 1.Непосредственно из определения вытекает, что сечение w(t) = w(t) − w(0) процесса Винера распределено нормально, одномерная плотность распределения естьp(x, t) = √12πσ 2 tx2e− 2σ2 t ,−∞ < x < ∞,t > 0.Математическое ожидание M w(t) = 0, дисперсия Dw(t) = σ 2 t, а ковариационнаяфункция Rw (t, s) = σ 2 min(t, s), как это следует из общей формулы для однородныхпроцессов с независимыми приращениями.Найдём n-мерную плотность распределения. Пусть 0 = t0 < t1 < · · · < tn .Выразим сечения w(tk ) через приращения ∆wk = w(tk ) − w(tk−1 ), k = 1, .

. . , n:w(t1 ) = w(t1 ) − w(0) = ∆w1 ,w(t2 ) = w(t2 ) − w(t1 ) + w(t1 ) − w(t0 ) = ∆w1 + ∆w2 ,....................................,(3.1)w(tn ) = w(tn ) − w(tn−1 ) + · · · + w(t1 ) − w(0) = ∆w1 + · · · + ∆wn .Тогда n-мерную функцию распределения можно найти по следующим формулам:defF (x1 , t1 ; x2 , t2 . . . , xn , tn ) == P (w(t1 ) < x1 , . . .

, w(tn ) < xn ) == P (∆w1 < x1 , . . . , ∆w1 + · · · + ∆wn < xn ) =ZZ=...p1 (z1 ) . . . pn (zn ) dx1 . . . dxn ,z1 <x1 ,.........,z1 +···+zn <xn26где мы учли, что случайные величины ∆w1 , . . . , ∆wn независимы, и ввели для краткости обозначение pk ( · ) для плотности распределения приращения ∆wk ,pk (z) = p212πσ 2 (tk− 2σ 2 (t z−t− tk−1 )ekk−1 ),−∞ < z < ∞.Совершим в n-кратном интеграле линейную замену переменных, которая упрощаетвид области интегрирования:y1 = z1 ,y2 = z1 + z2 ,...,z1 = y1 ,z2 = y2 − y1 ,...,yn = z1 + · · · + z1 ,zn = yn − yn−1 .Якобиан перехода при такой замене переменных равен единице. Введём для однообразия формул y0 = 0, тогда zk = ∆yk = yk − yk−1 для всех k = 1, . . . , n (нашазамена в точности повторяет переход от приращений к сечениям, заданный в (3.1)).В результате получимZZZZ...p1 (z1 ) .

. . pn (zn ) dx1 . . . dxn =...p1 (∆y1 ) . . . pn (∆yn ) dy1 . . . dyn .z1 <x1 ,.........,z1 +···+zn <xny1 <x1 ,...,yn <xnВозвращаясь к исходному равенству, имеемZ x1Z xnF (x1 , t1 ; x2 , t2 . . . , xn , tn ) =...p1 (∆y1 ) . . . pn (∆yn ) dy1 . . . dyn ,−∞−∞таким образом, получаем n-мерную плотность (мы, как обычно положили x0 = 0)p(x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 ; xn , tn ) = p1 (∆x1 ) . . . pn (∆xn ),∆xk = xk − xk−1 ,(3.2)или, в явном виде, вспоминая, что pk (∆xk ) = p∆ξk (xk − xk−1 ),p(x1 , t1 ; x2 , t2 . . .

, xn , tn ) =nYk=1p12πσ 2 (tk − tk−1 )(x −xk−1 )2k −tk−1 )− 2σ 2k(te(3.3)для любых x1 , . . . , xn ∈ R и 0 = t0 < t1 < · · · < tn (здесь t0 = 0 и x0 = 0).3.2. Марковское свойство винеровского процесса. Напомним, что такоеусловная плотность распределения. Если случайные величины имеют совместнуюплотность pξ1 ,...,ξn ( · ), то условная плотность случайной величины ξn при условии,что значения случайных величин ξn−1 , . . .

, ξ1 фиксированы, определяется какpξn |ξn−1 ,...,ξ1 (xn |xn−1 , . . . , x1 ) =pξ1 ,...,ξn−1 ,ξn (x1 , . . . , xn−1 , xn ),pξ1 ,...,ξn−1 (x1 , . . . , xn−1 )xn ∈ R.В этой формуле переменная xn выступает как аргумент функции, а переменныеx1 , . . . , xn−1 играют роль параметров этой функции. Условная плотность определенапри всех ξ1 , . . . , ξn−1 , при которых знаменатель отличен от нуля. Можно записатьдифференциальное равенство для условной плотности, связав её с вероятностью:pξn |ξn−1 ,...,ξ1 (xn |xn−1 , . .

. , x1 ) dxn =27= P (xn 6 ξn < xn + dxn | xn−1 6 ξn−1 < xn−1 + dxn−1 , . . . , x1 6 ξn < x1 + dx1 )(сравните с аналогичным равенством pξn (xn ) dxn = P (xn 6 ξn < xn + dxn ) дляобычной, «безусловной», плотности). Можно также записать очевидные равенстваpξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ),pξ1 ,ξ2 ,ξ3 (x1 , x2 , x3 ) = pξ3 |ξ2 ,x1 (x3 |x1 , x2 )pξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) == pξ3 |ξ2 ,x1 (x3 |x1 , x2 )pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ),....................................,pξ1 ,...,ξn (x1 , . . .

, xn ) = pξn |ξn−1 ,...,ξ1 (xn |xn−1 , . . . , x1 ) . . . pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ).Как и для условной вероятности, для условной плотности имеет место формулаполной вероятности (запишем её для n = 2)Z ∞pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 (x1 ) dx1 .pξ2 (x2 ) =−∞Здесь мы считаем, что x1 ∈ R, а те x1 , для которых pξ1 (x1 ) = 0 и значение условнойплотности не определено, в произведении дают1) pξ2 |ξ1 (x2 |x1 )pξ1 = pξ1 ,ξ2 (x1 , x2 ) = 0и не вносят вклада в интеграл. Также справедлива формула Байесаpξ1 |ξ2 (x1 |x2 ) =pξ2 |ξ2 (x2 |x2 )pξ1 (x1 )pξ |ξ (x2 |x2 )pξ1 (x1 )= R∞ 2 2.pξ2 (x2 )p(x2 |z1 )pξ1 (z1 ) dz1−∞ ξ2 |ξ1Теперь применим аппарат условных плотностей к винеровскому процессу, имеемв силу (3.2), (3.3)defπ(xn , tn |xn−1 , tn−1 ; .

. . ; x1 , t1 ) == pξn (tn )|ξn−1 (tn−1 ),...,ξ1 (t1 ) (xn |xn−1 , . . . , x1 ) =p(x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 ; xn , tn )=p(x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 )p1 (x1 ) . . . pn−1 (xn−1 − xn−2 )pn (xn − xn−1 )== pn (xn − xn−1 )p1 (x1 ) . . . pn−1 (xn−1 − xn−2 ))=или, в явном виде,π(xn , tn |xn−1 , tn−1 ; .

. . ; x1 , t1 ) = p1(xn −xn−1 )2n −tn−1 )− 2σ 2 (t2πσ 2 (tn − tn−1 )e.Видно, что правая часть этого равенства зависит только от xn−1 , tn−1 и не зависитот переменных xk , tk с более ранними номерами. Мы имеем полную аналогию с марковским свойством для процесса с дискретным множеством состояний.

Последнееравенство перепишем какπ(x, t|z, s) = p12πσ 2 (t − s)(x−z)2− 2σ 2 (t−s)e.(3.4)1) По аналогии с условной вероятностью: если P (A ) = 0, то формально P (A | A )P (A ) = 0,1211потому что P (A2 | A1 )P (A1 ) = P (A1 ∩ A2 ) = 0.28Справедливо уравнение Чепмена–Колмогорова: если t1 < t2 < t3 , то для любоговремени t2 , удовлетворяющего этому условию,Z ∞π(x3 , t3 |x1 , t1 ) =π(x3 , t3 |x2 , t2 ) π(x2 , t2 |x1 , t1 ) dx2 .(3.5)−∞В самом деле, если мы для краткости положим p123 (x1 , x2 , x3 ) = p(x1 , t1 ; x2 , t2 ; x3 , t3 )для трёхмерной плотности и аналогично pkj (xk ) = p(xk , tk ; xj , tj ) и pk (xk ) = p(xk , tk )для двумерной и одномерной плотностей, а также введём аналогичные обозначениятипа pk|j ( · | · ) для условных плотностей (зависимость от tk в данном случае не является важной), то в силу марковского свойства и по определению условной плотностимы имеемp3|2 (x3 |x2 ) = p3|2,1 (x3 |x2 , 1) =p1,2,3 (x1 , x2 , x3 ),p1,2 (x1 , x2 )p(2|1) (x2 |x1 ) =p1,2 (x1 , x2 ).p1 (x1 )Подставляя эти равенства в правую часть (3.5), получаемZ ∞π(x3 , t3 |x2 , t2 ) π(x2 , t2 |x1 , t1 ) dx2 =−∞Z ∞Z ∞p1,2,3 (x1 , x2 , x3 ) p1,2 (x1 , x2 )dx2 ==p3|2 (x3 |x2 )p2|1 (x2 |x1 ) dx2 =p1,2 (x1 , x2 )p1 (x1 )−∞−∞Z ∞1p1,3 (x1 , x3 )=p1,2,3 (x1 , x2 , x3 ) dx2 == p3|1 (x3 |x1 ),p1 (x1 ) −∞p1 (x1 )и последнее выражение, если вернуться к исходными обозначениям π( · ), совпадаетс левой частью (3.5).3.3.

Винеровский процесс как математическая модель случайных блужданий. Рассмотрим простейшую модель симметричных блужданий по действительной прямой. Пусть в дискретные моменты времени tk = k∆t, k = 1, 2, . . . ,частица совершает прыжки длины ∆x влево и вправо, выбирая каждое из двухвозможных направлений случайным образом с вероятностью 1/2.

Пусть w(tn ) –положение частицы в момент времени tn . Представим случайную величину w(tn )в виде (здесь ∆wk = w(tk ) − w(tk−1 ), w(0) = 0)w(tn ) = ∆w1 + · · · + ∆wn ,P (∆wk = ∆x) = P (∆wk = −∆x) =1,2k = 1, . . . , n.Очевидно, что M ∆wk = 0, M ∆wk = (∆x)2 /2. Если мы считаем случайные величины ∆w1 , ∆w2 , . . . независимыми, то к их сумме применима центральная предельнаятеорема:nX1p∆wk → ξ ∗ ,n → ∞,2n(∆x) k=1где сходимость понимается как сходимость по распределению, величина ξ ∗ имеетнормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.Теперь рассмотрим случайный процесс w(t), t > 0, с непрерывным временем какследующий непрерывный предел описанных выше случайных блужданий: пусть29время t > 0 фиксировано, положим t = n∆t и n → ∞, причём вместе с ∆t → 0потребуем стремления к нулю и ∆x так, что(∆x)2= σ 2 = const.∆tТогда√1σ2tw(t) =r(3.6)nnX1∆t X∆wk = p∆wk → ξ ∗ ,2σ2tn(∆x)k=1k=1√другими словами, в непрерывном пределе случайная величина w(t)/ σ 2 t имеетстандартное нормальное распределение, и это эквивалентно тому, что w(t) имеетнормальное распределение с нулевым средним и дисперсией σ 2 t.

Характеристики

Список файлов лекций