Главная » Просмотр файлов » Наброски лекций. 2017

Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 3

Файл №1134111 Наброски лекций. 2017 (Наброски лекций. 2017) 3 страницаНаброски лекций. 2017 (1134111) страница 32019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Независимость приращений и одородность процесса. Отметим, чтов теории вероятностей часто отождествляют случайную величину и её распределение, другими словами, задавая случайную величину, определяют не функцию ξ(ω),ω ∈ Ω, а её функцию распределения F (x) = P (ξ < x), x ∈ R. Так, мы говорим, например, о нормально распределённых случайных величинах, подчёркивая именнохарактер их распределения, и не интересуемся тем стохастическим экспериментом,который лежит в основе их случайности.Аналогично задание случайного процесса почти всегда понимают как задание семейства его конечномерных распределений. Однако в общем случае определить многомерные распределения затруднительно, да и формулы весьма громоздки. В теории вероятностей можно существенно упростить выкладки, предположив независимость случайных величин.

Возникает вопрос, как задаётся независимость в теориислучайных процессов?Простейшей является идея положить любые два сечения процесса ξt и ξs независимыми при t 6= s. Или, если рассуждать в терминах моментных функций, считать,что R(t, s) = 0 при t 6= s. Такой случайный процесс называется дельта-коррелированным. Однако трудно представить себе физическое явление, математическоймоделью которого является дельта-коррелированный процесс: в самом деле, едвали сечения независимы в сколь угодно близкие моменты времени.

Куда более реалистичным является следующее предположение.Пусть 0 < t1 < t2 . Назовём приращением случайного процесса (от момента времени t1 к моменту времени t2 ) случайную величину ξ(t2 ) − ξ(t1 ). Будем говорить, чтослучайный процесс ξ(t), t > 0, является процессом с независимыми приращениями,если для любого n = 2, 3, .

. . и для любых t1 , . . . , tn таких, что 0 6 t0 < t1 < · · · < tn ,случайные величины ξ(tk ) − ξ(tk−1 ), k = 1, . . . , n независимы (в совокупности).Дадим ещё одно определение. Случайный процесс ξ(t), t > 0, является однородным (во времени), если для любых 0 6 s < t распределение приращения ξ(t+s)−ξ(s)зависит только от t, но не зависит от s. Смысл этого определения в том, что вероятностное поведение приращения определяется только длиной временно́го промежутка, на котором рассматривается приращение, но не положением этого промежуткана оси времени. Для однородных процессов мы будем использовать обозначениеξ(t + s) − ξ(s) = ∆ξ(t), памятуя о том, что случайная величина это в сущности еёраспределение.Итоги.

Случайный процесс есть семейство случайных величин, зависящих отпараметра t. Как правило, полагают, что этот параметр – действительное число,но возможны и другие способы его задания. Также, как правило, рассматриваютсяслучайные процессы со значениями в поле действительных или комплексных чисел. Выбрав одну случайную величину из этого семейства при заданном значении9параметра t, мы получим так называемое сечение случайного процесса в точке t.Конечномерные (n-мерные) распределения случайного процесса суть совместныераспределения n случайных величин, представляющих собой сечения случайногопроцесса в любых точках t1 , . .

. , tn ∈ T.Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса рассчитываются какматематическое ожидание и дисперсия сечения случайного процесса в каждой точке t ∈ T. Для их расчёта необходимо знать одномерную функцию распределения.Значение ковариационной функции случайного процесса равно коэффициенту ковариации двух сечений случайного процесса в точках t, s ∈ T. Для его расчётанеобходимо знать двумерную функцию распределения. Исследование функций распределения и моментных функций, а также методы их расчёта и анализа опираютсяна стандартные утверждения и теоремы теории вероятностей.Важными свойствами распределений случайных процессов являются независимость приращений процесса для непересекающихся промежутков времени и однородность процесса как независимость распределения приращения от начала отсчётавремени.

Эти свойства, с одной стороны, физически реальны, с другой стороны,существенно облегчают математическое исследование процесса.102. ПРОЦЕСС ПУАССОНАВ этом разделе мы рассмотрим один из самых известных случайных процессов,который может служить математической моделью широчайшего круга явлений.2.1. Определение и основные характеристики процесса Пуассона.Определение 2.1.

Случайный процесс ξ(t), t > 0, называется процессом Пуассона, если его приращения как случайные величины удовлетворяют следующим условиям:• однородность процесса во времени: для любых t > s > 0 распределение приращения ξ(t) − ξ(s) = ∆ξ(t − s) зависит только от t − s;• независимость приращений: для любого n = 2, 3, . . . и любых t0 , t1 , . . . , tnтаких, что 0 6 t0 < t1 < · · · < tn , приращения ∆ξ(tk − tk−1 ), k = 2, 3, . . . , n,как случайные величины независимы;• каждое его приращение распределено по Пуассону: для t > s > 0P (ξ(t) − ξ(s) = m) =(λ(t − s))m −λ(t−s)e,m!m = 0, 1, .

. .(2.1)(здесь λ = const, 0 < λ < ∞).• Наложим также условие, то процесс начинается в нуле: P (ξ(0) = 0) = 1.Непосредственно из определения вытекает, что сечение процесса для t > 0 можнозаписать как ξ(t) = ξ(t) − ξ(0), и оно распределено по Пуассону:P (ξ(t) = m) =(λt)m −λte ,m!m = 0, 1, .

. .(2.2)Также можно заметить, что это согласуется с P (ξ(0) = 0) = 1, если в (2.2) формально положить t = 0. Кроме того, условие однородности процеса согласовано с (2.1):распределение приращения полностью определяется параметром λ(t − s).Определим вероятностные характеристики процесса Пуассона.Найдём n-мерное распределение процесса Пуассона, т. е. для t1 , t2 , . . . , tn вычислимP (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , . .

. , ξ(tn ) = mn ).(2.3)В силу независимости распределения от порядка событий ξ(tj ) = mj , j = 1, 2, . . . , n,мы без ограничения общности можем считать, что t1 < t2 < · · · < tn . Далее,поскольку приращение ξ(tj ) − ξ(tj−1 ) распределено по Пуассону, данная случайнаявеличина неотрицательна (т. е. ξ(tj ) > ξj−1 ) с вероятностью единица, следовательно,P (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , . . . , ξ(tn) = mn ) 6= 0, только если m1 6 m2 6 · · · 6 mn .Для краткости последующих формул положим t0 = 0, m0 = 0. Нетрудно заметить,что равносильны событияξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , .

. . , ξ(tn ) = mnи∆ξ(t1 − t0 ) = m1 − m0 , ∆ξ(t2 − t1 ) = m2 − m1 , . . . , ∆ξ(tn − tn−1 ) = mn − mn−1 ;11при этом приращения ∆ξ(tj − tj−1 ) = ξ(tj ) − ξ(tj−1 ), j = 1, . . . , n, независимы и в соответствии с определениемP (∆ξ(tj − tj−1 ) = mj − mj−1 ) =(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1 −λ(tj −tj−1 )e.(mj − mj−1 )!ОтсюдаP (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , . . . , ξ(tn ) = mn ) == P (∆ξ(t1 −t0 ) = m1 −m0 , ∆ξ(t2 −t1 ) = m2 −m1 , . . . , ∆ξ(tn−tn−1 ) = mn −mn−1 ) =nY(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1 −λ(tj −tj−1 )=e,0 = m0 6 m1 6 · · · 6 mm .(m−m)!jj−1j=1Так выглядит n-мерное распределение процесса Пуассона. Можно привести этовыражение к более интересному виду: заметим, чтоnXj=1nX(mj − mj−1 ) = mn ,и, если положить pj =nXj=1λ(tj −tj−1 )λtnpj = 1,j=1=(tj − tj−1 ) = tn ,tj −tj−1,tnnYe−λ(tj −tj−1 ) = e−λtnj=1тоnnYY(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1m −mpj j j−1 .=mn(λtn )j=1j=1ПоэтомуnY(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1 −λ(tj −tj−1 )e=k!jj=1=(λtn )mn −λtne· P p1 ,p2 ,...,pn (m1 − m0 , m2 − m1 , .

. . , mn − mn−1 ),mn !гдеP p1 ,p2 ,...,pn (k1 , k2 , . . . , kn ) =k 1 ! k 2 ! . . . kn !pk11 pk22 . . . pk1n(k1 + k2 + · · · + kn )!(2.4)(2.5)есть так называемая полиномиальная вероятность. Она является обобщением биk k m−kномиальной вероятности Cmp qна случай, когда в каждом из m независимых испытаний мы имеем не два возможных исхода (успех и неудачу), а исхододного из n типов. При этом p1 , p2 , . . . pn задают распределение этих возможныхисходов в единичном акте эксперимента (p1 + p2 + · · · + pn = 1).

ВероятностьP p1 ,p2 ,...,pn (k1 , k2 , . . . , kn ) есть вероятность того, что в mn независимых испытаниях исход первого типа случится k1 раз, исход второго типа случится k2 раз и т. д.,вплоть до того, что исход n-го типа случится kn раз, при этом k1 +k2 +· · ·+kn = mn ,т. е. в сумме мы имеем полное число испытаний.При n = 2 вероятность P p1 ,p2 ,...,pn (k1 , k2 , . . .

, kn ) переходит в биномиальную, и мыимееем произведение пуассоновой и биномиальной вероятности:P (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 ) =(λt2 )m2 −λt2m1 m1 m2 −m1e· Cmp q,2m2 !12p=t1t2 − t1, q=.t2t2Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию процесса Пуассона. Напрямую из свойств распределения Пуассона получаем, чтоM ξ(t) = λt,Dξ(t) = λt.Можно сказать, что λ равно среднему числу элементарных событий в промежуткеединичной длительности (при t = 1). Параметр λ называется интенсивностьюпроцесса Пуассона.Для расчёта ковариационной функции воспользуемся условием P (ξ(0) = 0) = 1и запишем для t > sξ(s) = ξ(s) − ξ(0),ξ(t) = ξ(t) − ξ(s) + ξ(s) − ξ(0),причём приращения α = ξ(s)−ξ(0) и β = ξ(t)−ξ(s) независимы. В результате имеемM ξ(t)ξ(s) = M α(α + β) = M α2 + M αβ = (Dα + M α2 ) + M α · M βили, возвращаясь к исходным обозначениям и используя выписанные выше выражения для математического ожидания и дисперсии,M ξ(t)ξ(s) = Dξ(s) + M 2 ξ(s) + M ξ(s) · M (ξ(t) − ξ(s)) == λs + (λs)2 + λs(λt − λs) = λs + λs · λt.ОтсюдаR(t, s) = M ξ(t)ξ(s) − M ξ(t)M ξ(s) = λs,t > s.Значения ковариационной функции при t < s получаются взаимной заменой t ↔ s:R(t, s) = λt,t < s.Два последних выражения можно объединить в одно R(t, s) = λ min(t, s) – так выглядит ковариационная функция процесса Пуассона.Замечание 2.1.

Если (комплекснозначный) случайный процесс ξ(t), t > 0, имеет независимые приращения, т. е. для любых 0 < t1 < · · · < tn случайные величиныξ(t2 ) − ξ(t1 ), . . . , ξ(tn ) − ξ(tn−1 ) независимы, и случайный процесс начинается в нуле,т. е. P (ξ(0) = 0) = 1, то(2.6)R(t, s) = Dξ(u)u=min(t,s) .В самом деле, если мы положим ξ ◦ (t) = ξ(t) − M ξ(t) при всех t > 0, то случайныйпроцесс ξ ◦ (t) также будет иметь независимые приращения, при этомM ξ ◦ (t) = M ξ ◦ (t) = 0,Dξ ◦ (t) = M |ξ ◦ (t)|2 = Dξ(t)и P (ξ ◦ (0) = 0) = 1. При 0 < s < t мы имеем аналогично предыдущим рассуждениямR(t, s) = M (ξ(t) − M ξ(t))( ξ(s) − M ξ(s) ) = M ξ ◦ (t)ξ ◦ (s) == M ξ ◦ (t) − ξ ◦ (s) + ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) == M (ξ ◦ (t) − ξ ◦ (s)) · M ( ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) ) + M (ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0))( ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) ) == 0 + M |ξ ◦ (s)|2 = Dξ(s).При t < s мы получаем R(t, s) = Dξ(t).

Оба случая объединяются в общую формулу (2.6), справедливую для любого случайного процесса с независимыми приращениями, начинающегося в нуле.132.2. Пуассонов поток требований. Рассмотрим физические явления, математической моделью которых может служить процесс Пуассона. Предположим,что в любой момент времени t > 0 может случайным образом произойти или непроизойти некоторое событие, которое само имеет нулевую длительность. Будемназывать эти события требованиями, чтобы отличать от других, более сложных,случайных событий, возникающих в нашем рассмотрении. Пусть ξ(t) – число требований, поступивших к моменту времени t, т.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
468,8 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее