Главная » Просмотр файлов » Наброски лекций. 2017

Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 12

Файл №1134111 Наброски лекций. 2017 (Наброски лекций. 2017) 12 страницаНаброски лекций. 2017 (1134111) страница 122019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

(5.18)n→∞hnhnОбобщение теоремы 5.4 о с.к.-интегрируемости получается совершенно аналогично теореме о с.к.-дифференцируемости. Нужно только заменить дифференциальные отношения на интегральные суммы Дарбу:Υn =nXξ(t∗k )∆tk ,Υ◦nk=1=nXξ◦(t∗k )∆tk ,IMn =nXµ(t∗k )∆tk .k=1k=1Тогда Υn − Υm = Υ◦n − Υ◦m + IMn − IMm , и далее мы аналогично предыдущимрассуждениям получаем теорему.Теорема 5.7.

Случайный процесс ξ(t), t ∈ R, с ненулевым математическиможиданием µ(t), t ∈ R, с.к.-интегрируем на отрезке [a, b] тогда и только тогда,когда выполнены следующие два условия: функция R( · ) интегрируема в квадрате[a, b] × [a, b] и функция µ( · ) интегрируема на отрезке [a, b].Аналогично (5.18) мы получаем, чтоZ bZMξ(t) dt =a56bM ξ(t) dt.a6. СТОХАСТИЧЕСКАЯ МЕРА И ИНТЕГРАЛ ПО ЭТОЙ МЕРЕПусть на числовой прямой выбран и фиксирован конечный интервал [a, b) ненулевой длины.

Рассмотрим семейство D всевозможных интервалов ∆x = [x1 , x2 ) ⊂ [a, b)и отвечающее ему семейство случайных величинZ(∆x) : Ω → C,∆x ∈ D,т. е. в сущности некий специфический (по своему аргументу) случайный процесс.Определение 6.1. Семейство случайных величин Z(∆x), ∆x ∈ D, назовём ортогональной стохастической мерой, если оно удовлетворяет следующим условиям.• Существуют моменты первого и второго порядкаM Z(∆x) = 0,D(∆x) = M |Z(∆x)|2 < ∞,(6.1)другими словами, Z(∆x) ∈ H (гильбертова случайная величина).

Назовём функциюm( · ) : D → R+ ,m(∆x) = M |Z(∆x)|2 ,(6.2)структурной функцией.• Если ∆x1 ∩ ∆x2 = ∅, тоcov(Z(∆x1 ), Z(∆x2 )) = M Z(∆x1 )Z(∆x2 ) = 0,(6.3)последнее равенство можно записать как (Z(∆x1 ), Z(∆x2 ) = 0, что объясняет слово«ортогональная» в названии меры.• Если интервал ∆x представи́м как объединение двух непересекающихся4) интервалов, ∆x = ∆x1 + ∆x2 , то с вероятностью единицаZ(∆x) = Z(∆x1 ) + Z(∆x2 )(6.4)(аддитивность с вероятностью единица);• если интервал ∆x представи́м как объединение счётного числа непересекающихся интервалов, ∆x = ∆x1 + ∆x2 + · · · , то M |Z(∆x)|2 < ∞ и в среднем квадратичномZ(∆x) = Z(∆x1 ) + Z(∆x2 ) + · · · ,другими словами,2 ∞2 ∞ X XnnXX∆xk −Z(∆xk )M Z∆xk −Z(∆xk ) = Z → 0,k=1k=1k=1k=1n→∞(6.5)(счётная аддитивность в среднем квадратичном смысле);Введённая стохастическая мера не является неотрицательной, более того, её значения комплексны.

Привычным свойствам меры удовлетворяет спектральная функция m( · ) , заданная в (6.2).4) Отсутствие пересечения мы, как обычно в теории вероятностей, подчёркиваем, применяя знакплюс вместо знака объединения множеств.57Из сформулированных выше свойств (6.4) и (6.3) вытекает, что структурнаяфункция обладает свойством аддитивности: если ∆x = ∆x1 + ∆x2 для непересекающихся интервалов ∆x1 и ∆x2 , то мы имеемm(∆x) = M |Z(∆x)|2 = kZ(∆x1 + ∆x2 )k2 = kZ(∆x1 ) + Z(∆x2 )k2 == kZ(∆x1 )k2 + (Z(∆x1 ), Z(∆x2 )) + (Z(∆x1 ), Z(∆x2 )) + kZ(∆x2 )k2 == kZ(∆x1 )k2 + kZ(∆x2 )k2 = M |Z(∆x1 )|2 + M |Z(∆x2 )|2 = m(∆x1 ) + m(∆x2 ).Отсюда очевидным образом следует аддитивность меры для ∆x = ∆x1 + · · · + ∆xnпри любом конечном числе попарно не пересекающихся интервалов ∆x1 , . . .

, ∆xn : X2 XnnnXm(∆xk ).(6.6)M |Z(∆xk )|2 =∆xk =m(∆x) = M Zk=1k=1k=1Опираясь на требование (6.5), получим счётную аддитивность функции m( · ).Пусть ∆x = ∆x1 + ∆x2 + · · · . Введём для краткости следующие обозначения дляслучайных величин:XX X∞nndefdefζ == Z(∆x) = Z∆xk ,ζn == Z∆xk =Z(∆xk ).(6.7)k=1k=1k=1Тогда по определению структурной функцииM |ζ|2 = m(∆x),M |ζn |2 =nXk=1M |Z(∆xk )|2 =nXm(∆xk ).k=1Условие (6.5) в этих обозначениях записывается какM |ζ − ζn |2 = kζ − ζn k2 → 0приn → ∞.В предыдущем разделе мы покзали, что такая сходимость влечёт kζk → kζn k или,что эквивалентно, M |ζn |2 → M |ζ|2 при n → ∞. В терминах структурной функцииэто означает, чтоn∞XXm(∆x) = limm(∆xk ) =m(∆xk ).n→∞k=1k=1Таким образом, спектральная функция m( · ) , заданная на множестве всех конечных подынтервалов интервала [a, b), обладает свойствами счётно-аддитвной меры,которые аналогичны свойствам длины или вероятности.

В этом случае можно доопределить функцию m( · ) на все подмножества интервала [a, b), которые представимы как конечные или счётные объединения непересекающихся интервалов ∆x ∈ D.В результате получим, что m( · ) – счётно-аддитивная мера на сигма-алгебре борелевских подмножеств интервала [a, b).Интеграл по случайной мере.

Пусть задана спектральная мера Z(|∆x) соструктурной функцией m(∆x), m(∆x) ⊂ [a, b). Введём линейное пространство L2функций, действующих из [a, b) в C, и зададим в нём скалярное произведение инорму равенствамиZ bZ b2|g(x)|2 dF (x),kgk =g1 (x)g2 (x) dF (x),(g1 , g2 ) =aa58где F ( · ) – некоторая действительнозначная неотрицательная (в нашем курсе кусочно-непрерывная) неубывающая функция, от которой мы потребуем выполненияследующего условия для любого ∆x = [x1 , x2 ) ⊂ [a, b)Zm(∆x) =dF (x) = F (x2 ) − F (x1 ).(6.8)∆xИнтегралы в этих равенствах полностью аналогичны интегралу, определяющемуматематическое ожидание (интеграл Лебега–Стилтьеса).Заметим, что мы не помечаем скалярное произведение и норму никакими значками, по которым их можно отличить от скалярного произведения в H.

Предполагается, что природа элементов, для которых вычисляются скалярные произведенияили нормы, должна подсказать, в каком пространстве мы работаем.Имеет место следующая теорема о полноте пространства L2 , которую, как и теорему для пространства H, мы оставим без доказательства.Теорема 6.1. Последовательность {gn } функций из пространства L2 сходится к функции g ∈ H тогда и только тогда, когда она фундаментальна, т.

е. длялюбого ε > 0 найдётся натуральное число N = N (ε) такое, что для всех m, n > Nимеет место неравенство kgn − gm k < ǫ (или, кратко, kgn − gm k → 0 для всехm, n → ∞).Построение интеграла начнём, как обычно, с интеграла от простых функций.Рассмотрим разбиение интервала [a, b) точками a = x0 < x1 < · · · < xn = b и функцию g( · ) : [a, b) → C, кусочно-постоянную на интервалах ∆xk = [xk−1 , xk ):(nX1, x ∈ ∆xk ,g(x) =gk χk (x),χk (x) =0, x ∈/ ∆xk .k=1Для такой функции положим по определениюZ bnXI=g(x) Zξ (dx) =gk Zξ (∆xk ).ak=1Очевидно, что M I = 0 в силу M Zξ (∆xk ) = 0.Отметим, что кусочно-постоянные функции образуют в L2 линейное многообразие, т. е.

линейная комбинация двух кусочно-постоянных функций также являетсякусочно-постоянной на более мелких интервалах разбиения. Для интервалов постоянства линейной комбинации ag(x)+bh(x) множество точек разбиения представляетсобой объединение точек разбиения для каждого из двух слагаемых g(x) и h(x).Лемма 6.10. Пустьg(x) =nXI=gk χk (x),k=1nXgk Zξ (∆xk ).k=1Тогда при выполнении равенства (6.8)22kIk = kgk =n ZXk=159∆xk|gk |2 dFξ (x),(6.9)где нормы случайной величины I и функции g определены соответственно в пространствах L2 и H.Доказательство. Вычислим указанные нормы. Имеем22 XX n n2 def2gk Zξ (∆xk )gk Zξ (∆xk ) = kIk == M |I| = M =k=1k=1=nXk=122|gk | kZξ (∆xk )k =nXk=122|gk | · M |Zξ (∆xk )| =nXk=1|gk |2 m(∆xk ),где мы воспользовались ортогональностью меры.

Учтём формулу (6.8), получимZnnn ZXXX222kIk =|gk | m(∆xk ) =|gk |dFξ (x) =|gk |2 dFξ (x).(6.10)k=1∆xkk=1C другой стороны,Z bZ22 defkgk ==|g(x)| dFξ (x) =a==nXak,k̃=1n ZXk=1Zba∆xkbk=1∆xk2 nX dFξ (x) =gχ(x)kkk=1gk ḡk̃ χk (x)χk̃ (x) dFξ (x) =n ZXk=1ab|gk |2 χk (x) dFξ (x) =|gk |2 dFξ (x),(6.11)где мы учли, что χ̃k (x)χ̃k̃ (x) ≡ 0 при k 6= k̃, а при k = k̃Z bZ bZ222|gk | |χk (x)| dFξ (x) =|gk | χk (x) dFξ (x) =aa∆xk|gk |2 dFξ (x).Сравнивая правые части равенств (6.10) и (6.11), получаем (6.9). Лемма доказана.Перейдём к построению интеграла от функции более общего вида. Пусть функция g( · ) : [a, b) → C представима как предел по норме пространства L2 ,(6.12)g(x) = lim gn (x),n→∞где функции gn ( · ), n = 1, 2, . .

. , кусочно-постоянные. Тогда kgn − gm k2 → 0 приn, m → ∞. Поскольку функцияR b gn − gm кусочно-постоянная, к ней мы можем применить лемму 6.9: если In = a gn (x) Zξ (dx), тоkIn − Im k2 = kgn − gm k2 → 0приn, m → ∞(заметим, что здесь первая норма задана в пространстве H, а вторая – в пространстве L2 ). Из полноты пространства H вытекает что существует случайная величина I, которую естественно назвать интегралом от функции g( · ) по стохастическоймере:Z bZ bdefgn (x) Zξ (dx) = lim In .(6.13)g(x) Zξ (dx) == limI=an→∞60an→∞Для аккуратного завершения построения интеграла по случайной мере следуетдоказать, что предел в (6.13) не зависит от представления функции g( ·) в видепредела кусочно-постоянных функций.

Это вытекает из следующих простейшихрассуждений. Пустьg = lim gn = lim g̃n ,n→∞n→∞другими словами, kg − gn k → 0 и kg − g̃n k → 0 при n → ∞. Тогда, как показановыше, при n → ∞ имеют место сходимости в пространстве HIn =Zbadefgn (x) Zξ (dx) → I,Ĩn ==Zabg̃n (x) Zξ (dx) → Ĩ,где I и Ĩ – некоторые случайные величины.Заметим, чтоkgn − g̃n k2 6 2kgn − gk2 + 2kg − g̃n k2 → 0,n → ∞.(6.14)При этом функция gn − g̃n кусочно-постоянная, поэтому kIn − Ĩn k = kgn − g̃n k.Таким образом,kI − Ĩk2 6 2kI − In k2 + 2kIn − Ĩn k2 + 2kĨn − Ĩk2 == 2|I − In k2 + 2kgn − g̃n k2 + 2kĨn − Ĩk2 → 0 приn → ∞.Это возможно, только если kI − Ĩk2 = 0. В силу неравенства ЧебышёваP (|I − Ĩ| > ε) 6M |I − Ĩ|2kI − Ĩk2== 0,ε2ε2для любого ε > 0, тем самым I = Ĩ с вероятностью единица.61.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
468,8 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее