П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Иначе говоря, помимо скорости в окончательный результат должно войти еще нечто, характеризующее данные волны. Скорость 67 Примеры анализа размерноппея Полаган все это равным постоянной величине и разрешая относительно и, получаем и = сонат д ддЛз. Размерность множителей в правой стороне должна быть в итоге такой же, как у скорости, стоящей изолированно с левой стороны. Подставим формулы размерностей переменных: 1Т вЂ” 1 зМ1 — з)аз1 Т вЂ” 2)д1з Выпишем последовательно условия равенства показателей М,! и Т с обеих сторон уравнении.
Это дает: = 0 (условие для М), = 1 (условие для 1 ), = -1 (условие для Т), — Зи+д+ у — 20 откуда 2' ~ 2' Окончательно имеем: и = сопв1,/Л~. всех волн не обязательно должна быть той же самой, она может зависеть от длины волны. Физически, разумеется, мы это знали заранее и притворялись невеждами только для дидактических делей. Наши сведения по этому вопросу должны были заставить искать связи между скоростью и длиной волны. Введем поэтому в нашу таблицу величин длину волны Л. размерность которой 1,. Теперь у нас четыре переменпых. П-теорема указывает, что имеется одно произведение без размерности, которое должно равняться постоянной величине. Доказательство П-теоремы показало также, что один из показателей в произведении без размерности может быть избран произвольно.
Мы особенно заинтересованы в скорости и, потому выберем показателем для нее единицу и составим произведение без размерности в форме Глава 6 Скорость гравитационной волны в глубоководном резервуаре (глубина це входит в конечный результат, потому что мы постулировали, что вода очень глубока) пропорциональна таким образом корню квадратному из длины волны и ускорения силы тяжести или пропорциональна скорости, приобретаемой телом, свободно падающим под действием тяжести на расстоннии, равном длине волны. Заметим, что плотность жидкости исчезла в окончательном результате.
Это можно было предвидеть: если плотность удваивается. то удваиваетсн и сила тяжести, действующая ца каждый элемент, поэтому ускорение, а следовательно, и все скорости остаются неизменными, так как удвоенная сила компенсируется удвоением массы каждого элемента. Поскольку плотность не фигурирует в окончательном результате, мы имеем произведение без размерности, составленное только из щ Л, д. Это произведение без размерности трех переменных, выраженное через трн основные величины. В общем случае это невозможно, для этого требуются специальные соотношения между формулами размерностей переменных. Составив произведение с неизвестными показателями и написав затем алгебраические уравнения, которым должны удовлетворять показатели, мы можем сразу видеть, что условие существования произведения без размерности с числом множителей, равным числу основных единиц, состоит в том, что детерминант показателей в формулах размерностей множителей равен нулю.
Ясно, что это не ограничивается случаем трех основных единиц, но применимо к любому их числу. Обратно, условие того, что тот или иной элемент входит множителем в произведение без размерности с числом других множителей, равным числу основных единиц, состоит в том. что детерминант показателей других множителей не должен равняться нулю; в противном случае остальные множители сами по себе составили бы произведение без размерности, в которое не входил бы интересуюший нас множитель. Этот пример — превосходная иллюстрация необходимости сочетания здоровой физической интуиции с чисто формальными манипуляциями. Пренебреган глубиной, мы аргументировали тем, что при бесконечном возрастании глубины скорость стремится к предельному значению, не зависящему от глубины. Есть далее другой фактор, которым мы пренебрегли в нашем анализе, — это амплитуда Ь волны, которая, очевидно, аналогична амплитуде колебания в простой задаче о маятнн- бй Примеры анализа размерноппеб где З' -- произвольная функция.
Зта форма сояершенно не противоречит первой, как мол~но видеть, положив ~( — ) = сопьтз —, Ь уй' но, разумеетсн, опа дает значительно менее сведений, Рассмотрим теперь другую задачу. Имеется упругий маятник, осуществленный из невесомой пружины с упругой постоянной Й и с подвешенным ящиком объема е, наполненным жидкостью с плотностью д. Па массу жидкости в ящике действует тнжесть. Требуется найти выражение для периода колебаний. Как всегда, составлнем таблицу величин и их размерностей. Таблица 7, Силзвол формула разяерносгпи Название величины Упругая постоянная (сила на единицу смещения) Время колебания Объем яшика Плотность жидкости Ускорение силы тяжести Т гз МЬ ' ЕТ Задача, очевидно, механическая, и мы имеем полное основание применять механическую систему единиц, причем размерных постоннных не будет.
Переменные таблицы являются, таким образом, единственными., они совпадают с переменными, при помощи которых задача формулирована. Мы имеем пять величин при трех основных единицах. Поэтому должны существовать два произведения без размерности. Из предыдущей главы мы знаем, что для нахождения произведений без размерности мы должны решать систему алгебраических уравнений. ке. Если бы мы включили ее в нашу первоначальную таблицу величин, было бы еще одно произведение без размерности, —; если бы нам это со Л, 'Ь' злостным намерением подсказали, мы получили бы результат: 70 Глава 6 /а"'б/Д'д". /бэ"'г/Д'дт'.
Мы имеем теперь две группы алгебраических уравнений для двух групп неизвестных показателей аз, //1, 71 и аг, /12, 72. Эти уравнении таковы: < Оаг+ /12 -ьОуг-ь 1 Заг — 3/12+ уг + 0 Оаг + О/уг — 2 /г — 2 < Оаз+ /11+ Оуг Ч-0 = О, 3аг — 3/11+ у1 + О = О, Оаз+О/01 — 2./1 + 1 = О, Решения таковы: 1 аз = — —., б' /11 =О, 1 71=э~ У2 Поэтому произведения без размерности имеют вид: — 1/6 л/2 вь — 2/3 1 — 1 — 1 и решение выразится такб 1/б — 1/2 /(ЙО ) Юбг где функция / неопределенна.
Некоторые из решений могут быть выбраны произвольно, остальные определяются через пих. В данной задаче нас особо интересует 1, и, положим,я. Выберем поэтому показатели для 1 и я в произведенинх без размерности произвольно, как основу для расчета остальных. Алгебраическая теорема показала нам, что существуют две линейно независимые системы показателей, которые могут быть приписаны 1 и /б, причем эти две системы могут быть выбраны бесконечным числом способов. Попробуем выбрать две простейших системы. Припишем показателю 1 значение 1 и показателю Й значение О для одной системы, н обратно, т.
е. для 1 нуль и длн й единицу в другой системе. Разумеется, это очень простые пары, которые позволяют 1 и Й фигурировать только в одном произведении без размерности. Таким образом, мы должны найти два произведении без размерности: Примеры анализа размерностей Таблица Символ 8. Формула размерности МТ з Т у МЪ' ' ВТ з рразвание величины Упругая поспянная Время колебания Объем ящика Плотность жидкости Ускорение силы тяжести Полученный результат несомненно правилен, как ясно из вывода; мы можем достигнуть, однако, и лучшего и добиться формы, где пе останется неопределенной функции.
Такое улучшение может быть получено увеличением числа основных единиц. Мы были правы, примення обычные механические единицы. потому что уравнения движения подразумевают динамическую связь между силой, массой и ускорением. Изменение надо внести в направлении, не сразу бросазощемся в глаза, поскольку мы привынли к механическим единицам.
Однако после некоторого размышления становится ясным, что в уравнениях движения, управляющих системой, мы не воспользовались тем фактом, что численная мера объема ящика равна кубу длины одного из его ребер. Физически вполне возможно измерять объемы через тот или иной объем, избранный в качестве единицы. Для этого надо разрезать большой объем на меньшие, конгруэнтные с единицей, и сосчитать число таких получившихсн объемов. Затем можно доказать. что полученное таким образом число пропорционально кубу числа, измеряющего линейные размеры. Действительно, в этом состоит метод доказательства, принятый первоначально Квклидом при рассмотрении поверхностей и объемов.
После того как геометрический факт доказан, естественно определить единицу объема как объем, равный кубу со сторонами, равными единице. Однако такое определение и ограничение имеет цену только для задач, в которых связь между объемом и длиной по существу входит в результат. В нашем случае это не так потому, что объем ящика важен только в сочетании с плотностью жидкости для определения массы пшика.
Мы вполне можем измерять длину в этой задаче в дюймах, а объем в квартах, если только одновременно определить плотность как массу на кварту. Верпемсн опять к нашей задаче, считая теперь объем независимой единицей. Мы получаем: 72 Глава 6 Теперь у нас пять переменных, но четыре основных единицы, и, следовательно, имеетсн только одно произведение без размерности. Нас особенно интересует 1, мы выбираем показатель при нем равным единице; требуется найти прочие показатели, так чтобы произведение 1кааДПтдв о+у=О, 6=0, — 2а — 2Ю+ 1 = О., ;~-7=О.
Решение этой группы уравнений таково: 1, вл = 2 1, 1. 2' 2' Произведение без размерности принимает вид: йг/г,-цг,Гг1г в и мы имеем 1 = сопэ1~1 —. эй ~й Сведения, содержащиеся в этом решении, очевидно, значительно больше, чем в менее определенном результате, полученном с тремя единицами. Из нового решения видно, например, что время колебания не зависит от ускорения тяжести, физически это, конечно, значит, что тнжесть влияет только на изменение среднего положения равновесия. При возрастании тяжести груз понижается и колеблется относительно положения, более близкого к центру притяжения. Период колебания при этом, однако, не меняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
