Главная » Просмотр файлов » Наброски лекций. 2017

Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 4

Файл №1134111 Наброски лекций. 2017 (Наброски лекций. 2017) 4 страницаНаброски лекций. 2017 (1134111) страница 42019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

е. в промежуток времени [0, t), тогдаξ(t + h) − ξ(t) равно числу требований, поступивших в промежуток [t, t + h). Очевидно, ξ(t + h) − ξ(t) есть случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, . . . .Будем говорить, что ξ(t), t > 0, есть пуассонов поток требований, если он удовлетворяет следующим условиям:• для любых t, h > 0 распределение числа требований ξ(t + h) − ξ(t) = ∆ξ(h)на интервале [t, t + h) зависит только от h и не зависит от t (однородностьпотока);• для любого n = 2, 3, .

. . и любых t0 , t1 , . . . , tn таких, что 0 6 t0 < t1 < · · · < tn ,случайные величины ∆ξ(tk −tk−1 ), k = 2, 3, . . . , n, независимы (независимостьприращений);• при h → +0 распределение случайной величины ∆ξ(h) = ξ(t + h) − ξ(t) задаётся какP (∆ξ(h) = 0) = 1 − λh + o(h),(2.7)P (∆ξ(h) = 1) = λh + o(h),(2.8)P (∆ξ(h) > 1) = o(h),(2.9)где λ – постоянная величина, 0 < λ < ∞.Видно, что два первых условия в точности повторяют условия однородностии независимости приращений для процесса Пуассона.Обсудим последнее условие. Положимdefp0 (h) == P (∆ξ(h) = 0),h > 0.Доопределим эту вероятность в нуле как p0 (0) = 1, поскольку в промежуток [t, t)нулевой длины не может поступить ни одного требования. Предположим, что p0 (h)при h → +0 ведёт себя непрерывным образом: p0 (h) → 1 − 0 (вероятность стремитсяк p(0) = 1, разумеется, снизу).

Теперь нас будут интересовать поправки к предельному значению при малых h > 0. Будем считать, что возможно разложение в рядТейлора до членов первого порядка:dp0 (h) · h + o(h),h → +0.p0 (h) = p0 (0) +dh h=0Тогда условия (2.7)–(2.9) означают, что вся поправка первого порядка «исчерпывается» событием ∆ξ(h) = 1, а события ∆ξ(h) > 1 чрезвычайно редки (имеют вероятность порядка o(h)).

Таким образом, можно сказать, что условия (2.7)–(2.9)гарантируют малую интенсивность (редкость) событий в потоке.Теорема 2.1. Пусть поток элементарных случайных событий является пуассоновым, т. е. удовлетворяет условиям независимости приращений, однородности14во времени и условиям (2.7)–(2.9). Тогда случайная величина ξ(t) при каждом t > 0имеет распределение Пуассона с параметром λt:P (ξ(t) = m) =(λt)m −λte ,m!m = 0, 1, 2, . . . .(2.10)Доказательство. Пусть значение t > 0 и число m ∈ {0, 1, 2, . . .} фиксированы.

Выберем произвольное и пока также фиксированное натуральное число n > 1.Разобьем промежуток [0, t) точками t0 , t1 , . . . , tn на n интервалов одинаковой длины:0 = t0 < t1 < · · · < tn = t,h = tj − tj−1 =tnдля всех j = 1, .

. . , n.Пусть βj – случайная величина, равная количеству требований, поступивших в промежуток [tj−1 , tj ), j = 1, 2, . . . , n. В силу условий независимости приращений и однородности потока все случайные величины β1 , . . . , βn независимы и одинаково распределены. В каждый из промежутков [tj−1 , tj ) может произойти сколь угодно многособытий, другими словами, любая из случайных величин βj может принимать значения 0, 1, 2, . . .

. Кроме того, общее количество требований в интервале [0, t) естьсумма требований, поступивших в каждом из маленьких интервалов:ξ(t) =nXβj .j=1Рассмотрим следующее событие: если все βj , j = 1, 2, . . . , n, не превосходят единицы, то будем говорить, что случилось событие In . Его дополнение (хотя бы одна из случайных величин βj , j = 1, 2, . . . , n, приняла значение, большее единицы)обозначим через IIn . Можно записать математические выражения для введённыхсобытий:nn\[In ={βj = 0, 1},IIn ={βj > 1}.j=1j=1Запишем формулу полной вероятностиP (ξ(t) = m) = P (ξ(t) = m | In )P (In ) + P (ξ(t) = m | IIn )P (IIn )и найдём входящие в неё вероятности. Имеем для βj = ∆ξ(h) в силу (2.9)P (IIn ) = P[nj=1{βj > 1}6nXj=1P (βj > 1) = n · o(h) = n · o(t/n).Далее, если реализовалось событие In , то в каждом из интервалов [tj−1 , tj ) либопоступит (ровно) одно требование (βj = 1), либо ни одного требования не поступит(βj = 0), j = 1, 2, .

