Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. . dxn .4Пример 1.2. Пусть случайная величина ν имеет нормальное распределение с параметрами µ = 0, σ 2 = 1, а случайный процесс задан как ξ(t) = t + ν, t > 0. Найдемфункции распределения данного случайного процесса.Решение. Имеем для n = 1F (x, t) = P (ξ(t) < x) = P (t + ν < x) = P (ν < x − t) = Fν (x − t),где Fν ( · ) – функция распределения случайной величины ν, имеющей нормальноераспределение с параметрами µ = 0, σ 2 = 1,Z z21e−u /2 du,−∞ < z < +∞,Fν (z) = √2π −∞Поскольку случайная величина ν имеет плотность распределения pν ( · ), мы можемзаписатьdx F (x, t) = Fν ((x + dx) − t) − Fν (x − t) = pν (x − t) dx,21pν (z) = √ e−z /2 ,−∞ < z < +∞.2πМы получили, что наш случайный процесс имеет одномерную плотность распределения: p(x, t) = pν (x − t) при всех значениях x ∈ R и t > 0.Для n = 2 имеем аналогичноF (x, t) = P (ξ(t1 ) < x1 , ξ(t2 ) < x2 ) = P (ν < x1 − t1 , ν < x2 − t2 ).Понятно, что система неравенств ν < x1 − t1 и ν < x2 − t2 эквивалента неравенствуν < x1 − t1 , если x1 − t1 < x2 − t2 , и неравенству ν < x2 − t2 , если x2 − t2 < x1 − t1 .Другими словами,F (x, t) = P (ν < x∗ − t∗ ),x∗ − t∗ = min(x1 − t1 , x2 − t2 ).(1.11)Аналогично, формулаF (x, t) = Fν (x∗ − t∗ ),x∗ − t∗ = min(x1 − t1 , .

. . , xn − tn ),очевидно, задаёт n-мерную функцию распределения нашего случайного процесса.Вернёмся к n = 2 и попробуем найти двумерную плотность распределения:dx F (x, t) = P (x1 6 ξ(t1 ) < x1 + dx1 , x2 6 ξ(t2 ) < x2 + dx2 ) == P (x1 − t1 6 ν < x1 + dx1 − t1 , x +2 −t2 6 ν < x2 + dx2 − t2 ) == P ν ∈ [z1 , z1 + dx1 ) ∩ [z2 , z2 + dx1 ) ,z1 = x1 − t1 , z2 = x2 − t2 .Поскольку dx1 и dx2 бесконечно малы, интервалы [z1 , z1 + dx1 ) и [z2 , z2 + dx2 ) имеютнепустое пересечение, если и только если z1 = z2 . В самом деле, если, скажем, мыимеем z1 < z2 , то, выбирая достаточно малое dx1 , получим z1 + dx1 < z2 , при этоминтервалы пересекаться не будут. Если же z1 = z2 = z, то рассматриваемое пересечение равно [z, z + dz), где через dz мы обозначили (бесконечно малое) приращениеmin(dx1 , dx2 ).

Отсюдаdx F (x, t) = P (z 6 ν < z + dx) = pν (z) dz,5−∞ < z < +∞,где21z = x1 − t 1 = x 2 − t 2 ,dz = min(dx1 , dx2 ).pν (z) = √ e−z /2 ,2πТаким образом, приращение dx F (x, t) как функция, заданная в четырёхмерном пространстве (функция от двух двумерных переменных x = (x1 , x2 ) и t = (t1 , t2 )) отлично от нуля только на трёхмерной гиперплоскости, на которой x1 − t1 = x2 − t2 .При этом dx F (x, t) имеет (первый) порядок малости dz = min(dx1 , dx2 ) и не пропорционально dx1 dx2 , как это предписано формулой (1.10). Таким образом, двумернаяплотность распределения нашего случайного процесса не существует.

