П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В таблице 6 величин при й основных единицах, Поэтому из этих переменных можно составить два произведения без размерности. Найдем их. Одно из них выберем содержащим р, но це вкрдочазощим о, другое наоборот. так как р и У являются физическими переменными, находящимися в нашем распоряжении. Легко сразу найти эти произведения: Глава 8 например, для кривых давления пара, кривых плавления или кривых равновесия между двуми аллотропными модификациями твердого тела. При этих условиях мы имеем: й — (и+2)ди — 2)Ввди — 2) г ) 1 — )и — 1)/(и — 2)В»ди — 2)йй\ р !' где ~ — одна и та же функция для всех веществ, Л и В меняются в зависимости от вещества. Наш анализ показывает поэтому, что если ввести новые переменные РС, для давления и ОС2 для температуры, то уравнения для кривых равновесия для всех веществ будут одними и теми же.
Новые переменные давления и температуры получаются перемножением обычного давления и температуры на постоянные факторы и могут быть названы привведен ными давлением и т с м п е р а т у р о й. Уравнение Ван дер Ваальса явлнется частным случаем такого уравнения, становящегося универсальным в приведенных переменных. Рассмотрим теперь какое-нибудь иное физическое свойство вещества, которое желательно выразить через наши переменные. Мы должны составить для этого новое произведение без размерности, содержащее рассматриваемую величину.
Наиболее удобно выразить это произведение через величины т,я, Л и В, так как они физически не изменяютсн для данного вещества. Выражение любой физической величины с точки зрения размерностей через эти величины всегда возможно, если только детерминант показателей т, я, Л и В не равен нул)о. Это равенство, как легко видеть, имеет место только в случае и = +2, т.е, в тривиальном случае одного только притяжения.
Поэтому в общем случае каждое физическое свойство, назовем его в„), может быть выражено в форме: и-)-2 4 и — 1 1 ~~ = СОПЛ) ° Р(РА " 2Ви 2, А " 2Ви 2Ь)))~ где сопл» может содержать т,, я, А и В, но не включает р и В. Определим б»)/сопл); как 1<приведенное» значение б»).
Тогда мы приходим к важному выводу о том, что для всех веществ этого типа уравнение, связывающее приведенное значение 1„) с приведенными давлением и температурой, одно и то же. Это применимо не только к термодинамическим свойствам, но и ко всем свойствам, зависящим от той же структуры, например ь теплопроводности или вязкости. Применения анализа размерностей к теоретической 4изике 111 Знание множителей, переводящих измеряемые величины физических переменных в «приведенные», позволяет вычислить А, В и за длн рассматриваемых веществ, если только п определено из других источников.
Из приведенного анализа видно. что единственное предположение относительно п состояло в том, что и не имеет размерности. Мы не пользовались до сих пор предположением, высказанными вначале, что и одно и то же для всех веществ. От него, следовательно, можно отказаться, и мы приходим к следуипцей теореме: для всех веществ, свойстви которых определяются атомами с массой т и с законом взаимодеиствия Аг з + Вг " для любых значений А, В и п, существует закон соответственных состояний для всех узизических свойств.
Разумеется, можно повторить те же рассуждения, заменив внешние переменные р и У любыми двумя другими, подходящими для нашей цели, например, некоторыми термодинамическими потенциалами. Получится тот же результат, если только нет специальных соотношений между размерными показателями. Наличие или отсутствие таких специальных связей легко определяется в каждом отдельном случае. Каждому, приступающему к детальному развитию теории структуры вещества такого рода, полезно выполнить предварительное исследование, выяснить, подчиняются ли в действительности свойства вещества закону соответственных состояний и в зависимости от результата предпринимать следующие шаги.
Значение такой предварительной разведки бесспорно. Приведенные рассуждения в некоторых своих частях напоминают анализ М е с лен а (5), но опи значительно более общи. М е с лен применял свой анализ только к уравнению состоянии, предполагая существование критической или других особых точек. В качестве последнего применения анализа размерностей к теоретической физике рассмотрим определение так называемых абсолютных систем единиц. Абсолютные размеры обычных единиц фиксированы произвольно, причем могут существовать логические связи между различными видами единиц.
Единица длины, сантиметр, была, например, первоначально определена в связи с четвертью длины земного меридиана, а единица массы была выбрана как масса количества воды, занимающей единицу объема. Выбор земли и воды как объектов. фиксирующих размер единицы, конечно, совершенно произволен. 112 Глава 8 В нашем изложении мы многократно встречались с размерными постоянными. Обычно эти постоянные входят в какой-нибудь фактор пропорциональности в выражении эмпирически открытого закона природы.
Такими постоянными являются: постоянная тяготения. скорость света, квант действия, постоянная закона Стефана и т.д. Числовая не- личина размерных постоянных зависит от величины основных единиц. причем вид этой зависимости выражается формулами размерности. Меняя величину основных единиц. мы можем изменять как угодно числовую величину размерных постоянных. В частности, приписывая основным единицам подходящие величины, мы можем приравнять числовые значения некоторых размерных постоянных единице.
Но размерные постоянные обыкновенно являются выражением некоторого универсального закона природы. Если основные единицы выбраны так, что размерные постоннные равны единице, то тем самым мы определяем размер единиц по отношению к универсальным явленинм вместо того, чтобы связывать их с такими случайными явлениями, как, например, плотность воды при атмосферном давлении и определенной температуре.
Вследствие этого наши единицы становятся более значительными. Всякая система единиц, определенная таким способом относительно явлений универсальной распространенности и значения, может быть названа абсолют ной системой един и ц. Первая такая система дана Планком (6) в его книге о тепловом излучении. Он связал свою систему с квантом действия, и по изложению Планка может показаться, что до открытия кванта не было известно достаточного числа размерных постоянных подходящего характера, чтобы построить универсальную систему единиц, Это не так, Планку принадлежит первая иден о возможности абсолютных единиц, и он применил квант действия для нх определения, однако никакой необходимости оперировать именно с квантом нет,как будет видно из дальнейшего изложения. Определим по формулам размерности группу абсолютных единиц. данных Планком.
Для фиксации единиц мы выбираем постоннную тяготения, скорость света, квант действия и газовую постоянную. Мы требуем, чтобы основные единицы обладали такими размерами, чтобы эти универсальные постоянные все имели значение 1 в новой системе. Задачу можно упростить для нашего изложении, опустив газовую постоянную. потому что только в нее входит единица температуры. Ясно, однако, что после определения единиц массы, длины и времени можно сделать газовую постоянную равной единице соответству1ошим выбо- Применения анализа размерностей к теоретической 4изике 113 ром величины градуса. Нри определении величины новых единиц мы полагаем удобным пользоваться приемами главы 3, применявшимися при изменении единиц.
Напишем: постоянная тяготения С = 6,658 ° 10 ег ~ем~сея. з Числовое значение в новой системе единиц найдется подстановкой в формулу для С выражений новых единиц через старые. Если новая единица массы такова, что она равна з:з, новая единица длины равна р см, а новая единица времени равна с сек.з то мы получим уравнение для определения т, д и з, в котором числовое значение постоннной тяготения приравнено единице в новой системе: 6. 658 ° 10 зг сжз сек. з = 1(к г) (д см) (с сек.) Две другие размерные постоянные дадут два добавочных уравнения, требуемых длн определении кз у и с.
Зная числовые значения и формулы размерностей скорости света и кванта действия, сразу напишем: 3 10'осм сек. ' = ! (р см) (е сек.) 6,55 10 зз г смз сек. ~ = 1(л г)(у см) (з сек.) Эта система трех уравнений легко разрешается, н мы имеем: к = 5,43 10-"; у = 4,0 10-зз: ° = 1,34 10-«з. Это значит, что: новая единица массы равна 5,43 ° 10 ' г, > > длины > 4,02 ° 10 зз см, > » времени» 1,34 10 «з сек. До сих пор мы двигались вперед, все ясно и не возникает никаких вопросов. Однако иногда делаютсн попытки идти дальше в поисках некоторого абсолютного значения у полученных цифр; па них смотрят как на характеристику самого механизма, свнзанного с универсальными постоянными.
Эллингтон (7)з например. пишет: «Существуют три постоянных природы, занимающих доминирующее положение: скорость света, постоянная тяготения и квант действия. На их основе можно построить единицу длины, равную 4 10 зз с.н. Существу«от и другие естественные единицы длины, радиусы положительных и отрицательных зарядов. но их размеры совершенно другого, высшего порядка величины. За возможным исключением теории материи Осборна Рейнольдса ни одна теория не пыталась дойти до столь тонкого дробления. Но Глава 8 очевидно, что эта длина должна служить ключом к некоторой, весьма существенной структурем Спекуляции такого рода не могут возбудить симпатии в тех, кто разделяет несколько материалистическую точку зрения моего изложения.
Единственным фактом некоторого значения во всем этом нвляется только то, что размерные формулы трех постоянных позволили определить новые единицы, вместе с тем значение этого факта не может бьгп большим, потому что есть шансы при любой комбинации трех размерных постоянных, избранных наудачу, достигнуть того же самого. До тех пор, пока не будет раскрыта внутренняя связь между механизмами, определяющими постоянную тяготения, скорость света и кванта действия, размеры единиц, найденных указанным способом, едва ли могут иметь какое-либо иное значение помимо связи этих единиц с универсальными явлениями, Продолжим теперь вывод абсолютных единиц и перейдем к газовой постоянной.
Для нее мы имеем уравнение: Газовая постоянная! и = 2,06 10 гв г см сек. ' В = 1 (ж г)(1! слс)з(л сек.) ~!,епВ) вц у, з уже определены, и, следовательно, из уравнения сразу находится ш. Получаем 2,37 10зз, это значит, что новый градус должен равннться 2, 37 10зз обычных градусов Цельсия. Даже в самых фантастических спекуляциях астрофизики никто никогда не говорил о таких температурах, и будет ли профессор Эддингтон утверждать, что зта температура должна быть ключом к каким-то основным космическим явлениям? Теперь должна стать очевидной возможность получения систем абсолютных единиц разнообразными путями в зависимости от универсальных постоянных или явлений, численное значение которых желательно упростить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