. . , n. При этом, как мы уже отмечали, случайные величиныβ1 , . . . , βn независимы и одинаково распределены. Другими словами, имеем схемуn независимых испытаний Бернулли с вероятностью успехаpn = P (βj = 1) = λh + o(h) = λt/n + o(t/n)15(2.11)(см. условие (2.8)). Итак,n−mP (ξ(t) = m | In ) = Cnm pm,n (1 − pn )m = 0, 1, . . . , n.(2.12)Теперь посмотрим, к чему стремится каждая вероятность при n → ∞:P (IIn ) = n · o(t/n) → 0,P (ξ(t) = m | IIn )P (IIn ) 6 P (IIn ) → 0,P (In ) = 1 − P (IIn ) → 1,P (ξ(t) = m | IIn ) →(λt)m −λte ,m!(2.13)где в последнем предельном переходе мы применили теорему Пуассона: в формулах (2.12) и (2.11)n−mCnm pm→n (1 − pn )(λt)m −λtem!приn → ∞,npn = λt + n · o(t/n) → λt.Таким образом,(λt)m −λte· 1 + 0.P (ξ(t) = m) = P (ξ(t) = m | In )P (In ) + P (ξ(t) = m | IIn )P (IIn ) −→n→∞ m!Поскольку выражение в левой части равенства не зависит от n, мы обязаны записатьP (ξ(t) = m) =(λt)m −λte ,m!m = 0, 1, .

. . .Теорема доказана.Если вспомнить, что в потоке событий P (ξ(0) = 0) = 1, и учесть условие однородности потока, то мы получим, что случайная величина ξ(t) − ξ(s) при 0 < s < tраспределена так же, как случайная величина ξ(t − s) − ξ(0) = ξ(t − s), поэтомуP (ξ(t) − ξ(s) = m) =(λ(t − s))m −λ(t−s)e,m!m = 0, 1, . . . ,что совпадает с (2.1). Таким образом, любой пуассонов поток событий являетсяпроцессом Пуассона.

В дальнейшем мы будем пользоваться обеими интерпретациями процесса Пуассона: и его математическим определением, и его физическимпредставлением как потока требований.Траектории ξω (t), t > 0, процесса Пуассона представляют собой кусочно-постоянные функции, выходящие из нуля, ξω (0) = 0, в случайные моменты времени τ1 , τ2 , . . .испытывающие скачок, равный +1:ξω (τk − 0) = k − 1,ξω (τk ) = k,k = 1, 2, .

. . .Момент времени t = τk – это время поступления k-го требования. Очевидно, чтос вероятностью единица0 < τ1 < τ2 < · · · < τn < · · · .16Распределения времён поступления требований. Найдём связь между распределениями времени τk и распределением процесса Пуассона. Если τk > t, то k-eтребование поступило самое раннее в момент времени t, следовательно, на промежутке [0, t) мы имеем строго меньше, чем k требований, ξ(t) < k. Таким образом,τk > t влечёт ξ(t) < k.

Наоборот, если ξ(t) < k, то на промежутке [0, t) мы имеемстрого меньше чем k требований, следовательно, k-е требование поступило в моментвремени t или когда-то позже, иначе говоря, ξ(t) < k влечёт τk > t. Итак,⇐⇒τk > tξ(t) < k,τk < t⇐⇒ξ(t) > k.(2.14)Отсюдаt1 6 τk < t2 = {τk > t1 } ∩ {τk < t2 }⇐⇒{ξ(t1 ) < k} ∩ {ξ(t2 ) > k}.(2.15)Пример 2.4. Найти распределение случайной величины τk .Решение.

С учётом эквивалентности событий (2.14) имеемP (τk > t) = P (ξ(t) < k) =k−1X(λt)m −λte .m!m=0Функция распределения случайной величины τk записывается какdefFk (t) == P (τk < t) = 1 − P (τk > t) = 1 − P (ξ(t) < k) = P (ξ(t) > k),или, в явном виде,k−1X∞X(λt)m −λt(λt)m −λtFk (t) = 1 −e=e ,m!m!m=0t > 0.(2.16)m=kПри этом Fk (0) = P (τk < 0) = 0.Найдём более компактное выражение для плотности распределения случайнойвеличины τk , воспользовавшись первым равенством в (2.16): по определению имеемk−1dFk (t)d X (λt)m −λtpk (t) ==−e .dtdt m=0 m!Выделим отдельно первое слагаемое, не содержащее степенной функции, получимk−1X d (λt)mde−λt−λt=−epk (t) = −dtdtm!m=1−λt= λek−1Xk−1(λt)m −λt X m(λt)m−1 −λt+λe−λe .m!m!m=1m=1Объединяем обратно первый и второй член в правой части,−λtλek−1X (λt)m(λt)m −λte=λe−λt ,+λm!m!m=0m=1k−1X17(2.17)а в третьем члене делаем тривиальные преобразования и сдвигаем индекс суммирования как m 7→ m − 1,k−2X (λt)mm(λt)m−1 −λte=λλe−λt .λm!m!m=0m=1k−1X(2.18)Видим что правые части равенств (2.17) и (2.18) различаются только одним слагаемым (при m = k − 1 в (2.17)), таким образом,k−1Xk−2X (λt)m′(λt)m −λt(λt)k−1 −λt−λtpk (t) = λe−λλe=λe .m!m′ !(k − 1)!′m=0(2.19)m =0В частности, p1 (t) = λe−λt , t > 0, и время ожидания первого из элементарныхсобытий имеет экспоненциальное распределение.Пример 2.5.

Найти совместное распределение случайных величин τ1 , . . . , τn .Решение. Вновь рассмотрим сначала случай n = 2. Пусть t1 , t2 > 0. НайдёмP (t1 6 τ1 < t1 +∆t1 , t2 6 τ2 < t2 +∆t2 ) в первом порядке по ∆t1 , ∆t2 и воспользуемсядифференциальным равенством, задающим плотность распределения:pτ1,τ2(t1 , t2 ) =P (t1 6 τ1 < t1 + ∆t1 , t2 6 τ2 < t2 + ∆t2 ).∆t1 ,∆t2 →0∆t1 ∆t2limПоскольку τ1 < τ2 с вероятностью единица, pτ1,τ2(t1 , t2 ) = 0 при t1 > t2 . Поэтому положим t1 < t2 и выберем ∆t1 настолько малым, чтобы было выполнено неравенствоt1 + ∆t1 < t2 .Теперь перепишем искомую вероятность в терминах процесса Пуассона.

Воспользуемся эквивалентностью событий (2.15) при k = 1, 2 и запишем несколькоравносильных условий:t1 6 τ1 < t1 + ∆t1 ,ξ(t1 ) < 1,ξ(t1 ) = 0,t2 6 τ2 < t2 + ∆t2mξ(t1 + ∆t1 ) > 1,mξ(t1 + ∆t1 ) = 1,ξ(t1 ) − ξ(0) = 0,ξ(t2 ) < 2,ξ(t2 + ∆t2 ) > 2ξ(t2 ) = 1,ξ(t2 + ∆t2 ) > 2(2.20)mξ(t1 + ∆t1 ) − ξ(t1 ) = 1,ξ(t2 ) − ξ(t1 + ∆t1 ) = 0,ξ(t2 + ∆t2 ) − ξ(t2 ) > 1,где мы учли, что t1 + ∆t1 < t2 и что траектории процесса Пуассона не убывают.Кроме того, в силу 0 < t1 < t1 + ∆t1 < t2 < t2 + ∆t2 все приращения в последнемблоке в (2.20) независимы (ξ(0) = 0 с вероятностью единица). В результате имеемP (t1 6 τ1 < t1 + ∆t1 , t2 6 τ2 < t2 + ∆t2 ) == P (ξ(t1 ) = 0) · P (∆ξ(∆t1 ) = 1) · P (∆ξ(t2 − t1 − ∆t1 ) = 0) · P (∆ξ(∆t2 ) > 1).(2.21)18Первые три вероятности очевидны,P (ξ(t1 ) = 0) = e−λt1 ,P (∆ξ(∆t1 ) = 1) = λ∆t1 e−λ∆t1 ,P (∆ξ(t2 − t1 − ∆t1 ) = 0) = e−λ(t2 −t1 −∆t1 ) = e−λ(t2 −t1 ) e−λ∆t1 ,а последнюю вероятность запишем какP (∆ξ(∆t2 ) > 1) = 1 − P (∆ξ(∆t2 ) = 0) = 1 − e−λ∆t2 = λ∆t2 + o(∆t2 ).Записываем (2.21) в первом порядке малости по ∆t1 , ∆t2 .

Мы уже имеем в явномвиде ∆t1 , ∆t2 во втором и четвёртом сомножителях в правой части (2.21), поэтомув показателях экспонент кладём ∆tk = 0, суммируем показатели экспонент и получаем окончательный ответP (t1 6 τ1 < t1 + ∆t1 , t2 6 τ2 < t2 + ∆t2 ) = λ2 e−λt2 · ∆t1 ∆t2 ,откуда (не забываем про ограничение 0 < t1 < t2 !)(λ2 e−λt2 при 0 < t1 < t2 ,pτ1,τ2(t1 , t2 ) =0при прочих t1 , t2 .(2.22)Нетрудно получить обобщение на случай произвольного n. Если 0 < t1 < · · · < tnи ∆t1 , . . . , ∆tn−1 настолько малы, что t1 + ∆t1 < t2 , . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
468,8 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее