П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Мы назвали их размерными постоянными. В реальных случанх мы интересуемся только физической задачей и стремимся найти связь между физическими переменными величинами. Размерные постоянные должны рассматриваться только как неизбежное зло, терпимое постольку, поскольку они способствуют получить нужные сведения о физических переменных. Итак, мы видим, что П-теорема применяетсн к агрегату физических переменных и размерных пас тониных, причем пас интересуют прежде всего только физические переменные.

Если число размерных постоянных столь велико, что число аргументов произвольной функции, допустимое П-теоремой, равно или больше числа одних физических переменных, то применение П-теоремы ничего не дает. Мы уже видели, что в наихудшем возможном случае число размерных постоянных не может превышать числа физических переменных, ибо любое эмпирическое уравнение может быть сделано полным введением по одной размерной постоянной на каждую физическую переменную.

Далее почти всегда число физических переменных равно или больше, чем число первичных единиц. Поэтому, если число размерных постоянных равно или больше числа физических переменных, то число произведений без размерности больше или равно числу физических переменных. В общем случае П-теорема не дает, следовательно, новых сведений. Поэтому крайне важно свести до минимума число размерных постоннных в уравнении.

Когда же следует ожидать размерных постоянных и каким образом в конкретной задаче узнать, что они собою представляют и каковы их формулы размерности? Ответ тесно связан с выбором таблицы физических величин, между которыми мы ищем связи. Мы уже видели, что недостаточно спросить: еЗависит ли результат от той или другой физической величины». Мы видели, например, в одной задаче, что хотя результат несомненно зависит от действия атомных сил, однако мы обошлись без включения их в наш анализ, и они не вошли в функциональную зависимость.

Размерные яошпоянные и число основных единиц Ответ на вопрос о том, какие переменные следует включать, требует большой физической опытности. Если мы хотим разобрать некоторую проблему методами механики, мы должны иметь достаточную уверенность, что задача действительно механическая и не содержит элементов, по существу не разрешимых при помощи обычных уравнений механики.

Мы должны понять, какие стороны явления могут быть оставлены без внимания, а какие. наоборот, сушественны для данного вопроса. Никто, конечно, не скажет, что в механической задаче атомные силы не имеют значения, но опыт показывает, что эти силы слагаются в некоторые комплексы, достаточно характеризуемые анализом, не опускающимся до рассмотрения деталей. Результаты такого анализа, пренебрегаюшего многими даже существенными сторонами положения, имеют силу при некоторых условиях, не слишком стеснительных.

Опытность, проявляемая в суждениях такого рода, простирается столь далеко, что мы почти инстинктивно знаем, доступна ли данная задача механической трактовке, или нет. Если задача поддается механическому решению, мы знаем уже по самому определению смысла механической системы, какого рода уравнения соответствуют движению составных частей системы и какова форма этих уравнений. Точно также по инстинкту мы угадываем, является ли система термодинамической, электрической или химической, и в каждом случае, знан смысл утверждения о той или иной природе явлении, мы предусматриваем законы, управляющие измененинми системы, и элементы, которые нужно принять во внимание при формулировке соотношения. Потребовалось огромное накопление опыта нескольких поколений, прежде чем стало возможным сказать, чго данная конкретная группа явлений есть механическая, электрическая или даже вообще физическая. Я полагаю, что в сущности те же сведения, которые требуются для решения вопроса о механической и электрической природе системы, нужны и для анализа размерностей.

Эти сведения подсказывают нам прежде всего, какие физические величины должны быть включены в таблицу, и затем позволяют определить, какие размерные постоянные требуются в данной задаче. Забудем на минуту все, что мы знаем об анализе размерностей и представим себе, что мы подходим к новой проблеме. Прежде всего, на основе накопленного веками опыта мы решаем, какова природа проблемы. Предположим, что мы решили, что перед нами механичес- Глава 5 кая задача. Мы знаем, более того, что движение системы управляется законами механики, и нам известны сами законы.

