П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Аппе1еп лег Р1эуейц 51, 678, 1916. 40 Глава д му физическому комплексу в другой системе. Эта связь силы и массы в двух системах выполпяетсн применением простой алгебры. В первой системе мы определяем силу как массу, умноженную на ускорение, во второй — масса определяется как сила, деленная на ускорение. Таким образом, вторичная величина в каждой системе выражаетсн через первичные величины системы и обе системы совместны. Правильное соотношение между формулами размерности двух систем можно просто установить следующим образом: составляется формула размерности в первой системе и разрешается относительно величины, которая во второй системе считается вторичной. В нашем частном случае в первой системе: сила = М1Т г, во второй системе: масса = РП ~Т .
Преобразование числового значения происходит точно так же, как и в рассмотренном примере, если считать символы размерности названия истинных величин и величину, подлежащую исключению, заменить ее значением в новых единицах. Полное решение имеет, следовательно, такой вид: 1 г(1 см) 10 — 7 (1 сек )2 Нам нужно прежде всего знать размерность 1 г в единицах дина, см и сек.
Имеем: 1дина = 1г1см (1 сек.) т. е. 1 дина (1 сек.) 1г= 1 см Откуда: 1 г (1 см)г 1 дина (1 сек.)г (1 см)з 10 = 10 х = 10 дик. см. (1 сек.)з 1 см (1 сек,)з Результат — в правильности которого мы убеждаемся непосредственно. О пр менении уормрн размерности при изменении единиц 41 Рассмотрим теперь общий случай, когда нам нужно от системы с основными единицами Хы Хг, Хз перейти к системе с основными единицами гы Уг: г'з.
Прежде всего нужно найти формулы размерности ты гг, гз в единицах Хы Хг, Хз. Пусть размерность \'~ будет аы аг, оз; Уг Ьы Ьг, Ьз! Уз сы сг, сз относительно Хы Хг, Хз. В каждом определенном случае можно написать: Сглаз = Х Х"Х", Сглаз = ХзМХгМХз', Сзгз = Хз Хг Хз где С -" числовые множители. Эти уравнения необходимо разрешать относительно Х. Логарифмируем: аз 1кХзз-аг1д Хе+ из!дХз = 1дСзгы Ьг1ДХг-ЬЬг1ВХг+ Ьз1КХз = 1КСгУг, сг 15Хг+ се1КХг+ сз!КХз = 1й Сзгз Это легко разрешимые линейные уравнения относительно логарифмов.
Для Хз получаем Ь Ь ~ ~с с ~ ~а ез~ Хг = (СгУг) а (Сгуг) а (Сзуз) В этом решении й обозначает детерминант: аз аг аз Ь = Ьг Ьг Ьз сз сг сз Значения Хг и Хз получаются круговой подстановкой. Рассмотрим пример. Ваксе значение примет количество движения в 15 тонн (масса), умноженных на милю в системе, основными единицами которой являются 2 НР (лошадиных силы), 3 фута в сек. и б эрг.
Это достаточно сложный случай. 42 Глава 3 Обозначим: У1 = 2 НР = 2 х 33 000 1 мин. 3сек 1 1з о зрю , фут Сначала нужно перевести фунты (силы) в фунты (массы). Фунт силы зто есть сила, сообщающая массе в один фунт ускорение в 32,17 сек. Т.е. 1 фунт (массы) 1 фут 1 фунт (силы) = 32,17 (1 сек.) Далее: 1а = 66000 ° 32,17 1 фунт (массы) 1 фут. 1 фут (1 сек.)з 1 мин. 2 тонны ~ мили1 32 17 66000 5 80 5 80 2 962 10л тонн миль ( -')':--' час 3600 'l 60 или в обычной форме 3,380 10 ~У~ — — тонны 'мили~часы з. Точно также фут, 5280 45 мили мили сек. 1 22 часы 3600 или О, 4889Уз = тонны" мили часы Точно также 1 г (1 см)з 2.103 ° 10 стони в(6.,214 10 вмили) Уз=барс — 5 — 5 (1 сек.) час) ~ 3600 0 пр менении уормрл размерности при изменении единиц 43 или 3,622 ° 10»Уз = тонны' мили часы з.
Перепишем еще раз нашу систему уравнений: 3,380 ° 10 »У» = тонны мили часы 0,4889У» — — тонны мили' часы ', 3,622 10 Уз = тОнны мили часы Решаем уравнения относительно тонн, миль и часов, выражая их через Уы Уз, 1'з. Найдем сначала детерминант показателей: 1 2 — 3 Ь=01 — 1 1 2 — 2 Получаем очень отрадный простой результат. На основании общего метода решения имеем: 1тонна = (3,380 х 10 ~У») (0,4889У») '(3,622 х 10 Уз)~~, 1миля =1» ) 1» )+(» )+', 1час = ( > ) (» )о (» )», или, упрощая, находим: 1 тонна = 15,16 10 1» »1з, 1мнля = 5,223.10'»У, 'У»У», 1 час = 1.069 10ш 1 — ~У». Окончательно получаем: 15 „=15 тонны мили 15,16 х 5,223 х 10»" Уз 'У»У, 'У»У» ч"ы 1.,069 х 10»з — у = 1, 112 х 10»о У»Уз = 1, 112 х 10»о фут/(3 сек.) В этом и состоит искомый ответ.
Заметим, что в результате содержатся только две новых единицы вместо трех, выпало «2 НР>. Разумеется, это возможно только в частном случае. Можно было бы думать, 44 Слава У что этим обстоятельством следовало воспользоваться для сокращения вычислений; это однако не так, все множители, связыва«ощие тонну, милю и час с новыми единицами, фигурируют в результате. Следует сделать два замечания по поводу указанных преобразований. Во-первых, не всегда возможен переход от одной системы единицы к другой, необходимо, чтобы выполнялось определенное условие.
Оно состоит просто в том., что уравнении, выражающие единицы одной системы через единицы другой, должны иметь решение. Это условие равносильно тому, что преобразованные уравнения после логарифмирования имеют решение; говоря иначе, это условие состоит в том, что система линейных уравнений имеет решение, т. е. что детерминант коэффициентов этих линейных уравнений не равен нулю. Так как коэффициенты наших линейных уравнений (после логарифмирования) являются показателями в первоначальных формулах размерностей, то наше условие равносильно следующему: детерминант показателей формул разл«ерностей основных величин одной слетел«ы не должен равняться нуллз в другой системс. Поэтому, желая выполнить преобразование, мы должны сначала убедиться, возможно ли оно вообще, для чего нужно составить детерминант показателей.
Если последний равен нулю, то преобразование невозможно. Это значит, что одна из новых единиц, на которых мы хотим построить новую систему измерений, не является независимой от остальных. Если бы, например, в нашей задаче мы взяли вместо «5 эрг» в качестве третьей единицы новой системы «5 дин», мы бы нашли, что детерминант равен нулю, и преобразование стало бы невозможным. Это ясно и из других соображений: лошадиная сила есть работа в единицу времени и имеет размерность произведения силы на скорость, поэтому предлагаемал третья единица, име«ощая размерность силы, может быть получена делением первой на вторую единицу, и, следовательно, зависит от них.
Второе замечание состоит в том. что новая система единиц должна содержать такое же число основных единиц, как и первая система. Если это не так, то, за искл«очением отдельных случаев, мы будем иметь большее или меньшее число уравнений, чем требуется длн выражении новых единиц через прежние. В первом случае решение неопределенно, во втором решения вовсе нет. ГЛАВА 4 П-теорема Во второй главе мы видели, что формулы размерности всех величин, с которыми приходится иметь дело, могут быть представлены как произведения основных единиц в некоторых степенях.
Перейдем теперь к рассмотрению выводов, которые можно сделать на основании этого относительно формы соотношений между различными измеримыми величинами явлений природы. Во второй главе мы видели также, что эти функциональные соотношения могут, по крайней мере в некоторых случаях, помимо измеримых величин, содержать также так называемые размерные постоянные.
Мы встретились с двумя такими постоянными — постоянной тяготения и скоростью света в пустом пространстве — и приписали им также размерность. Очень существенно отметить, что формулы размерности этих постоянных были того же типа, как и у измеряемых величин, т.е. они имели вид произведений основных величин в некоторых степенях. Это пе случайность, но является правилом для любых размерных постоянных, с которыми приходится иметь дело. Доказательство этого мы дадим позднее, получив несколько более отчетливое представление о природе размерных постоянных.
Точно так же позднее мы разберем и кажущееся исключение, так называемую логарифмическу1о постоягшую. Однако уже теперь можно заметить, что один класс размерных постоянных должен быть несомненно указанной формы. Мы знаем, что эмпирическое уравнение, экспериментально проверенное измерениями в определенной системе единиц, может быть распространено на единицы любого размера, если к каждой измеренной величине ввести множитель — размерную постоянную с размерностью, обратной размерности измеренной величины.
Поскольку формула размерности каждой измеренной величины есть произведение первичных величин в степенях, постольку их обратные величины должны обладать таким же свойством, т.е. теорема доказана для данного специального класса размерных постоянных. Мы предположим, пока без Глава 4 доказательства, что это положение верно в отношении всех размерных постоянных. Пусть имеется функциональное соотношение между некоторыми измеренными количествами и размерными постоянными.
Предполагаем, что формулы размерности всех этих величин, включая и размерные постоянные, известны. Предположим далее, что соотношение имеет такой вид, который формально остается неизменным при любом изменении размеров первичных единиц. Уравнение такой формы будем называть «полнымь'. Мы видели, что вовсе нет необходимости, чтобы уравнение правильно и адекватно выражающее физические факты, было полным, хотя обратное положение делается почти всегда и часто считается основанием для пронерки принципа однородности «физическихь уравнений. Хотя адекватное уравнение не обязательно должно быть полным, однако, как мы видели, каждое адекватное уравнение может быть очень просто сделано полным.
Таким образом, предположение о полноте не является для нас существенным ограничением, хотя оно и вызывает необходимость более тщательного исследования вопроса о размерных постоянных. Предпосылка о полноте уравне«шя абсолютно необходима для зидач нашей книги, анализ размерностей применим только к уравнениям такого типа. Следует заметить, что изменения первичной единицы в полном уравнении несколько ограничены. Можно изменять тольно размер первичных единиц, но не их характер. Так, например, полное уравнение, справедливое при любых изменениях размера первичных единиц массы, длины и времени, перестает быть верным и тернет смысл для другой системы единиц, в которой первичными явлнются масса., сила., длина и время. Сделав эти оговорки, предположим, что мы имеем некоторое полное уравнение с определенным числом измеримых величин и размерных постоянных, справедливое длн данной системы первичных единиц.
Имея дело только с формулами размерности величин, входящих в уравнение, мы можем не различать измеримых величин от размерных постоянных. Обозначим переменные буквами ы, Д., у, ... н предположим наличие функционального соотношения: у(сс, Д, у, ...) = О. Прнмечяння см. я конце гяявы. П-теорема а = (х1 х~ ...)а ))! ( дг еде )д Уравнение ~р(а, Д, ...) = О является полным, оно должно выпал нятьсн поэтому и при подстановке а', Д',... на место а, Д, ..., т.е. ~р(а~, р~, ... ) = О (А) или Р(хь1 ХР2 а хд1 хде Р ) О Это уравнение должно быть справедливым для всех значений аы лз, ... Возьмем частную производную относительно хы положив после дифференцирования все х равными П Мы получим следующее уравнение: а1а —,+ДД вЂ”,+...=О.
д~р . д~о да дД (В) Введем новые независимые переменные: а 1/е1 Ра д1/д1 Смысл этого выражения состоит в том, что при подстановке чисел, являющихся мерой величии а, Д, ..., функциональное соотношение удовлетворяется. Мы применяем символ а как для обозначения самой величины, так и для ее численной меры, как об этом говорилось выше. Полнота уравнения значит, что функциональное уравнение остается справедливым при подстановке в него чисел, измеряющих а, ~3, у, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
