Наброски лекций. 2017 (1134111), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Независимость приращений и одородность процесса. Отметим, чтов теории вероятностей часто отождествляют случайную величину и её распределение, другими словами, задавая случайную величину, определяют не функцию ξ(ω),ω ∈ Ω, а её функцию распределения F (x) = P (ξ < x), x ∈ R. Так, мы говорим, например, о нормально распределённых случайных величинах, подчёркивая именнохарактер их распределения, и не интересуемся тем стохастическим экспериментом,который лежит в основе их случайности.Аналогично задание случайного процесса почти всегда понимают как задание семейства его конечномерных распределений. Однако в общем случае определить многомерные распределения затруднительно, да и формулы весьма громоздки. В теории вероятностей можно существенно упростить выкладки, предположив независимость случайных величин.

Возникает вопрос, как задаётся независимость в теориислучайных процессов?Простейшей является идея положить любые два сечения процесса ξt и ξs независимыми при t 6= s. Или, если рассуждать в терминах моментных функций, считать,что R(t, s) = 0 при t 6= s. Такой случайный процесс называется дельта-коррелированным. Однако трудно представить себе физическое явление, математическоймоделью которого является дельта-коррелированный процесс: в самом деле, едвали сечения независимы в сколь угодно близкие моменты времени.

Куда более реалистичным является следующее предположение.Пусть 0 < t1 < t2 . Назовём приращением случайного процесса (от момента времени t1 к моменту времени t2 ) случайную величину ξ(t2 ) − ξ(t1 ). Будем говорить, чтослучайный процесс ξ(t), t > 0, является процессом с независимыми приращениями,если для любого n = 2, 3, .

. . и для любых t1 , . . . , tn таких, что 0 6 t0 < t1 < · · · < tn ,случайные величины ξ(tk ) − ξ(tk−1 ), k = 1, . . . , n независимы (в совокупности).Дадим ещё одно определение. Случайный процесс ξ(t), t > 0, является однородным (во времени), если для любых 0 6 s < t распределение приращения ξ(t+s)−ξ(s)зависит только от t, но не зависит от s. Смысл этого определения в том, что вероятностное поведение приращения определяется только длиной временно́го промежутка, на котором рассматривается приращение, но не положением этого промежуткана оси времени. Для однородных процессов мы будем использовать обозначениеξ(t + s) − ξ(s) = ∆ξ(t), памятуя о том, что случайная величина это в сущности еёраспределение.Итоги.

Случайный процесс есть семейство случайных величин, зависящих отпараметра t. Как правило, полагают, что этот параметр – действительное число,но возможны и другие способы его задания. Также, как правило, рассматриваютсяслучайные процессы со значениями в поле действительных или комплексных чисел. Выбрав одну случайную величину из этого семейства при заданном значении9параметра t, мы получим так называемое сечение случайного процесса в точке t.Конечномерные (n-мерные) распределения случайного процесса суть совместныераспределения n случайных величин, представляющих собой сечения случайногопроцесса в любых точках t1 , . .

. , tn ∈ T.Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса рассчитываются какматематическое ожидание и дисперсия сечения случайного процесса в каждой точке t ∈ T. Для их расчёта необходимо знать одномерную функцию распределения.Значение ковариационной функции случайного процесса равно коэффициенту ковариации двух сечений случайного процесса в точках t, s ∈ T. Для его расчётанеобходимо знать двумерную функцию распределения. Исследование функций распределения и моментных функций, а также методы их расчёта и анализа опираютсяна стандартные утверждения и теоремы теории вероятностей.Важными свойствами распределений случайных процессов являются независимость приращений процесса для непересекающихся промежутков времени и однородность процесса как независимость распределения приращения от начала отсчётавремени.

Эти свойства, с одной стороны, физически реальны, с другой стороны,существенно облегчают математическое исследование процесса.102. ПРОЦЕСС ПУАССОНАВ этом разделе мы рассмотрим один из самых известных случайных процессов,который может служить математической моделью широчайшего круга явлений.2.1. Определение и основные характеристики процесса Пуассона.Определение 2.1.