Тем более несуществуют и плотности распределения более высоких размерностей. Очевидно,что при n > 2 приращение dx F (x, t) отлично от нуля только на гиперплоскостиразмерности 2n − (n − 1) = n + 1:21dx F (x, t) = P (z 6 ν < z + dx) = √ e−z /2 dz,2πz = x1 − t 1 = · · · = xn − t n ,и dz = min(dx1 , . . . , dxn ).1.2.

Моментные функции случайного процесса.Определение 1.5. Пусть ξ(t), t ∈ T, – действительный случайный процесс. Если при каждом t ∈ T существует математическое ожидание случайной величины ξ(t), то функция m( · ) : T 7→ R, заданная равенствомt ∈ T,m(t) = M ξ(t),(1.12)называется математическим ожиданием случайного процесса ξ(t).Используя определение математического ожидания, запишем явную формулуZZM ξ(t) =x dF (x, t), если верно, что|x| dF (x, t) < ∞,t ∈ T.(1.13)RRЗдесь F ( · ) – одномерная функция распределения случайного процесса, а интегралпонимается в смысле Лебега–Стилтьеса. Условие абсолютной сходимости интегралав второй части (1.13) задаёт условие существования математического ожидания.Для комплексного случайного процесса математическое ожидание определяетсяв соответствии со свойством линейности:M ξ(t) = M Re ξ(t) + i Im ξ(t) = M Re ξ(t) + iM Im ξ(t),t ∈ T,(1.14)при условии, что математические ожидания реальной и мнимой частей случайногопроцесса существуют.

Таким образом определённое математическое ожидание естьфункция, заданная на T, со значениями в комплексной плоскости C.Очевидно, что если ξ̄(t) = Re ξ(t) − i Im ξ(t) есть процесс, комплексно-сопряжённый процессу ξ(t), то M ξ̄(t) = M ξ(t).Определение 1.6. Пусть ξ(t), t ∈ T, – комплексный случайный процесс. Еслипри каждых t, s ∈ T существуют математические ожидания M ξ(t) и M ξ(t)ξ̄(s), тофункция R : T ⊗ T 7→ C, заданная равенствомR(t, s) = M ξ(t) − M ξ(t) ξ(s) − M ξ(s) ,t, s ∈ T,(1.15)6называется ковариационной функцией случайного процесса ξ(t).Для действительного случайного процесса определение (1.15) принимает видR(t, s) = M ξ(t) − M ξ(t) ξ(s) − M ξ(s) ,t, s ∈ T.(1.16)Выражения в правых частях равенств (1.15) или (1.16) суть коэффициенты ковариации случайных величин ξ(t) и ξ(s). Также их можно переписать какR(t, s) = M ξ(t)ξ̄(s) − M ξ(t)M ξ̄(s),t, s ∈ T,(1.17)в случае действительного процесса ξ̄(s), разумеется, следует заменить на ξ(s).Положим в предыдущих равенствах t = s.Определение 1.7.

Функция D : T 7→ R+ , заданная формулой2Dξ(t) = M ξ(t) − M ξ(t)ξ(t)=ξ̄(t)==2M ξ(t) − M ξ(t) ,t ∈ T,(1.18)называется дисперсией случайного процесса ξ(t).В последнем определении мы использовали обозначение R+ = {x > 0} для положительной части действительной оси, в правой части первого равенства под знакомматематического ожидания стоит модуль комплекснозначной функции, а второе равенство даёт определение дисперсии действительного процесса.Свойства моментных функций случайного процесса вытекают из общих свойствматематического ожидания.

Мы здесь отметим только несколько из них.Ковариационная функция удовлетворяет равенству R(s, t) = R(t, s), в случае действительного процесса R(s, t) = R(t, s) для любых t, s ∈ T.Для любого набора комплексных чисел z1 , . . . , zn и любых значений t1 , .

. . , tn ∈ Tдля корреляционной функции (1.15) имеет место неравенствоnX(1.19)R(ti , tj )zi z̄j > 0.i,j=1Положим ξ ◦ (t) = ξ(t) − M ξ(t), тогда ξ¯◦ (s) = ξ̄(s) − M ξ̄(t) = ξ(s) − M ξ(s), и мыможем записатьXnnnXX◦◦◦◦R(ti , tj )zi z̄j =M ξ (ti )ξ̄ (tj )zi z̄j = Mξ (ti )ξ̄ (tj )zi z̄j =i,j=1=Mi,j=1Xni=1◦zi ξ (ti ) ·nXi,j=1¯◦z̄j ξ (tj )j=12X nzi ξ ◦ (ti ) > 0.= M =MXni=1◦zi ξ (ti ) ·Xnzj ξ ◦ (tj )j=1=i=1В случае действительного процесса, разумеется, следует заменить комплексные числа z1 , . . .

, zn на действительные, неравенство (1.19) при этом примет видnXi,j=1R(ti , tj )zi zj > 0,z1 , . . . , zn ∈ R,7t1 , . . . , tn ∈ T,а его доказательство проводится, как и выше, следует только убрать знаки комплексного сопряжения, а в последнем выражении можно заменить квадрат модулясуммы на просто квадрат суммы.Из неравенства Чебышёва вытекает, что если дисперсия случайного процесса равна нулю в точке t ∈ T, то для любого ε > 02 M ξ(t) − M ξ(t)Dξ(t)0 6 P ξ(t) − M ξ(t) > ε 6== 0,εεтаким образом, P ξ(t)−M ξ(t) > ε = 0, другими словами, P ξ(t)−M ξ(t) 6 ε = 1для любого ε > 0, и мы имеемP ξ(t) − M ξ(t) = 0 = P ξ(t) = M ξ(t) = 1,то есть при данном t сечение ξt случайного процесса по сути не является случайнойвеличиной: оно с вероятностью единица равно константе (величине M ξ(t)).Пример 1.3.

Пусть ξ1 (t) и ξ2 (t) – случайные процессы из примеров 1.1 и 1.2.Найти их математические ожидания и ковариационные функции.Решение. Имеем для всех t > 0P (ξ1 (t) = t) = P (ξ1 (t) = t−1 ) =1,2M ξ1 (t) = t ·1 1 1t + 1/t+ · =;2t 22для процесса из примера 1.2M ξ(t) = M (t + ν) = t + M ν = t,поскольку t – неслучайный параметр, а случайная величина ν имеет нормальноераспределение с параметром µ = M ν = 0.Для расчёта ковариационной функции воспользуемся формулой (1.17) в её варианте для действительных процессов:R(t, s) = M ξ(t)ξ(s) − M ξ(t)M ξ(s),t, s > 0,Получаем для процесса ξ1 (t) следующее: ξ1 (t)ξ1 (s) = tα · sα = (ts)α , поэтомуM ξ1 (t)ξ1 (s) = M (ts)α = (ts)1 ·11ts + 1/ts+ (ts)−1 · =.222В результатеR(t, s) =ts − s/t − t/s + 1/tsts + 1/ts t + 1/t s + 1/s−=,2224t, s > 0.Для процесса ξ2 (t) имеемM ξ(t)ξ(s) = M (t + ν)(s + ν) = ts + (t + s)M ν + M ν 2 = ts + 1,где мы воспользовались тем, что M ν = 0, M ν 2 = Dν + (M ν)2 = Dν = σ 2 = 1.ОтсюдаR(t, s) = ts + 1 − ts = 1,t, s > 0.8Итак, в данном случае ковариационная функция тождественно равна единице.Положив t = s, получим дисперсии:2t − 1/tt2 − 2 + 1/t2=,Dξ2 (t) = 1,t > 0.Dξ1 (t) =42Эти выражения, впрочем, можно было получить и непосредственно, рассчитав дисперсии случайных велчин tα и t + ν.1.3.

Характеристики

Список файлов лекций