Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . ,а через произвольные промежутки ∆t > 0. Доопределим матричнозначную функцию π( · ) в точке t = 0, наложив совершенно очевидное условие π(0) = I, где I –единичная (s × s)-матрица, т. е.(1, i = j,πij (0) = δij =(4.8)0, i 6= j.Это условие говорит о том, что за нулевое время система не сможет совершитьникакого перехода и останется в своём состоянии.В дальнейшем нас будут интересовать аналитические свойства матричнозначнойфункции π( · ) : R+ 7→ Ms : непрерывность, дифференцируемость и пр. Условимся,что матричные равенства, связанные с предельными переходами, мы будем понимать как поэлементные, напримерlim π(h) = Ah→+0⇐⇒lim πij (h) = Aijh→+0а равенстваZdπ= D,π̇(t) ≡dtZi, j = 1, .
. . , s,t2π(t) dt = Jt1эквивалентныdπijπ̇ij (t) ≡= Dij ,dtдля всехt2πij (t) dt = Vijдля всех i, j = 1, . . . , s.t1Здесь A, D, J ∈ Mat(s).4.1. Система уравнений Колмогорова для матриц перехода. В нашихматематических выкладках очень важную роль будет играть условие s < ∞. Онопозволит нам менять местами предельные переходы и любые суммы или произведения по состояниям:limh→+0sXi=1(·) =sXi=1lim ( · ),limh→+0h→+040sYi=1(·) =sYi=1lim ( · ).h→+0Для бесконечного (счётного) числа состояний эти равенства требуют обоснования,но многие утверждения тем не менее останутся верными, возможно, при некоторыхдополнительных условиях.Докажем несколько лемм.Лемма 4.2. При любом t > 0 матрица π(t) невырождена.Доказательство. Заметим, что в силу (4.8) определитель матрицы π(h) какнекоторая вполне конкретная (конечная) сумма произведений её элементов стремится при h → +0 к определителю матрицы I, т.
е. к единице. Поэтому найдётся такое h0 > 0, что det π(h) 6= 0 при h < h0 . Это означает, что матрица π(h)невырождена при достаточно малых h. Далее, для произвольного фиксированногоt > 0 всегда можно найти такое натуральное n, что t/n < h0 . Тогда по уравнениюЧепмена–Колмогороваndet π(h) = det π n (t/n) = det π(t/n) 6= 0,t/n < h0 ,а это и означает, что матрица det π(h) невырождена при любом h > 0.Теперь покажем непрерывность матрицы перехода.
Для t = 0 непрерывностьбудем понимать, конечно же, как непрерывность справа и постулируем эту непрерывность без доказательства: потребуемπij (h) → δijприh → +0(4.9)или, в матричной записи,π(t) → π(0) = Iприt → +0.(4.10)Это условие согласовано с (4.8) и означает, что, попав в любое состояние xi , случайный процесс с вероятностью единица остаётся в этом состоянии некоторое положительное время. Точнее, если случайная величина τi равна времени пребыванияв i-м состоянии, то P (τi > 0) = 1.Лемма 4.3. Матричнозначная функция π( · ) : R+ 7→ Ms непрерывна при всехt > 0, т. е.
для любого фиксированного t > 0lim π(t + h) − π(t)) = lim π(t) − π(t − h)) = 0,h→+0h→+0где в правой части равенства 0 означает матрицу, все элементы которой равнынулю2) .Доказательство. Непрерывность справа непосредственно вытекает из уравнения Чепмена–Колмогорова (4.7) и условия (4.10):πij (t + h) − πij (t) =sXk=1πik (t)πkj (h) − πij (t) =sXk=1πik (t) πkj (h) − δkj → 0,h → +0,при любых i, j = 1, . . .
, s для любого фиксированного t > 0.2) Мы не вводим специальных обозначений, отличающих 0 как нулевую матрицу от числа 0;предполагается, что природа равенства должна сама подсказать, о каком нуле идёт речь.41Непрерывность слева также следует из уравнения Чепмена–Колмогорова, но потребуются чуть более сложные рассуждения. Для t > 0 и 0 < h < t имеемπ(t) − π(t − h) = π(t − h) π(h) − I ,отсюда в силу 0 6 πik (t − h) 6 1 получаем оценку sX|πij (t) − πij (t − h)| = πik (t − h) πkj (h) − δij 6k=16sXk=1πik (t − h)|πkj (h) − δkj | 6sXk=1|πkj (h) − δkj | → 0,h → +0,при любых i, j = 1, . . . , s для любого фиксированного t > 0.
Лемма доказана.Теперь исследуем матрицу π̇(t) с элементамиπ̇ij (t) =π(t + h) − π(t)dπij= lim,h→0dthi, j = 1, . . . , s.Лемма 4.4. Зададим матричнозначную функциюZ t2π(u) du,0 < t1 < t2 .J(t1 , t2 ) =t1Тогда при достаточно малой разности t2 − t1 существует обратная матрицаR(t1 , t2 ) = J −1 (t1 , t2 ).Доказательство. Пользуясь непрерывностью π( · ) как матричнозначной функции на R+ , запишем формулу среднего для каждого элемента матрицы: для любых0 < t1 < t2 при каждых i, j ∈ {1, . .
. , s}Z t21πij (u) du = πij (t1 + hij ),0 6 hij 6 t2 − t1 .t2 − t1 t1Опять же в силу непрерывности π( · ) для любого ε > 0 найдётся δij > 0 такая, что|πij (t1 + hij ) − πij (t1 )| < ε, если hij < δij . Выберем минимальную по i, j = 1, . . . , sвеличину δij и обозначим её как δ. Тогда для любого t1 > 0 c учётом введённого вусловии леммы обозначения Jij (t1 , t2 ) = |πij (t1 + hij ) − πij (t1 )| < ε, если 0 < t2 − t1 < δ. (4.11)−π(t)ij1 t2 − t1Итак, для любого ε > 0 найдётся δ = δ(t1 , ε) такое, что det J(t1 , t2 ) < ε,−detπ(t)0 < t2 − t1 < δ.ij1 t2 − t1Поскольку det π(t1 ) 6= 0 при любом t1 > 0, мы можем выбрать какое-либо положительное ε < | det π(t1 )| и зафиксировать его.
Теперь δ определяется только значением t1 и1det J(t1 , t2 ) > det πij (t1 ) − ε 6= 0,t2 − t1если0 < t2 − t1 < δ.Следовательно, при 0 < t2 − t1 < δ существует R(t1 , t2 ) = J −1 (t1 , t2 ).42Лемма 4.5. Матричнозначная функция π(·) имеет правую производную в точке t = 0, т. е. существует матрица Λ размера s × s такая, чтоπ(h) − π(0)= Λ.h→+0h(4.12)limДоказательство. Воспользуемся уравнением (4.7) Чепмена–Колмогорова и запишем цепочку матричных равенств для h > 0 и любых 0 < t1 < t2π(h) − IZt2π(u) du =t1Z=t2t1Zt2t1π(h)π(u) du −π(u + h) du −Zt2Zπ(u) du =t1π(u) du =t1t2Zt2 +ht1 +hπ(u) du −Zt2π(u) du.t1Теперь будем считать, что 0 < h < t2 − t1 , тогда t1 < t1 + h < t2 < t2 + h иZt2 +hπ(u) du −t1 +hZt2π(u) du =t1Zt2 +hπ(u) du −t2Zt1 +hπ(u) du.t1В обозначениях леммы 4.4 мы можем записать результат нашей цепочки преобразований какZ t2 +hZ t1 +hπ(u) du −π(u) du,(4.13)π(h) − I J(t1 , t2 ) =t2t1и это равенство верно для любых 0 < t1 < t2 и 0 < h < t2 − t1 .Пусть теперь t2 − t1 < δ, где δ = δ(t1 ) взято из леммы 4.4.
Тогдаπ(h) − I=h Z t2 +hZ1 t1 +h1π(u) du −π(u) du R(t1 , t2 ).h t2h t1При h → +0 с учетом формул (4.11) для средних значений интегралов в правойчасти равенства существуетlimh→+0Zt2 +ht2π(u) du −Следовательно,limh→+0Zt1 +ht1π(u) du = π(t2 ) − π(t1 ) R(t1 , t2 ).π(h) − I= π(t2 ) − π(t1 ) R(t1 , t2 ),h(4.14)причём это равенство верно при любых достаточно близких друг другу положительных временах t1 < t2 . Выберем какие-либо удовлетворяющие всем необходимымусловиям t1 и t2 , зафиксируем их и для этих фиксированных времён обозначимматрицу в правой части равенства (4.14) через Λ.
