П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Аегопаписз ш ТЬеогу а»»»! Ехрепп»епк Ьопй»па»»з, Сгееп апг! Со, гл. 1Ъ', 1918. Литература Е. В. Ч' ! ! в о и., Аегопапс!св, Ло1ш Ъг'!!еу апй Яопв, гл. 11, 1920. Г. М е г 1г е 1. Спшг18еверве йег гг'агше!!Ьегсга пп8. Вгевйег1 и. 1е!рв!8. стр. 21, 1927. %. Я о 1 й а п. ОЬег Севе!гтгшй!д!ге!1в1огпге1п. МВсег1. й. Ьаггйевапвга11 Е СеггаввегЬшйе ппй 1!апр1ште1!ешепрв ш Ргепвв. Мш!в1. Ьапг!ийгсвсЬа11, Вогпапеп ппй Рога!ел. Том У11, тетр. 1, 1931.
В. Ев и ап1 -Р е11ег1е. Впг Гарр1!са1!оп йе Гапа1уве й1шепв1опе11е а Ге1пйе йе Гесоп!е1пспг ФпгЬп!ега. С. В. 196, 1968, 1933. гоп К агшйп. Со1с. ХасЬг. 547 (1912), см. также АЬЬапй1пп8еп апв в1ег Аегойупаш!всЬег1 1пвтйпс ап йег Тес!ш!вс!геп 11осЬвсЬа1е. АасЬеп. ГЛАВА 8 Применения анализа размерностей к теоретической физике Методы анализа размерностей должны играть более важную роль в теоретическом исследовании, чем это имело место до сих пор. Ни один исследователь пе должен бы позволять себе переходить к детальному решению задачи, не произведя предварительного анализа размерностей, касающегося характера решения, и не убедившись обращением к данным опыта, что точка зрения, положенная в основу составляемых уравнений, допустима.
Вероятно, наибольшее затруднение в теоретических задачах вызывал вопрос о размерных постоянных. Но именно в области теоретических исследований скорее всего можно ожидать понвленин размерных постоянных. Не имея ясного представления о природе этих постоянных и о том, когда следует ждать их появления, естественно сомневаться в применимости метода. Но после разбора на предшествующих страницах нопрос о размерных постоянных может без затруднений решаться в любых специальных задачах.
Неопределенность числового фактора пропорциональности также часто воспринимается как недостаток анализа размерностей, однако во многих теоретических задачах часто возможно получить сведения о порядке величины результата. Наше рассмотрение анализа размерностей показывает, что числовые коэффициенты в конечном результате суть итоги математических операций над подлинным уравнением движении (в общем смысле) системы, И з в е с т н о, о д— неко, на основании большой практики. что такие математические операции не проводят к появлению ни очень больших, ни очень малых числовых ф а к т о р о в.
Большие и малые числа в наших уравнениях почти всегда явля|отсн итогом подстановок числовых значений некоторых физических величин, например числа атомов в кубическом сантиметре, Применения анализа размерностей к теоретической йзизике 101 электростатического заряда электрона или скорости света. Если сохранить за этими величинами буквенное обозначение, то, применяя анализ размерностей, можно рассчитывать на то, что остальные числовые коэффициенты не будут большими или малыми.
Это наблюдение можно и обратить. Предположим, что мы подозреваем наличие связи между некоторыми величинами, но еще не достаточно знаем физическую систему, чтобы написать соответствующее уравнение, или даже не уверены в том, какие элементы должны войти в уравнение. Мы предполагаем, что между некоторыми величинами существует соотношение, а затем при помощи анализа размерностей находим форму этого соотношения. Подставляем затем в соотношение числовые значения физических величин и таким образом находим числовую величину неизвестного коэффициента.
Если этот коэффициент имеет величину порядка единицы (что иногда, при достаточной снисходнтельностиз может означать только, что коэффициент не является величиной порядка 10~"), то подозреваемое соотношение считается правдоподобным, и мы продолжаем работать в этом направлении, разыскивая точную связь между элементами. Если, наоборот, коэффициент оказывается очень большим илн очень малым, мы отказываемся от нашего предположения как от невероятного. Изложение этого метода и один интересный пример были даны Э й н ш те й но м (1) на заре изучения удельных теплот твердых тел и связи их с квантовыми явлениями.
Вопрос заключался в том, ие служат ли междуатомные силы, определяющие обычные упругие свойства твердых тел, также и силами, от которых зависят характеристические частоты в инфракрасном спектре. Это предположение, разумеется, имело важное значение для всей концепции сил в твердом теле и для вопроса о природе тепловых и оптических колебаний. Для грубого, приближенного анализа можно представить себе твердое тело, как чередование атомов, расположенных по вершинам кубов. Для анализа нам, очевидно, нужно знать массу атомов и их расстояние друг от друга (или число атомов в куб.
см.). Далее, если наше предположение о природе сил правильно, то эти силы достаточно характеризовать некоторой упругой постоянной, в качестве каковой выберем слчигааемость. Эти элементы достаточны для определения инфракрасной характеристической частоты. Производим обычный анализ задачи. 102 Глава 8 Таблица 19. Формула размерности Т М '1Тз Ь М Название величины Символ Характеристическая частота Сжимаемость Число атомов в куб.
