Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(5.18)n→∞hnhnОбобщение теоремы 5.4 о с.к.-интегрируемости получается совершенно аналогично теореме о с.к.-дифференцируемости. Нужно только заменить дифференциальные отношения на интегральные суммы Дарбу:Υn =nXξ(t∗k )∆tk ,Υ◦nk=1=nXξ◦(t∗k )∆tk ,IMn =nXµ(t∗k )∆tk .k=1k=1Тогда Υn − Υm = Υ◦n − Υ◦m + IMn − IMm , и далее мы аналогично предыдущимрассуждениям получаем теорему.Теорема 5.7.
Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, с ненулевым математическиможиданием µ(t), t ∈ R, с.к.-интегрируем на отрезке [a, b] тогда и только тогда,когда выполнены следующие два условия: функция R( · ) интегрируема в квадрате[a, b] × [a, b] и функция µ( · ) интегрируема на отрезке [a, b].Аналогично (5.18) мы получаем, чтоZ bZMξ(t) dt =a56bM ξ(t) dt.a6. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МЕРА И ИНТЕГРАЛ ПО ЭТОЙ МЕРЕПусть на числовой прямой выбран и фиксирован конечный интервал [a, b) ненулевой длины.
Рассмотрим семейство D всевозможных интервалов ∆x = [x1 , x2 ) ⊂ [a, b)и отвечающее ему семейство случайных величинZ(∆x) : Ω → C,∆x ∈ D,т. е. в сущности некий специфический (по своему аргументу) случайный процесс.Определение 6.1. Семейство случайных величин Z(∆x), ∆x ∈ D, назовём ортогональной стохастической мерой, если оно удовлетворяет следующим условиям.• Существуют моменты первого и второго порядкаM Z(∆x) = 0,D(∆x) = M |Z(∆x)|2 < ∞,(6.1)другими словами, Z(∆x) ∈ H (гильбертова случайная величина).
Назовём функциюm( · ) : D → R+ ,m(∆x) = M |Z(∆x)|2 ,(6.2)структурной функцией.• Если ∆x1 ∩ ∆x2 = ∅, тоcov(Z(∆x1 ), Z(∆x2 )) = M Z(∆x1 )Z(∆x2 ) = 0,(6.3)последнее равенство можно записать как (Z(∆x1 ), Z(∆x2 ) = 0, что объясняет слово«ортогональная» в названии меры.• Если интервал ∆x представи́м как объединение двух непересекающихся4) интервалов, ∆x = ∆x1 + ∆x2 , то с вероятностью единицаZ(∆x) = Z(∆x1 ) + Z(∆x2 )(6.4)(аддитивность с вероятностью единица);• если интервал ∆x представи́м как объединение счётного числа непересекающихся интервалов, ∆x = ∆x1 + ∆x2 + · · · , то M |Z(∆x)|2 < ∞ и в среднем квадратичномZ(∆x) = Z(∆x1 ) + Z(∆x2 ) + · · · ,другими словами,2 ∞2 ∞ X XnnXX∆xk −Z(∆xk )M Z∆xk −Z(∆xk ) = Z → 0,k=1k=1k=1k=1n→∞(6.5)(счётная аддитивность в среднем квадратичном смысле);Введённая стохастическая мера не является неотрицательной, более того, её значения комплексны.
Привычным свойствам меры удовлетворяет спектральная функция m( · ) , заданная в (6.2).4) Отсутствие пересечения мы, как обычно в теории вероятностей, подчёркиваем, применяя знакплюс вместо знака объединения множеств.57Из сформулированных выше свойств (6.4) и (6.3) вытекает, что структурнаяфункция обладает свойством аддитивности: если ∆x = ∆x1 + ∆x2 для непересекающихся интервалов ∆x1 и ∆x2 , то мы имеемm(∆x) = M |Z(∆x)|2 = kZ(∆x1 + ∆x2 )k2 = kZ(∆x1 ) + Z(∆x2 )k2 == kZ(∆x1 )k2 + (Z(∆x1 ), Z(∆x2 )) + (Z(∆x1 ), Z(∆x2 )) + kZ(∆x2 )k2 == kZ(∆x1 )k2 + kZ(∆x2 )k2 = M |Z(∆x1 )|2 + M |Z(∆x2 )|2 = m(∆x1 ) + m(∆x2 ).Отсюда очевидным образом следует аддитивность меры для ∆x = ∆x1 + · · · + ∆xnпри любом конечном числе попарно не пересекающихся интервалов ∆x1 , . . .
, ∆xn : X2 XnnnXm(∆xk ).(6.6)M |Z(∆xk )|2 =∆xk =m(∆x) = M Zk=1k=1k=1Опираясь на требование (6.5), получим счётную аддитивность функции m( · ).Пусть ∆x = ∆x1 + ∆x2 + · · · . Введём для краткости следующие обозначения дляслучайных величин:XX X∞nndefdefζ == Z(∆x) = Z∆xk ,ζn == Z∆xk =Z(∆xk ).(6.7)k=1k=1k=1Тогда по определению структурной функцииM |ζ|2 = m(∆x),M |ζn |2 =nXk=1M |Z(∆xk )|2 =nXm(∆xk ).k=1Условие (6.5) в этих обозначениях записывается какM |ζ − ζn |2 = kζ − ζn k2 → 0приn → ∞.В предыдущем разделе мы покзали, что такая сходимость влечёт kζk → kζn k или,что эквивалентно, M |ζn |2 → M |ζ|2 при n → ∞. В терминах структурной функцииэто означает, чтоn∞XXm(∆x) = limm(∆xk ) =m(∆xk ).n→∞k=1k=1Таким образом, спектральная функция m( · ) , заданная на множестве всех конечных подынтервалов интервала [a, b), обладает свойствами счётно-аддитвной меры,которые аналогичны свойствам длины или вероятности.
В этом случае можно доопределить функцию m( · ) на все подмножества интервала [a, b), которые представимы как конечные или счётные объединения непересекающихся интервалов ∆x ∈ D.В результате получим, что m( · ) – счётно-аддитивная мера на сигма-алгебре борелевских подмножеств интервала [a, b).Интеграл по случайной мере.
Пусть задана спектральная мера Z(|∆x) соструктурной функцией m(∆x), m(∆x) ⊂ [a, b). Введём линейное пространство L2функций, действующих из [a, b) в C, и зададим в нём скалярное произведение инорму равенствамиZ bZ b2|g(x)|2 dF (x),kgk =g1 (x)g2 (x) dF (x),(g1 , g2 ) =aa58где F ( · ) – некоторая действительнозначная неотрицательная (в нашем курсе кусочно-непрерывная) неубывающая функция, от которой мы потребуем выполненияследующего условия для любого ∆x = [x1 , x2 ) ⊂ [a, b)Zm(∆x) =dF (x) = F (x2 ) − F (x1 ).(6.8)∆xИнтегралы в этих равенствах полностью аналогичны интегралу, определяющемуматематическое ожидание (интеграл Лебега–Стилтьеса).Заметим, что мы не помечаем скалярное произведение и норму никакими значками, по которым их можно отличить от скалярного произведения в H.
Предполагается, что природа элементов, для которых вычисляются скалярные произведенияили нормы, должна подсказать, в каком пространстве мы работаем.Имеет место следующая теорема о полноте пространства L2 , которую, как и теорему для пространства H, мы оставим без доказательства.Теорема 6.1. Последовательность {gn } функций из пространства L2 сходится к функции g ∈ H тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т.
е. длялюбого ε > 0 найдётся натуральное число N = N (ε) такое, что для всех m, n > Nимеет место неравенство kgn − gm k < ǫ (или, кратко, kgn − gm k → 0 для всехm, n → ∞).Построение интеграла начнём, как обычно, с интеграла от простых функций.Рассмотрим разбиение интервала [a, b) точками a = x0 < x1 < · · · < xn = b и функцию g( · ) : [a, b) → C, кусочно-постоянную на интервалах ∆xk = [xk−1 , xk ):(nX1, x ∈ ∆xk ,g(x) =gk χk (x),χk (x) =0, x ∈/ ∆xk .k=1Для такой функции положим по определениюZ bnXI=g(x) Zξ (dx) =gk Zξ (∆xk ).ak=1Очевидно, что M I = 0 в силу M Zξ (∆xk ) = 0.Отметим, что кусочно-постоянные функции образуют в L2 линейное многообразие, т. е.
линейная комбинация двух кусочно-постоянных функций также являетсякусочно-постоянной на более мелких интервалах разбиения. Для интервалов постоянства линейной комбинации ag(x)+bh(x) множество точек разбиения представляетсобой объединение точек разбиения для каждого из двух слагаемых g(x) и h(x).Лемма 6.10. Пустьg(x) =nXI=gk χk (x),k=1nXgk Zξ (∆xk ).k=1Тогда при выполнении равенства (6.8)22kIk = kgk =n ZXk=159∆xk|gk |2 dFξ (x),(6.9)где нормы случайной величины I и функции g определены соответственно в пространствах L2 и H.Доказательство. Вычислим указанные нормы. Имеем22 XX n n2 def2gk Zξ (∆xk )gk Zξ (∆xk ) = kIk == M |I| = M =k=1k=1=nXk=122|gk | kZξ (∆xk )k =nXk=122|gk | · M |Zξ (∆xk )| =nXk=1|gk |2 m(∆xk ),где мы воспользовались ортогональностью меры.
Учтём формулу (6.8), получимZnnn ZXXX222kIk =|gk | m(∆xk ) =|gk |dFξ (x) =|gk |2 dFξ (x).(6.10)k=1∆xkk=1C другой стороны,Z bZ22 defkgk ==|g(x)| dFξ (x) =a==nXak,k̃=1n ZXk=1Zba∆xkbk=1∆xk2 nX dFξ (x) =gχ(x)kkk=1gk ḡk̃ χk (x)χk̃ (x) dFξ (x) =n ZXk=1ab|gk |2 χk (x) dFξ (x) =|gk |2 dFξ (x),(6.11)где мы учли, что χ̃k (x)χ̃k̃ (x) ≡ 0 при k 6= k̃, а при k = k̃Z bZ bZ222|gk | |χk (x)| dFξ (x) =|gk | χk (x) dFξ (x) =aa∆xk|gk |2 dFξ (x).Сравнивая правые части равенств (6.10) и (6.11), получаем (6.9). Лемма доказана.Перейдём к построению интеграла от функции более общего вида. Пусть функция g( · ) : [a, b) → C представима как предел по норме пространства L2 ,(6.12)g(x) = lim gn (x),n→∞где функции gn ( · ), n = 1, 2, . .
. , кусочно-постоянные. Тогда kgn − gm k2 → 0 приn, m → ∞. Поскольку функцияR b gn − gm кусочно-постоянная, к ней мы можем применить лемму 6.9: если In = a gn (x) Zξ (dx), тоkIn − Im k2 = kgn − gm k2 → 0приn, m → ∞(заметим, что здесь первая норма задана в пространстве H, а вторая – в пространстве L2 ). Из полноты пространства H вытекает что существует случайная величина I, которую естественно назвать интегралом от функции g( · ) по стохастическоймере:Z bZ bdefgn (x) Zξ (dx) = lim In .(6.13)g(x) Zξ (dx) == limI=an→∞60an→∞Для аккуратного завершения построения интеграла по случайной мере следуетдоказать, что предел в (6.13) не зависит от представления функции g( ·) в видепредела кусочно-постоянных функций.
Это вытекает из следующих простейшихрассуждений. Пустьg = lim gn = lim g̃n ,n→∞n→∞другими словами, kg − gn k → 0 и kg − g̃n k → 0 при n → ∞. Тогда, как показановыше, при n → ∞ имеют место сходимости в пространстве HIn =Zbadefgn (x) Zξ (dx) → I,Ĩn ==Zabg̃n (x) Zξ (dx) → Ĩ,где I и Ĩ – некоторые случайные величины.Заметим, чтоkgn − g̃n k2 6 2kgn − gk2 + 2kg − g̃n k2 → 0,n → ∞.(6.14)При этом функция gn − g̃n кусочно-постоянная, поэтому kIn − Ĩn k = kgn − g̃n k.Таким образом,kI − Ĩk2 6 2kI − In k2 + 2kIn − Ĩn k2 + 2kĨn − Ĩk2 == 2|I − In k2 + 2kgn − g̃n k2 + 2kĨn − Ĩk2 → 0 приn → ∞.Это возможно, только если kI − Ĩk2 = 0. В силу неравенства ЧебышёваP (|I − Ĩ| > ε) 6M |I − Ĩ|2kI − Ĩk2== 0,ε2ε2для любого ε > 0, тем самым I = Ĩ с вероятностью единица.61.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
