П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 3
Текст из файла (страница 3)
не поддающимся еще точному расчету, от сорта и строения атомов и от сил между ними. Если это так, то почему же факторы, определяющие междумолекулярные силы, не могут входить в наш перечень основных величин? Они, несомненно, играют первостепенную роль в определении физических свойств. Наш выбор можно пытатьсн оправдать рассуждением вроде следующего: «Верно, что свойства жидкости определяются чрезвычайно сложной системой атомных сил, однако эти силы влияют на результат лишь постольку, Введение поскольку это сказывается на одном свойстве — поверхностном натяжении». Это значило бы, что при измерении периода колебаний капель различных жидкостей, сколь угодно отличающихся по атомным свойствам, мы получали бы одну и ту же величину, если только радиус, плотность и поверхностное натяжение были теми же самыми. Можно при этом добавить, что справедливость такого ответа подтверждается опытом.
Но наш критик может не удовлетвориться и этим. Он может спросить, почему мы прежде всего уверены. что среди различных свойств жидкостей, из которых составлена капля, именно поверхностное натяжение одно влияет на период колебания? Ему может казаться весьма возможным, что период зависит от вязкости или сжимаемости, и если нам придется апеллировать к опыту, то какую же цену имеет наш анализ размерностей? На это придется ответить, что конечно мы имеем ббльшие сведения об эксперименте, чем наш критик, и что при некоторых условиях действительно период колебания зависит от вязкости и сжимаемости помимо поверхностного натяжения. Однако, опыт показывает, что по мере уменьшения радиуса капли достигается такой размер, ниже которого сжимаемость перестает играть какую-либо заметную роль.
Точно также ниже определенной вязкости изменение последней заметно не влияет на период колебания капли. Наш анализ применим именно к этим условиям. Вместо апелляции к прнмому опыту в подкрепление наших утверждений мы можем, поскольку наш критик довольно сведущ, сослаться на то обобщение опыта, которое содержится в уравнениях гидродинамики. Применяя эти уравнении к нашей задаче, можно показатгь что, начиная с некоторых предельных условий, позволительно пренебречь сжимаемостью и вязкостью.
Таким образом, нам удается наконец убедить критика в правильности нашего приема, но для этого понадобится использовать значительные экспериментальные ресурсы и, кроме того, потребуется навык и опытность для правильного суждения. Необученный новичок едва ли оказалсн бы способным применить метод анализа размерностей к нашей задаче и получить удовлетворительные результаты.
Перейдем к третьей задаче, Даны два тела с массами т1 и тз в пустом пространстве, вращающиеся вокруг общего центра тяжести по круговым орбитам под действием силы взаимного тяготения. Мы хотим знать, каким образом время обращения зависит от других переменных. Как и прежде составляем таблицу величин. 1б Глава 1 Таблица 3. Символ !рорму!!а размерности М М В Т Название величин»! Масса первого тела Масса второго тела Расстояние между телами Время обращения тп! п»2 Очевидно, этим и ограничиваются все физические величины, связанные с задачей, ибо когда бы и где бы мы ни заставили два тела с массами н!! и тз на расстоянии г совершать круговое дви»кение в пустом пространстве под действием их взаимного тяготения, мы всегда получим одно и то же время обращения независимо от материала, из которого состоят тела, и от их предыдущей химической или динамической истории.
Найдем функциональное соотношение 1 = 1 !т»! 7нз! г) ° Налагаем условие, чтобы это равенство выполнялось независимо от выбора основных единиц. Первый же взгляд на уравнение приводит нас в некоторое смущение, так как в левой части стоит толька время, в правой же части времени нет совершенна. Критик за нашей спиной подсказывает: «Но вы включили не все величины, от которых зависит результат, ясно., что вами забыта постоянная тяготениям — «Как это может быть, возражаете вы, постоннная тяготения должна появиться сама собою, об этом позаботится природам Несомненно, что два тела с массами т! и тз на расстоянии г одно от другого всегда вращаются с одинаковым периодом.