Тогда, учитывая, что I = π(0),получаемπ(h) − π(0)= Λ.limh→+0hЛемма доказана.43Теорема 4.1. Матрица π( · ) непрерывно дифференцируема при t > 0 и удовлетворяет уравнениям Колмогороваπ̇(t) = Λπ(t),(4.15)π̇(t) = π(t)Λ.(4.16)Доказательство. Воспользуемся уравнением (4.7). Для произвольного t > 0имеемπ(h) − π(0)π(h) − π(0)π(t + h) − π(t)=π(t) = π(t),hhhоткудаπ(t + h) − π(t)lim= Λπ(t) = π(t)Λ,(4.17)h→+0hт. е. матрица π(t) имеет правую производную при всех t > 0 и для правой производной верны уравнения (4.15) и (4.16).Теперь найдём левую производную.
Зафиксируем t > 0 и выберем 0 < h < t,тогдаπ(h) − π(0)π(h) − π(0)π(t) − π(t − h)=π(t − h) = π(t − h),hhhперейдём к пределу при h → +0, учитывая непрерывность π(t − h) → π(t), получимπ(t) − π(t − h)= Λπ(t) = π(t)Λ,h→+0h(4.18)limи эти равенства вместе с (4.17) влекут уравнения (4.15), (4.16).Непрерывность матричнозначной функции π̇(t), t > 0, непосредственно следуетиз непрерывности матричнозначной функции π( · ) и любого из уравнений (4.15),(4.16). Теорема доказана.Замечание 4.6.
В случае счётного числа состояний система уравнений Колмогорова также верна, но следует наложить на матрицы π(t) некоторые дополнительные условия.4.2. Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний. Положим pi (t) = P (ξ(t) = xi ), i = 1, . .
. , s, и выведем из уравнения (4.16) системудифференциальных уравнений для функций pi ( · ). Имеемdefpj (t) == P (ξ(t) = xj ) =sXi=1P (ξ(t) = xj | ξ(0) = xi )P (ξ(0) = xi ) =где ai – начальная вероятность. Отсюда в силу уравнения (4.16)ṗj (t) ==sXi=1sXk=1π̇ij (t)ai =ΛkjXsss XXi=144πik (t)Λkj ai =k=1πik (t)aii=1=sXk=1pk (t)Λkj ,sXi=1πij (t)ai ,Итак, мы имеемṗj (t) =sXpk (t)Λkj ,(4.19)j = 1, . . .
, s.k=1В ряде случаев уравнение (4.19) удобно записать в другом виде. Заметим, чтодля любого j = 1, . . . , s и любого h > 0sXk=1πjk (h) − δjk =sXk=1поскольку выполнено условие стохастичностиsXk=1sΛjkπjk (h) − 1 = 0,Psk=1πjk (h) = 1.
Отсюда1X= limπjk (h) − δjk = 0,h→+0 hi=1Λjj = −XΛjk .k : k6=jТаким образом, получаемṗj (t) =sXk : k6=jpk (t)Λkj − pj (t)XΛjk ,j = 1, . . . , s.(4.20)k : k6=jЭтот вид уравнения полностью отвечает физическому смыслу переходов в марковском процессе. Перепишем (4.20) как следующее приближённое равенство прималом h > 0, учтя, что Λ = π̇(0):pj (t + h) − pj (t) ≈=sXk : k6=jsXk : k6=jXpk (t)(πkj (h) − δkj −pj (t)(πjk (h) − δjk =k : k6=jpk (t)πkj (h) −Xpj (t)πjk (h).(4.21)k : k6=jРассмотрим систему из большого числа N частиц, в которой каждая из частицможет находиться в одном из состояний x1 , .
. . , xs , а динамика распределений по состояниям осуществляется по законам марковского процесса. Заменим вероятностьна долю частиц в системе, находящихся в момент времени t в состоянии xj , т. е. положим pj (t) ≈ Nj (t)/N . Тогда (4.21) описывает, как изменяется количество частиц,находящихся в момент t в состоянии xj , за малое время h (уравнение баланса):Nj (t + h) − Nj (t) ≈sXk : k6=jNk (t)Pk→j (h) −XNj (t)Pj→k (h),(4.22)k : k6=jгде Pk→j (h) – вероятность перехода из xk в xj за время h. При этом первая суммав правой части (4.22) даёт число частиц, пришедших в состояние xj из всех другихсостояний, а вторая – число частиц, ушедших из состояния xj в какое-либо другоесостояние. Мы полагаем, что за малое время происходит не более одного перехода,что согласуется с разложением π(h) = I + Λh + o(h).Система уравнений (4.19) или (4.20) дополняется начальным условием pj (0) = aj ,Psj = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
