П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Таким образом получается (я — ьч) значений, определяющих (я — кч) произведений, не имеющих размерности. Иногда это не возможно, и система величин а, Ь, с, ..., которой можно приписать произвольные значения, не может быть выбрана вполне свободно. Это имеет место в том случае, когда некоторые детерминанты из ряда показателей равны пуп|о.

Мы не будем развивать здесь общей теории, так как исключения позаботятся сами о себе, как это всегда бывает при решении конкретных задач. Заметим, что П-теорема не содержит ничего существенно нового, она не дает нам новых способов анализа задач, способов, отличных от тех, которыми мы уже пользовались во введении. Преимущества теоремы —. в ее удобстве, она представляет результат в такой форме, в которой им можно пользоватьсн с меньшим умственным напряжением и в весьма гибкой форме.

При помощи этой теоремы результаты анализа размерностей могут быть представлены в разнообразных формах, зависящих от переменных, которые нас наиболее интересуют. Все это составляет важное преимущество. Результат этого анализа размерностей пе ставит каких-либо ограничений в отношении формы функций, выражающих результаты опытов, ограничивается только форма аргументов.

Как бы ни сложна была функция, если она только удовлетворяет основным требованиям развитой выше теории, то всегда возможно перегруппировать члены таким образом, чтобы функция зависела только от аргументов, не име1ощих размерности. Пользуясь теоремой, мы обычно заинтересованы в том, чтобы выразить одну из величин в функции остальных. Это достигается решением функции для частного произведения без размерности, в котором содержитсл интересующая нас переменная. Затем это произведение без размерности умножается (так же, как и другая сторона уравнения) на обратную величину тех переменных, которые соединены в произведении без размерности, В результате па одной стороне уравнениин остается единственная переменная, в то время как на другой располагаются произведения остальных переменных в некоторых степенях, умноженные на произвольную функцию других произведений без размерности.

Эта произвольная функция может быть сколь угодно трансцендентна: она ничем не ограничена, только ее аргументы не должны Глава 4 обладать размерностью. Это согласуется с нашими привычными сведениями относительно возможных функциональных соотношений. з1ы привыкли к тому, что всякий аргумент под знаком трансцендентной функции не должен иметь размерности. Обычно говорят, что бессмысленно брать, например, гиперболический синус от времени, возможен только гиперболический синус от числа ~ог]. Замечание о том, что обычно аргумент гиперболического синуса в нашем анализе не имеет размерности, верно, однако приведенное только что объяснение этого неправильно. Нет основания, по которому мы не могли бы составить зЬ от числа, измеряющего некоторый промежуток времени в часах, или от числа яблок, помещающихся в мерке.

Обе операции вполне мыслимы, однако ограничения, налагаемые П-теоремой, таковы, что мы очень редко встречаемся с зЬ от величины, имеющей размерность. Если бы мы натолкнулись все же на такой случай, то перегруппировкой членов, как уже объяснено, можно освободиться от трансцендентной функции с размерным аргументом, слив две или большее число таких функций в ьЬ единственного аргумента, не имеющего размерности. Так, например, нет никаких препятствий к написанию уравнения падающего тела в такой форме: ай я = зЬФ~ но этого никто не станет делать, потому что такая форма много сложнее обычной. Это уравнение можно написать и в таком виде: зЬесйдт, — сЬвзЬд~ = О. В этом случае перегруппировка, требуеман для освобождения от трансцендентной функции размерного аргумента, уже не столь ясна, особенно если бы тригонометрическая форма стала привычной.

Однако и эта форма вполне пригодна для численных расчетов в том смысле, что она всегда будет давать верный результат и останется справедливой при изменении размера основных единиц. Еще один вывод в отношении показателей в связи с этими замечаниями о трансцендентных функциях. Ясно, что в общем случае не может быть показателя, имеющего размерность. Если таковой присутствует, его возможно комбинировать с другими так, что размерность исчезнет.

Но не существует никакого ограничения в отношении числовых значений показателей. они могут быть целыми, дробными или Литература иррациональными. Часто думают, что формула размерности некоторой величины не может содержать основных единиц в дробных степенях (6). Это заключение связано с общей точкой зрения на формулы размерностей как на выражение операций с конкретными физическими предметами: при таком взгляде на дело трудно приписать, например, какой-либо смысл времени в степени двух третей. Мне кажется, однако, одинаково трудным найти физический смысл для времени в степени минус два.

между тем возможность таких степеней допускается всеми. П-теорема в изложенной форме содержит все элементы, необходимые для наших целей. Однако в применениях имеется большой простор для выбора аргументов функции, что явствует из возможности различными способами выбрать независимые решения системы алгебраических уравнений. Избранный путь определяет форму произведений, не имеющих размерности, и наилучшая форма для этого находится в зависимости от характера проблемы.

В главе шестой мы рассмотрим несколько конкретных примеров, которые покажут, каким образом нужно выбирать произведения в специальных случанх. Литература [1] Е.В и с 1с1п кЬ аш. РЬуя. Кех. 4, 345, 1911. [2] Кон«Ь. 1)упагп1ся. [3] .1.Н,Лев па. Ргос. Коу. Яос. 76, 545, 1905. [4] Е. В и с1с1п 6 Ь а п1, см. (1), также Лонги. %аяЬ. Аса«1. 4, 347, 1914. [5] Е. В и с1с1п кЬ а ш, см. (1), стр. 346: «Такие выражения, как 16Ц нли я1п(Л пе встречаются в физических уравнениях, ибо никакой чисто арифметический оператор, за исключением простого числового множителя, не может быть применен к величине, которая сама не явлнется числом без размерности.

Мы не можем приписать никакого определенного смысла результату такой операцниы В связи с этим см. также стр. 266 книги Томпсона. [6] Я. Р. Т Ь о ш р я о п . Элементарные уроки по электричеству и магнетизму, стр. 352. «Также кажется абсурдным, что размерность единицы электричества должна иметь дробные показатели, ибо такие величины. как М'гз или 1'~~ не имеют смысла>.

Глава 4 1аг. Ч' г ! ! в пт е. РМ!. Маб. 34, 23, 1892: «Поскольку 1, М и Т являются основными единицами, мы не можем ожидать дробных степеней ... Теперь все динамические концепции строятся в конечном счете на основе эгих трех понятий: массы, длины и времени, а поскольку процесс является синтетическим, строягцим сложное из простого, все происходит в соответствии с принципами алгебры посредством целых степеней Ь., М и Т... Разумеется.

если масса, длина и время --- предельные физические концепции, мы не можем истолковать дробные степени Ь, М и Т., потому что мы пе в состоянии свести эти понятия к чему-либо более простому. Оставаясь на почве любой физической теории, мы не можем интерпретировать формулы, содержашие дробные показатели основных единицы Гллвл 5 Размерные постоянные и число основных единиц Существенный результат П-теоремы состоит в ограничении, налагаемом ею на число аргументов произвольной функции. Чем меньше аргументов, тем более ограничена функция, тем более исчерпывающий ответ мы получаем.

Если в задаче четыре переменных и три основных единицы, то наш анализ показывает, что имеется единственное произведение без размерности, которое можно определить, и что некоторая функция этого произведения равна нулю. Это эквивалентно утверждению, что в данном частном случае само произведение является некоторой постоянной, и мы имеем полные сведения о характере решения за исключением численной величины постоянной. Такое решение мы имели в первой главе при рассмотрении задачи о мантнике. Без применения анализа размерностей всякое непротиворечивое соотношение между четырьмя аргументами могло казаться возможным, и мы не могли бы догадаться об истинном решении.

Если число переменных на два болыпе, чем число основных, то будет два произведения без размерности, решением будет произвольная функция двух этих произведений, равная нулю. Эта функция может быть разрешена для одного из произведений в функции другого. С таким случаем мы встречались в задаче о теплопроводности. Разумеется, существенно знать, что решение имеет именно такую форму. Не применяя анализа размерностей, мы могли бы только утверждать, что существует некоторая функпия пяти переменных, равная нулю. Очевидно, в наших интересах, чтобы число аргументов, связанных функциональным соотношением, было минилсальнылс.

Переменные, входящие в уравнения, к которым применялся наш анализ, и являются всеми переменными, которые могут измениться численно по условиям задачи. Эти перезсенньсе могут быть разделены на две группы. Первая группа -- физические перезсенньсе, являющиеся мерой некоторых физических величин и могущие изменятьсн по величине во всей области, Глава 5 к которой применимы наши результаты.

Числа, измеряющие эти физические величины, могут меняться при изменении размера основных единиц. Ко второй группе относятся другие аргументы, имеющие характер коэффициентов в уравнении, они не изменяют числовой величины, если меннетсн только физическая система, но приобретают иное значение при перемене размера основных измернющих единиц.

Характеристики

Список файлов книги