П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Этот результат был вовсе не очевиден, или необходим при первой форме решения. Вместе с тем первое решение не противоречит второму, можно достигнуть их тождества, если положить неизвестную функцию равной некоторой постоянной, умноженной на обратный квадратный корень из аргумента. не имело размерности. Проблема настолько проста, что неизвестные можно указать сразу из простого рассмотрения или же, если угодно, можно выписать уравнение: Примеры анализа размерностей Вместо увеличения числа основных единиц с трех до четырех, мы могли бы получить тот же результат, заметив, что в уравнениях движения фигурирует только полная масса на конце струны, а следовательно, объем и плотность могут влиять на результат только в виде произведения, т.е.
массы. При таком способе решения мы могли бы связать и и а в одну величину и имели бы дело только с четырьмя величинами и тремя основными единицами. Мы получили бы при этом прежний результат. Таким образом, пользуясь специальными данными, касающимися задачи., часто можно получить более детальные сведения, чем при помощи общего анализа.
Если выбрать массу как одну из переменных, результат принимает форму: С = сопзС зн у' й' Еще раз мы получаем произведение без размерности с числом множителей, меньшим нормального. Рассмотрим теперь задачу, иллюстрирующую неизменность результата при увеличении числа единиц, если одновременно увеличивается число размерных постоянных. Возьмем ту же задачу, как и раньше, с тем различием, что теперь мы будем говорить просто о массе на конце пружины, не детализируя ее как произведение плотности на объем.
Переменными будут масса т, время колебания ~ и упругость пружины й. Ускорение тяжести можно опустить, так как мы уже видели, что оно не влилет па результат. Возьмем пять основных единиц, выбрав помимо обычных массы, длины и времени еще силу и скорость. Задача очевидно механическая, и взаимоотношение между частями системы должно определяться экспериментальным законом пропорциональности силы массе, умноженной на ускорение. срормулируя уравнения движения, мы должны, следовательно, ввести фактор пропорциональности, который понвится в виде новой размерной посто- инной.
Этот фактор связывает силу, массу и ускорение. Но ускорение должно быть определено по-новому, если мы пользуемся скоростью как основной единицей, его размерность будет УТ з. Уравнение движения, написанное так, выражает связь между силой, скоростью и временем. Но сила связана со смещением через упругую постоянную и для решения уравнения требуется соотношение между смещением, скоростью и временем.
Разумеетсн. можно исходить из экспериментального факта наличия пропорциональности между скоростью и отношением пути Глава 6 ко времени. В окончательном результате фактор пропорциональности появится в виде размерной постоянной. Теперь наша таблица величин закончена, она состоит из трех физических переменных и двух размерных постоннных. Таблица 9. Силювол Формула размерности Т М Р1. ЕМ юТМ 1. 'ТЪ' Название величины Время колебании Масса на конце пружины Упругость пружинга Размернан постоянная силы Размерная постоянная скорости т, й в Налагая условие отсутствия размерности, находим: (условие для М), ю 1„ — Н вЂ” 6= О 7+6+1=0 Н+ у=о Т+б=О Здесь Š— размерный символ сильц измеряемой в единицах силы и Ъ' — размерный символ скорости. Формулы размерности составлены по обычным правилам, можно отметить только, что упругость пружины определена как сила, проявляемая пружиной при растяжении на единицу.
Мы должны теперь найти произведении без размерности., составленные из этих пяти переменных. Прежде всего замечаем, что у нас пять переменных при пяти основных единицах, т.е. вообще говоря, не может быть произведения без размерности. Можно убедиться, однако, составив детерминант показателей формул размерности, что он равен нулю, т.е. в данном частном случае существует произведение без размерности с числом множителей меньше нормального. Разумеется, мы знали об этом заранее, на основании предшествующего анализа. Как и прежде, нас наиболее интересует величина 1, и мы выписываем произведение без размерности в такой форме: Примеры анализа размернаппеа Решая эти уравнения, получаем: 1.
1, 1, 1 а= — —: д=-:, 7 — ) 6 = — —. 2' 2' 2' 2' Произведение без размерности принимает вид: ,-г(гйз(гг-з~г -зрг откуда окончательно: 1= сова1~ Если положить размерные постоянные 1" и и равными единице, как это имеет место в обычной механической системе единиц, мы получим прежний результат.
Хотя этот пример не дал новых результатов, он поучителен тем, что показывает допустимость любой системы основных единиц при условии введения соответствующих размерных постоянных. Теперь рассмотрим задачу, в которой выгодно рассматривать силу как первичную величину. Это задача Стокса о маленькой сфере, падазощей под действием тяжести в вязкой жидкости, Сфера настолько мала, что движение всюду медленное, и нигде в жидкости не возникает турбулентности. Элементы, с которыми приходится иметь дело в этой задаче, это — скорость падения, плотность сферы, диаметр сферы, плотность жидкости, вязкость жидкости и ускорение силы тнжести. Задача, очевидно, механическая и, применяя обычные механические единицы, мы не будем иметь размерных постоянных. Мы замечаем, однако, что задача для механики несколько необзычная. Движение медленное и скорость постоянная, силы, действующие на сферу и жидкость, всюду уравновешивакзтся силами, вызываемыми вязкостью жидкости, т.е. хотя мы имеем дело с движением, однако задача относится к случаю неускоренного движения, когда силы всюду уравновешиваются.
Поэтому, по существу, задача статическая и, разрешан ее, мы не обязаны пользоваться фактом пропорциональности силы произведению массы на ускорение. Мы можем рассматривать, стало быть, в этой задаче силу как первичную величину, не вводи компенсирующей размерной постоннной. 76 Глава у Переходим к анализу: Таблица 10. Символ Название величины Скорость падении Диаметр сферы Плотность сферы Плотность жидкости Вязкость жидкости Ускорение силы тяжести Формула размерности вязкости получаетсн непосредственно из ее определения как силы на единицу площади и на единицу градиента скорости.
Ускорение силы тяжести входит с указанной размерностью, потому что в уравнениях движения, очевидно, не найдет отражения ускорительный характер действия тяжести, и войдет только сила, проявлнемая тяжестью на единицу массы. Мы имеем теперь 6 переменных и 1 основных единицы. Следовательно, существуют два произведении без размерности. Одно из пих сразу очевидно и равно —. Из остающихсн величин мы особо заинтевз у1 ресованы в скорости о.
Для получения произведении без размерности мы должны только комбинировать ее с четырьмя другими величинами. Выберем Р, 4, р и д и составим произведение в форме: о= — 2; П= — 1; 7=1; б= — 1 и произведения без размерности принимают вид Дз оР д рд ' и 111 Окончательное решение таково: 111 Ку ( оз ) "1 еР И1 11'"Я ~. Сразу видно, что показатели равны: Формула размерности ПТ-1 П Мт — 3 М1. з еЬ зТ ВМ 77 Примеры анализа размернеегаеа функция 1' неопределенна, и мы не можем сказать, как зависит результат от плотностей сферы и жидкости, цо мы видим, что скорость падения пропорциональна квадрату диаметра сферы, ускорению силы тяжести и обратно пропорциональна внзкости жидкости. Зта задача, разумеется, давно решена методами гидродинамики, причем ответ имеет вид (ср.
напр. М 1111 11 в п, Р!1уз. Веи. 2, 110з 1913): — (111 112). В П71 '[! Точное решение получается из более общего, если положить функцию 7 равной — 11! — — ~. а у Пз'1 9~ П/ Если бы мы решали эту задачу с обычными механическими единицами, в которых сила определена как масса, умноженная на ускорение, мы имели бы вместо двух три произведения без размерности, и окопчательный результат выразилсн бы в такой форме: Конечно, по такому результату нельзя было бы сказать ничего о влиянии на скорость каждого элемента в отдельности., так как все элементы входят аргументами неопределенной функции.
Есть много задач, в которых конкретные добавочные сведения о природе физической системы так дополняют результаты анализа размерностей, что может быть получена более определецнан форма реп»енин, чем на основе одного только анализа размерностей, и несомненно никто нам не запрещает комбинировать анализ размерностей с другими дапнымн, имеющимися н нашем распоряжении, В виде простого примера рассмотрим вопрос о прогибе балки.
Это задача из теории упругости. 11опытаемся найти, как зависит 1окесткость» балки от ее размеров и других величин. Уравнения упругости частный случай уравнений обычной механики, этим определяетсн механическая система единиц. Уравнения упругости, из которых может быть получено решение, должны включать в себя постоянные упругости материала, Если материал изотроппыйз то войдут две упругие постоянные, каковыми можно выбрать модуль Юнга и модуль сдвига. Приступаем к анализу. 78 Глава 6 Таблица Си.явол 11.
Форли га разлерности МТ-' Название величины Жесткость ( с"л 1 чпрогнбз Длина Ширина Высота Модуль Юнга Модуль сдвига Ь Ь М1 1Т М! 'Т Имеются 6 переменных и три основных единицы. Соответственно общему правилу должно быть три произведения без размерности. Они могут быть составлены сразу в результате простого рассмотрения: д, р 1' Х' к' Ни одно нз этих произведений пе содержит Я, которая нас наиболее интересует и, следовательно, в задаче есть какая-то особенность. Она действительно и обнаруживается, если вернуться к системе алгебраических уравнений, от которых зависит решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
