П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Нет надобности фактически составлять уравнения и тем более их разрешать. Анализ размерностей дает тогда определенные сведения о необходимом характере результата. 62 Глава 5 В этом несомненное преимущество метода, ибо его результаты применимы к таким сложным системам, для которых мы не в состоянии написать уравнения движения со всеми деталпми. Необходимо особенно подчеркнуть, что результаты анализа разлерностей не логут быть применены к систелал, основные законы которых до сих пор не выралсены в форле, независимой от разлера основных единиц, Например, анализ размерностей несомненно оказался бы неприменимым к большинству результатов биологических измерений, хотя эти результаты могут обладать полной физической значимостью, как описание явлений. Нам кажется, что в настонщее время биологические явления могут быть описаны полными уравнениями только с помощью стольких же размерных постоянных, сколько имеется физических переменных.

Мы видели, однако, что в этом случае анализ размерностей не дает никаких новых сведений. Овладение группой явлений природы и формулировкой их в виде законов до известной степени равносильно открытию ограниченной группы размерных постоянных, пригодных для координации всех явлений. Применим этот езганд на природу размерных постоянных к уже затронутой задаче об электромагнитной массе сферически распределенного электрического заряда.

Это, разумеется, — электродинамическая задача, которую надо решать, пользуясь уравнениями поля. Уравнения поля содержат некоторые математические операторы, применяемыс к определенным сочетаниям электрической и магнитной силы и к скорости света. В нашей частной задаче мы хотим решить уравнения в такой форме, чтобы определить электромагнитную массу. Это объемный интеграл от некоторой постопнной, умноженной на плотность энергии, причем последняя определяется распределением сил, обусловливаемых распределением заряда.

Если имеется соотношение, подозреваемой нами формы, то силы должны исключиться в окончательном результате. Нет, однако, оснований думать, что характеристическая постоянная с уравнений также элиминируется. Мы должны, следовательно, искать связи между общим зарядом, массой, радиусом и константой уравнении полн, т.е. скоростью света. Такое соотношение нами уже найдено и сверено с результатами детального решения уравнений поля, примененных к данной проблеме. Мы видели, что размерные постоянные входят в окончательный результат постольку, поскольку они имеются в уравнениях движения.

Но размерная постопнцая в уравнении движения есть выражение уни- Размерные постоянные и число основных единиц версальной физической связи, характерной длн всех явлений, входящих в рассматриваемую группу. Можно двояко трактовать такие универсальные физические связи. Можно оставить размерную постоянную в уравнениях как явное выражение связи, подобно тому, как это делается в уравнениях электродинамики. С другой стороны, можно определить наши основные единицы, имея в виду эту связь; таким образом получится система единиц с исчезнувшей размерной постоннной, в которой, однако, число единиц, которые можно считать первичными, ограничено тем, что все единицы, относящиеся к системе, автоматически гарантируют экспериментальную связь друг с другом. Система единиц такого рода имеет ценность только при рассмотрении группы явлений, к которой данный закон применяется.

Так, например, на опыте мы находим, что масса, умноженная на ускорение, пропорциональна силе, действукзщей на нее. В этом экспериментальном утверждении не содержится ограничений в отношении единиц массы, длины, времени и силы. фактор пропорциональности будет меняться по числовому значению при изменении размеров каждой из основных единиц. Вместо того, чтобьз заниматься скучным делом непрерывного изменения фактора пропорциональности, можно произвольно потребовать, чтобы он равнялся единице во всех системах,которые мы будем рассматривать; этого результата можно достигнуть, определив единицу силы в нашей новой системе так, что бы сила, действующая на тело, равнялась массе, умноженной на ускорение.

Таким образом мы получим систему единиц, приспособленную к операциям со всеми физическими системами, в которых законы движения содержат утверждение о физической связи между силой., массой и ускорением. Но если бы физическая система была таковой, что указанное соотношение не входило в движение системы, мы бы бесполезно ограничили себя, применяя механическую систему единиц.

Эти соображения о возможных системах единиц отвечают на ранее поставленный вопрос в связи с четвертой задачей введения о числе единиц, которые нужно выбрать в качестве первичных. Ответ целиком зависит от характера задачи и определяется физическими связями., необходимыми для полного выражения частей. Например, в любой обычной задаче динамики связь между силой, массой и ускорением существенно входит в уравнения движения.

Эта свнзь может быть внесена в уравнения либо применением четырех первичных единиц силы, массы, длины и времени с соответствующей размерной постоянной пропорциопаль- 64 Глава Б ности, либо на основе привычных механических единиц массы, длины и времени, в которых сила определена так, что экспериментальное соотношение всегда выполняется, и размерная постоянная исчезает. В обоих случаях результаты анализа размерности одни и те же, ибо разница между числом первичных единиц и числом переменных, определяющая число аргументов неизвестной функции, та же самая в обоих случаях. Когда число единиц увеличивается на одну включением силы, то число переменных также возрастает на одно„включая размерную постоннпую.