Мы выписываем определенные уравнения движения системы. Мы заботимся о включении всех уравнений движения, так что система уравнений, прн помощи которой устанавливается связь между частями системы, имеет единственное решение. Мы убеждены, на основании нашего прежнего опыта., что в существенном нами представлены все элементы задачи. что наши уравнения соответствуют действительности по крайней мере в отношении некоторых сторон явления и что решение уравнений правильно опишет свойства разобранной нами системы.

Предположим, что мы не ошиблись, факт выполнения наших предсказаний значит только то, что мы овладели некоторой группой явлений природы. Проницательный наблюдатель (таким исторически впервые оказался Ф у р ь е (1)) замечает, что уравнение, посредством которого анализируется связь между частями системы. выражается в общей форме, остающейся справедливой при изменении размера основных единиц. Например, уравнение, утверждающее, что сила, действующая на ту или ину>о часть нашей механической системы, равна массе, умноженной на ускорение, справедливо для любых основных единиц, потому что в каждой системе единиц, применяемой для механических целей, единица силы определяется именно так, что выполннетсн указаннан связь силы.

массы и ускорения. Любое из основных уравнений движенин является в том же смысле полным. Окончательное решение получается из уравнений движения чисто математически, без какого-либо отношения к размеру основных единиц, Отсюда следует вообще> что окончательный результат тоже будет полным, т.е. уравнение, выражающее окончательный результат есть полное уравнение. Таким образом, анализ размерностей может применяться к результатам, получаемым при решении уравнений движения.

(Мы говорим об уравненинх движения в общем смысле, применял их к термодинамическим, электрическим, так и механическим системам). Аргументами функции, которук> мы окончательно получаем, решая уравнения движения, могут быть, очевидно, величины, положенные в основу первоначальных уравнений движения, ибо математические операции сами по себе не могут ввести новых аргументов. Я частности размерные постоянные окончательного реэультата долгины быть теми же и только теми лсе, которые фигурировали Размерные постоянные и число основных единич б1 в уравнениях движения. В этом вся сущность вопроса о размерных постоянных.

В отношении формул размерности размерных постоянных мы можем только опираться на опыт, показывающий, что все такие постоянные имеют форму произведений основных величин в некоторых степеннх. Небольшое размышление показывает, однако, что любой закон природы может быть выражен в форме, в которой формулы размерности постоянных будут относиться именно к этому типу.

Для этого нужно воспользоваться уже известным нам приемом., вводя размерные постоннные в качестве множителей при измеряемых величинах таким образом, чтобы достигнуть полноты уравнения. Поэтому мы принимаем в дальнейшем, что уравнения движении ~выражаютие законы природы, управляющие явлениями) уже приведены к такой форме, что размерные постоянные относятся к указанному типу.

Легко видеть, что это не вносит никаких реальных ограничений. Отсюда ясно, что анализ размерностей по своему существу есть анализ анализа. Мы должны достаточно понимать ситуацию, чтобы судить об общем характере проблемы и об элементах. которые должны быть введены при составлении уравнений, определяюших движение (в общем смысле) системы. Знан характер элементов, можно получить некоторые сведения о необходимых свойствах соотношений, которые могут быть выведены путем математических манипулнций с элементами. Мы можем доверять результатам, поскольку достоверны наши сведении о законах природы, с которыми приходится иметь дело в задаче, но результаты не могут содержать чего-либо, не имеюшегося в уравнениях движения, и ни чем не отличаются от прочих наших знаний.

Эти результаты приближенны настолько л«е, насколько приближенны законы движения. Такое ограничение определяется самой сущностью наших знаний. Применяя анализ размерностей, нельзя задаваться вопросом: «От каких величин зависит результать, ибо этот вопрос никуда не приведет и непозволителен. Вместо этого надо представить себе, что мы действительно составляем уравнения движения по крайней мере до такой стадии, что в состоянии перечислить входящие элементы.

Характеристики

Список файлов книги