П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если составить матрицу из коэффициентов, полученных из показателей формул размерностей, то оказывается, что каждый из трехрядных детерминантов, полученных из матрицы, равен нулю: 1 О О О 1 1 О 1 1 1 — 1 — 1 — 2 ΠΠΠ— 2 — 2 Это значит, что в данном частном случае имеется большее число произведений без размерности, чем указывается общим правилом. Это можно было предвидеть заранее. Прежде всего рассмотрение формул размерности показывает, что М и Т всегда входят в виде сочетания МТ -, и, следовательно., эта комбинация вместе может считаться за основную единицу. Таким образом, в задаче имеются всего две основных единицы вместо трех и четыре произведения без размерности вместо трех.
Далее данная задача относится к статике, в которой масса и время в результат входить не могут. Размерности всех величин должны быть написаны в терминах силы и длины как основных единиц. Это Примеры анализа размернеппеа замечание является физическим эквивалентом математическому соображенизо о том, что М и Т всегда встречаютсн в комбинации МТ ' (сила равна МТ з, умноженному на Ь).
Зная теперь. что существует еще одно произведение без размерности, можно найти пробой, что оно равно и окончательное решение принимает вид: ,)(Ь П. И) Такое решение не дает возможности сделать выводы о зависимости жесткости от размера балки. Но из элементарных соображений теории упругости нано, что длн тонких балок жесткость должна быть приблизительно пропорциональной ее ширине, при прочих равных условиях. Граничные условия таковы, что решение для балки двойной ширины приближенно может быть получено простым расположением рядом двух одинаковых балок первоначальной ширины. Поэтому Р должно иметь такузо форму, чтобы 1Г~-, —, —.,) приводилось к Ьаз~ —, —,), УЬ а* Р~ з'Д и 'з т.е., очевидно, что ) должно равнятьсн -у~ — ', — ).
Ь За', ИХ ~1з Е) Более ограниченное решение имеет, следовательно, такой вид: Я = РЗЬр( —, —.). Это решение показывает, что балка удвоенной длины будет иметь прежнюю жесткость, если одновременно удвоить ее высоту. Летальное решение, получаемое в теории упругости, показывает. что отношение — ' 7 входит в кубе, в виде множителя, и, следовательно, жесткость балки прямо пропорциональна кубу высоты и ширине, обратно пропорциональна кубу длины и прямо пропорциональна некоторой неизвестной функции упругих постоянных. Такой метод пополнения результатов анализа размерностей другими сведениями иногда очень полезен. У Р э л е я имеются многочисленные примеры этого.
Рэлей не всегда разделяет анализ на размерный и какой-либо иной и говорит, что результат может быть доказан анализом размерностей, хотя в действительности требуются те или иные 80 Глава 6 Таблица 12. Силеввл Формула размерности М1, 'Т з М 1 з 0 М1'Т '0 ' 11азвание величины Давление газа Масса атома Число атомов в единице объема Абсолютная температура Газовая постоянная на атом р 1У 0 А. добавочные сведения. Хороший пример этого можно найти в его работе о рассеннии света небом (2). Вывод, что рассеянный свет изменяется обратно пропорционально четвертой степени длины волны падающего света, получается добавлением к анализу размерностей следующего факта: «Па основании того, что нам известно о динамике вопроса 1 (отношение амплитуд падающего и рассеянного света) изменяется пропорционально Т (обьем рассеивающей частицы) и обратно пропорционально г (расстояния точки наблюдения от рассеивающей частицы)м До снх пор мы разбирали только механические задачи, но, разумеется, метод не ограничивается только этой областью, он применим к любым системам, законы которых можно выразить в форме, независимой от размера основных единиц измерении.
Рассмотрим, например, задачу из кинетической теории газов и найдем давление идеального газа. Атомы в кинетической теории рассматриваются как совершенные сферы, идеально упругие и обладающие исчезающе малыми размерами в сравнении с их взаимными расстояниями. Единственная размерная постоянная, требующаяся для определенин поведения атомов, это их масса.