см Масса атома ги Должно существовать одно произведение без размерности относительно этих величин. Оно равно Коз1ч'17~та. Поэтому окончательный результат имеет вид: К = сопв1 р з 7ч' '7зт Возьмем числовые величины, относящиеся к какому-нибудь действительному веществу, и, подставив в уравнение, найдем значение постоянной. Для меди К = 7 10 'з, о = 7,5 10'з, га = 1,06 1О зз и Ж = 7, 5. 10зз. При подстановке этих чисел получаем О, 18, т. е.
величину порядка единицы в согласии с предположением. Конечно, в настоящее время этот результат представлнет только исторический интерес: как основа теории теплоемкости твердого тела Дебая, он памятен блестящим подтверждением на опыте. Другой пример аргументации такого рода относительно величины постоянных дан Джинсом (2). Вопрос заключался в том, переживала ли Земля за время своей истории состояние гравитационной неустойчивости и имела ли эта неустойчивость какое-нибудь действительное отношение к ходу эволюции. Предварительное исследование по методу размерностей показало Джинсу, какова должна быть форма связи между такими переменными как средняя плотпостгч радиус, упругие постоянные и пр. в момент гравитационной неустойчивости.
Последующая подстановка числовых значений для Земли дала коэффициент порядка единицы. Это предварительное рассмотрение, таким образом, показало наличие основания в предположении о роли гравитационной неустойчивости в истории Земли. Па этой основе можно было приступить к детальному исследованию проблемы. Рассмотрим еще пример такой же аргументапии, на этот раз с отрицательным результатом. Попытаемся построить электродинамическую теорию тяготения, полагая, что гравитационное поле, связанное неизвестным нам образом со свойствами электрона, может быть получено Применения анализа размерностей к теоретической физике 103 применением электродинамических уравнений поля. В этих уравнениях имеется одна размернан постояннан с, отношение электромагнитных единиц к электростатическим. Известно, что с имеет размерность скорости и численно совпадает со скоростью света.
В поисках предполагаемой связи мы рассматриваем заряд и массу электрона, характеризующие его свойства, скорость света и гравитационную постоянную. Производим анализ. Таблица 20. Симво г Формула размерности М гЬзТ М1121,212 Т вЂ” г М 1Т Название величины Постоянная тяготения Заряд электрона Масса электрона Скорость света У нас четыре переменных и три основных единицы, следовательно,мы ожидаем единственное произведение без размерности.
Это очевидно Снгзс 2, т.е скорость света в гипотетическое соотношение не входит. Окончательный результат имеет многозначительную простую форму: 2 С ж сопз1 ( — ) Подставляем числовые значении: С ж б,б»58. 10 в, гег = 5«З. 10 следовательно, постоянная равна 2,35 10 42. Постояннан оказывается непозволительно малой. и мы отказыва емся от предполагаемого соотношения, хотя простота размерного соот- ношения и останавливает внимание . Прим. ред. гтаблица, положеннаи в основу рассуждения, не полна, не включен «спин» элек- 1 Л трона равный — — 1Л -.. квантовая постояннаяй определяющий магнитные его 2 2«г свойства. Добавление «спина» дает простор составлению других произведений без е размерности, связанных или несвязанных с постоянной тяготения, например Лс 1веггичина порядка 10 зй Л«т. ~й 1веггичина порндка 10 еПг и т.д.
Составггяемые произведения оказываютсн илн весьма далекими от единицы по числовому Лс значению, или же близкими к ней (папример, 1, но имеющими размерность. 2 ггус / 104 Глава 8 Таблица 21. Форлщла размерности У1 Т вЂ” за — 1 М Ь Т Название величины Символ Теплопроводпость Сжимаемость на единицу массы Тепловое расширение на едини- цу массы Удельная теплота на единипу массы Абсолютная температура М '1зд ' ЬзТ зВ ' д Надо найти произведение без размерности из этих переменных. У нас пять переменных и четыре основных единицы, поэтому можно ожидать единственного произведения без размерности. Нас интересует р, полагаем поэтому показатель его в произведении равным единице.
Поэтому идентичность формул размерности не должна считаться априорным показателем существования физической связи. При существовании стольких разнообразных видов физических величии, выраженных при помощи немногих основных единиц, вполне возможны всякие случайные соотношении между ними. Без дальнейшего исследовании нельзя сказать, реально размерное соотношение или случайноф Так, например, сам по себе факт совпадения размерности кванта действил и углового момента еще не дает права предполагать наличие механизма, объясня1ощего квант тем или иным вращательным движением. Обратное утверждение, однако, всегда справедливо.
Если существует истинная физическая связь между некоторыми величинами, тогда имеет место и соотношение размерностей. Зтот вывод может служить полезным орудием исследования. Рассмотрим задачу, показывающую, что всякое действительное физическое соотношение предполагает и размерное соотношение. Предположим, что мы пытаемся построить теорию теплопроводности и разыскиваем связь между механизмом теплопроводности и механизмом, определяющим обычные термодинамические свойства вещества. Эти свойства можно конкретизировать как сжимаемость, тепловое расширение, удельную теплоту (все на единицу объема) и абсолютную температуру. Если только эти стороны механизма, регулирующие термодинамические свойства, одновременно определяют и теплопроводность, тогда возможно найти размерную связь между термодинамическими элементами и теплопроводностью. Формулируем задачу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