Случайный процесс ξ(t), t > 0, называется процессом Пуассона, если его приращения как случайные величины удовлетворяют следующим условиям:• однородность процесса во времени: для любых t > s > 0 распределение приращения ξ(t) − ξ(s) = ∆ξ(t − s) зависит только от t − s;• независимость приращений: для любого n = 2, 3, . . . и любых t0 , t1 , . . . , tnтаких, что 0 6 t0 < t1 < · · · < tn , приращения ∆ξ(tk − tk−1 ), k = 2, 3, . . . , n,как случайные величины независимы;• каждое его приращение распределено по Пуассону: для t > s > 0P (ξ(t) − ξ(s) = m) =(λ(t − s))m −λ(t−s)e,m!m = 0, 1, .

. .(2.1)(здесь λ = const, 0 < λ < ∞).• Наложим также условие, то процесс начинается в нуле: P (ξ(0) = 0) = 1.Непосредственно из определения вытекает, что сечение процесса для t > 0 можнозаписать как ξ(t) = ξ(t) − ξ(0), и оно распределено по Пуассону:P (ξ(t) = m) =(λt)m −λte ,m!m = 0, 1, .

. .(2.2)Также можно заметить, что это согласуется с P (ξ(0) = 0) = 1, если в (2.2) формально положить t = 0. Кроме того, условие однородности процеса согласовано с (2.1):распределение приращения полностью определяется параметром λ(t − s).Определим вероятностные характеристики процесса Пуассона.Найдём n-мерное распределение процесса Пуассона, т. е. для t1 , t2 , . . . , tn вычислимP (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , . .

. , ξ(tn ) = mn ).(2.3)В силу независимости распределения от порядка событий ξ(tj ) = mj , j = 1, 2, . . . , n,мы без ограничения общности можем считать, что t1 < t2 < · · · < tn . Далее,поскольку приращение ξ(tj ) − ξ(tj−1 ) распределено по Пуассону, данная случайнаявеличина неотрицательна (т. е. ξ(tj ) > ξj−1 ) с вероятностью единица, следовательно,P (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , . . . , ξ(tn) = mn ) 6= 0, только если m1 6 m2 6 · · · 6 mn .Для краткости последующих формул положим t0 = 0, m0 = 0. Нетрудно заметить,что равносильны событияξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , .

. . , ξ(tn ) = mnи∆ξ(t1 − t0 ) = m1 − m0 , ∆ξ(t2 − t1 ) = m2 − m1 , . . . , ∆ξ(tn − tn−1 ) = mn − mn−1 ;11при этом приращения ∆ξ(tj − tj−1 ) = ξ(tj ) − ξ(tj−1 ), j = 1, . . . , n, независимы и в соответствии с определениемP (∆ξ(tj − tj−1 ) = mj − mj−1 ) =(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1 −λ(tj −tj−1 )e.(mj − mj−1 )!ОтсюдаP (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 , . . . , ξ(tn ) = mn ) == P (∆ξ(t1 −t0 ) = m1 −m0 , ∆ξ(t2 −t1 ) = m2 −m1 , . . . , ∆ξ(tn−tn−1 ) = mn −mn−1 ) =nY(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1 −λ(tj −tj−1 )=e,0 = m0 6 m1 6 · · · 6 mm .(m−m)!jj−1j=1Так выглядит n-мерное распределение процесса Пуассона. Можно привести этовыражение к более интересному виду: заметим, чтоnXj=1nX(mj − mj−1 ) = mn ,и, если положить pj =nXj=1λ(tj −tj−1 )λtnpj = 1,j=1=(tj − tj−1 ) = tn ,tj −tj−1,tnnYe−λ(tj −tj−1 ) = e−λtnj=1тоnnYY(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1m −mpj j j−1 .=mn(λtn )j=1j=1ПоэтомуnY(λ(tj − tj−1 ))mj −mj−1 −λ(tj −tj−1 )e=k!jj=1=(λtn )mn −λtne· P p1 ,p2 ,...,pn (m1 − m0 , m2 − m1 , .

. . , mn − mn−1 ),mn !гдеP p1 ,p2 ,...,pn (k1 , k2 , . . . , kn ) =k 1 ! k 2 ! . . . kn !pk11 pk22 . . . pk1n(k1 + k2 + · · · + kn )!(2.4)(2.5)есть так называемая полиномиальная вероятность. Она является обобщением биk k m−kномиальной вероятности Cmp qна случай, когда в каждом из m независимых испытаний мы имеем не два возможных исхода (успех и неудачу), а исхододного из n типов. При этом p1 , p2 , . . . pn задают распределение этих возможныхисходов в единичном акте эксперимента (p1 + p2 + · · · + pn = 1).