Свойства агрегата таких атомов очевидно характеризуютсн плотностью газа и числом атомов на единицу объема. Проблема явно механическая, и давление может быть найдено нз расчета изменения количества движения атомов, ударяющихся о стенки сосуда в единицу времени и на единицу площади. Механическан система единиц, следовательно, предпочтительна. Однако в добавление к обычным механическим свойствам здесь приходится рассматривать элемент температуры. Как входит температура в уравнении движения системы? Очевидно, это осуществляется посредством газовой постоянной, которая определяет среднюю кинетическую энергию каждого атома в функции температуры.
Наш анализ располагается поэтому так: Примеры анализа размернаппеа наз дутуб Решение достигается как всегда. Значения показателей таковы: ел=О; бз= — 1; у= — 1: б= — 1. Произведение без размерности приобретает вид: рАР-'У-'1-', и окончательное решение будет: р = сопят АР1сВ, т.е. давление пропорционально газовой постоянной, плотности газа, абсолютной температуре и не зависит от массы отдельного атома, Формула для давления, получаемая в кинетической теории, отличается от написанной только тем, что вполне определяется числовое значение константы.
В этой задаче, как и в других проблемах того же типа, мы могли бы, если захотели, исключить температуру как независимую переменную, определив ее как энергию атома. Это вызовет только изменение размера градуса, но не изменит отношения каких-либо двух температур, как это и требуется нашими исходными предпосылками.
При таком определении температуры газовая постоянная, разумеется, должна быть положена равной единице. Мы будем иметь в таком случае три основных единицы и четыре переменные., т.е. снова существует только одно произведение без размерностей, и мы получим прежний результат. Проследим, однако, это в деталяхз что достаточно поучительно, Таблица 13. Символ Формула размерности М1, "Тз М Ь з М1,2Т вЂ” 2 Название везнлнины Давление газа Масса атома Число атомов в единице объема Абсолютная температура р Аз у Мы имеем пять переменных и четыре единицы.
Существует, следовательно, одно произведение без размерности. Нас интересует р, поэтому его показатель выбирается равным единице. Мы должны найти произведение: 82 Глава 6 Нам нужно найти произведение без размерности: р Ш а Ю Находим обычным способом показатели: о=О;,3= — 1; у= — 1., и решение задачи имеет вид: р = сопя| ° ХО. Это решение совпадает с предыдущим, за исключением отсутствия газовой постоянной, но поскольку в новой системе единиц газовал постоянная равна единице, оба решения тождественны, как это и следовало ожидать. Такая процедура применима, очевидно, к любой задаче, в решение которой входит газован постоянная. Температуру можно считать независимой единицей, если желательно., чтобы газовая постояннан фигурировала в явной форме, и наоборот, температуру можно определить так, что газовая постоннная будет равной единице, а температура будет иметь размерность энергии.
Тот же прием позволителен и в задачах, решение которых не содержит газовой постоянной. Однако определкн в таких задачах температуру как кинетическую энергию атома (или, более обще, энергию, приходящуюся на одну степень свободы) и полагая тем самым газовую постоянную равной единице, мы ограничиваем основные единицы без компенсации. Поэтому результат хотя и будет верным, поскольку температура действительно пропорциональна энергии одной степени свободы, однако он будет давать меньше сведений, чем при меньшем ограничении единиц. Ясно, что эти замечания непосредственно применимы к задаче Рэлея о теплопроводности, разобранной в вводной главе. Многие чувствуют какую-то неопределенность в отношении размерности температуры.
Это происходит, вероятно, оттого, что на формулу размерности смотрят как на некоторое утверждение о физической природе величины, содержащеесн в определении. Абсолютная температура, которую мы только что применяли, есть термодинамическая абсошотная температура, определяеман на основании второго начала термодинамики. Трудно представить себе, каким образом сложный комплекс физических операций, связанный с применением второго начала (в той форме как это дано 11 е л ь в и н о м при определении абсолют- Примеры анализа размернаетеа ной температуры) может найти отражение в простой формуле размерности. С другой стороны, очевидно, что, например, измерения энергии входят в применения второго начала, и обычные механические единицыз может быть, войдут тем или иным путем в формулы размерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