разница прн этом остается постоянной. Если бы, однако, проблема была такой, что экспериментальнан связь силы, массы и ускорения не входила в уравнения движения системы, то обычные механические единицы были бы неподходнщими, ибо с ними мы получили бы меньше сведений. В этом случае можно пользоватьсн четырьмя первичными единицами, не вводи соответствующей размерной постоянной в таблицу переменных, так что разница между числом переменных и единиц станет меньше на единицу, и число аргументов функции станет меньше, что желательно. Мы встретимся дальше с примером, иллюстрирующим это.

Литература [!] Ео и г1е г. Т!зеог1с бс С11а1епг, 160. По общему вопросу о рациональном числе основных единиц можно указать заметки. [2] Е. В и с1г1п д 1з аш. Ха1пге. 96, 208 и 396, 1915. ГЛАВА 6 Примеры анализа размерностей Повторим прежде всего результаты предшествукнцей главы. Приступан к анализу размерностей, мы должны представить себе, что перед нами задача обычного анализа, которую надо выполнить по крайней мере до стадии суждения о природе проблемы и до вынснения всех физических переменных, которые должны войти в уравнения движения (в общем смысле) и также всех размерных коэффициентов, требуемых для написания уравнений движения. Затем нужно выписать размерности всех переменных относительно основных единиц.

Эти единицы для каждой конкретной проблемы должны выбираться так, чтобы число их было возможно болыпим при условии отсутствия компенсирующих размерных постоянных в уравнениях движения. Далее, в соответствии с П-теоремой должны быть образованы произведения переменных, не имеющие размерности. Этн произведения следует выбирать нз большого возможного разнообразия таким способом, чтобы переменные, в которых мы заинтересованы особо, фигурировали вполне отчетливо. После формирования произведений П-теорема непосредственно приводит к функциональному соотношению. В нижеследующих примерах мы особо остановимся на вопросах о подходящем числе основных единиц и наиболее удобном выборе произведений без размерности, Вопрос о размерных постоянных мы считаем выясненным.

В качестве первого примера возьмем первую задачу, разобранную Рэлеем в 1чаьпге 11). Рассмотрим волну, распространяющуюся по глубоководному резервуару под действием тяжести. Это, очевидно, гидродинамическая проблема„т.е. просто механическая в применении к жидкости. Здесь применимы, следовательно, уравнения механики. Если жидкость смещена из положении равповесил, она возвращается в него под действием тяжести. Таким образом, в задачу входят плотность жидкости и сила тяжести. Очевидно, эти же величины должны войти и в уравнения движения.

никакие другие свойства жидкости вроде Слава о сжимаемости не войдут, потому что из рассмотрения уравнений гидродипамики нам известно, что такие свойства не существенны для явлений этого масштаба. Физически, разумеется, сжимаемость должна до известной степени влиять на результат, так что наш вывод будет неточным, он будет приближенным в такой же степени„ как и уравнения гидродинамики. В уравнения гидродинамики не входят размерные лостоннные, если только применять обычные механические единицы, в которых масса, длина и время являются основными величинами; законы движения вошли в эту систему единиц через определение силы. Уравнения, конечно, суть уравнения между смещениями и другими элементами. Можно представить себе, что мы в состоннии исключить из уравнений различные смещения и в конце концов получить связь только скорости распространения, плотности и напряжения тяжести, подобно тому, как это было в задаче о маятнике, Попробуем это сделать.

Выпишем переменные и их формулы размерности,как это уже делалось во введении. Таблица 6. Символ Формула размерност и ЕТ ' МЬ ' 1Т з Название величины Скорость волны о Плотность жидкости Ускорение силы тяжести Применим теперь П-теорему. У нас три переменных и три ословных единицы. Разница мелинду этими числами равна нулю и, следовательно, согласно теореме, не может быть произведений без размерности.

Это значит, что мы сделали какую-то ошибку, и соотношения не существует, если только здесь нет одного из тех исключительных случаев, в которых произведение может быть образовано из меньшего чем нормальное число множителей. Более внимательное рассмотрение показывает, однако, что это не исключение, а что действительно не существует произведения без размерности. Это показывает, что предполагаемая элиминация невозможна, и что в окончательный результат должны войти другие элементы или комбинация элементов. Несомненно, детальный анализ должен привести в итоге к полному описанию движения воды, на основании которого получится волновое движение н его скорость.

Характеристики

Список файлов книги