ВероятностьP p1 ,p2 ,...,pn (k1 , k2 , . . . , kn ) есть вероятность того, что в mn независимых испытаниях исход первого типа случится k1 раз, исход второго типа случится k2 раз и т. д.,вплоть до того, что исход n-го типа случится kn раз, при этом k1 +k2 +· · ·+kn = mn ,т. е. в сумме мы имеем полное число испытаний.При n = 2 вероятность P p1 ,p2 ,...,pn (k1 , k2 , . . .

, kn ) переходит в биномиальную, и мыимееем произведение пуассоновой и биномиальной вероятности:P (ξ(t1 ) = m1 , ξ2 (t2 ) = m2 ) =(λt2 )m2 −λt2m1 m1 m2 −m1e· Cmp q,2m2 !12p=t1t2 − t1, q=.t2t2Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию процесса Пуассона. Напрямую из свойств распределения Пуассона получаем, чтоM ξ(t) = λt,Dξ(t) = λt.Можно сказать, что λ равно среднему числу элементарных событий в промежуткеединичной длительности (при t = 1). Параметр λ называется интенсивностьюпроцесса Пуассона.Для расчёта ковариационной функции воспользуемся условием P (ξ(0) = 0) = 1и запишем для t > sξ(s) = ξ(s) − ξ(0),ξ(t) = ξ(t) − ξ(s) + ξ(s) − ξ(0),причём приращения α = ξ(s)−ξ(0) и β = ξ(t)−ξ(s) независимы. В результате имеемM ξ(t)ξ(s) = M α(α + β) = M α2 + M αβ = (Dα + M α2 ) + M α · M βили, возвращаясь к исходным обозначениям и используя выписанные выше выражения для математического ожидания и дисперсии,M ξ(t)ξ(s) = Dξ(s) + M 2 ξ(s) + M ξ(s) · M (ξ(t) − ξ(s)) == λs + (λs)2 + λs(λt − λs) = λs + λs · λt.ОтсюдаR(t, s) = M ξ(t)ξ(s) − M ξ(t)M ξ(s) = λs,t > s.Значения ковариационной функции при t < s получаются взаимной заменой t ↔ s:R(t, s) = λt,t < s.Два последних выражения можно объединить в одно R(t, s) = λ min(t, s) – так выглядит ковариационная функция процесса Пуассона.Замечание 2.1.

Если (комплекснозначный) случайный процесс ξ(t), t > 0, имеет независимые приращения, т. е. для любых 0 < t1 < · · · < tn случайные величиныξ(t2 ) − ξ(t1 ), . . . , ξ(tn ) − ξ(tn−1 ) независимы, и случайный процесс начинается в нуле,т. е. P (ξ(0) = 0) = 1, то(2.6)R(t, s) = Dξ(u)u=min(t,s) .В самом деле, если мы положим ξ ◦ (t) = ξ(t) − M ξ(t) при всех t > 0, то случайныйпроцесс ξ ◦ (t) также будет иметь независимые приращения, при этомM ξ ◦ (t) = M ξ ◦ (t) = 0,Dξ ◦ (t) = M |ξ ◦ (t)|2 = Dξ(t)и P (ξ ◦ (0) = 0) = 1. При 0 < s < t мы имеем аналогично предыдущим рассуждениямR(t, s) = M (ξ(t) − M ξ(t))( ξ(s) − M ξ(s) ) = M ξ ◦ (t)ξ ◦ (s) == M ξ ◦ (t) − ξ ◦ (s) + ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) == M (ξ ◦ (t) − ξ ◦ (s)) · M ( ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) ) + M (ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0))( ξ ◦ (s) − ξ ◦ (0) ) == 0 + M |ξ ◦ (s)|2 = Dξ(s).При t < s мы получаем R(t, s) = Dξ(t).

Оба случая объединяются в общую формулу (2.6), справедливую для любого случайного процесса с независимыми приращениями, начинающегося в нуле.132.2. Пуассонов поток требований. Рассмотрим физические явления, математической моделью которых может служить процесс Пуассона. Предположим,что в любой момент времени t > 0 может случайным образом произойти или непроизойти некоторое событие, которое само имеет нулевую длительность. Будемназывать эти события требованиями, чтобы отличать от других, более сложных,случайных событий, возникающих в нашем рассмотрении. Пусть ξ(t) – число требований, поступивших к моменту времени t, т.

Характеристики

Список файлов лекций