Мы включили в таблицу все физические величины, которые могут изменяться. Критик, однако, настаивает на своем: уступая ему, мы вставлнем постоянную тяготения в число переменных, чтобы попробовать, что из этого выйдет. Назовем эту постоянную С; очевидно, что ее размерность будет М »1»Т з, так как она определяется законом тяготения Ньютона. о!1и!2 Сила тнготения = С 2 г «Постоянну!о», имеющую размерность, т.е, меняющун! числову!о величину при переходе к другой системе основных единиц назовем «размерной» постоянной. Наше функпиональпое соотношение принима- Введение ст вид1 1 —,7 (т1 т2 с Т) ° Это функциональное уравнение разрешается уже не так просто непосредственным рассмотрением.
как два предыдущие; придется немножко заняться алгеброй. Предположим, что функция выражается в форме суммы произведений аргументов в некоторых степенях. Мы знаем., что если обе стороны уравнения должны оставаться равными при любом изменении основных единиц, то размерность любого из произведений в правой части равенства должна быть такой же как и в левой части, т.е. Т.
Пусть типичный член суммы произведений имеет вид: П11 7П2 С Т Размерность всего произведения должна быть Т, т.е. М7 МД~М вЂ” '1зТ вЂ” 2)21е — Т Приравниван показатели у 1о М н Т в правой и левой части, имеем се + 7.'7' + б = П 7 2-1+В=О, — 21=1, откуда б= —; а= — 11+— 3 1 2' 2 «-Е'*, .,н.! (т.) где к и А могут иметь произвольные значения. „з72 Вынося ",, за знак суммы., можем написать ~ 77,н 72 2' 1 Значения ж и 72 полностью не определяются, находится только их отношение, так как у нас только три уравнения при четырех неизвестных.
Отношение се к,З показывает, что т1 и п72 должны входить в фор— 1/2/те 1 ме Тя ~ — ), причем значение:е ничем не ограничивается. Отсюда Глава 1 Выражение под знаком суммы, если л и А ничем не ограничены, есть произвольная функция от —,„,',, которую мы изобразим в випм де 33( —,„~). Отсюда „3/г /тг~ Ф ~ 3/г г/г ("ц / в пгг т. е. квадрат периода обращения пропорционален кубу расстояния между массами и обратно пропорционален постоинной тяготения. если все прочее остаетсн неизменным. Соображения другого рода позволяют для частных случаев определить вид неизвестной функции 33.
Пусть одно из тел обладает очень большой массой, второе же является легким спутником; в этом случае с достаточным приближением можно считать, что центром вращения является центр массивного тела. Ясно, что при этих условиях время обращения не зависит от массы спутника. Если масса спутника удвоится, то удвоится и сила притяжения, следовательно, ускорение, определяемое отношением силы к массе, останется неизменным, т.е.
время обращения останется тем же самым. При этих специальных условиих неизвестная функция ~р обращается в постоянную величину, и мы найдем .3/2 1 = сопле 'а'/г '/'' пгг Это соотношение, как известно, согласуется с астрономическими фактами. Таким образом, наш критик оказался, по-видимому, правым, настаивая на включении постоинной тяготения в таблицу. У нас остается, однако, неприятное ощущение, поскольку мы не понимаем ясно ошибочности первоначального нашего рассуждения. Нас начинает тревожить предчувствие, что в будущем обнаружитси еще какан-нибудь размерная постояннан, которой теперь мы еще не знаем и в отношении которой нс будет столь очевидной невозможность пренебрежения, как это было в случае постоянной тяготения. Мы опасаемся, что при таком положении вещей получится неверный ответ, и не знаем, не рухнет ли вообще все строение.
Помимо недоумения с размерными постоянными, последняя задача естественно вызывает и другой вопрос. На каком основании можно Введение предполагать, что неизвестная функция должна быть представлена как сумма произведений независимых переменных в некоторых степенях'? Разумеется, в математике существуют функции, которые нельзя выразить этим способом. Неужели природа ограничила вид действительно существующих функций только той небольшой частью, которая легко усваивается человеком? Рассмотрим четвертую задачу, разобранную Р э л е е м в том же номере Яа1пге. Это знаменитая задача о перекосе тепла, которой до Рэлел занимался Б у с с и н е к. Твердое тело определенной геометрической формы, но переменных абсолютных размеров, находится в неподвижном состоннии в потоке жидкости и поддерживается при постоянной температуре, превьппающей температуру жидкости на некотором расстоянии от тела.
Требуется найти скорость переноса тепла от тола к жидкости. Как и прежде, составляем таблицу 4 различных входящих в задачу величин и их размерностей. Таблица 4. Символ Формула размерности НТ ' Ь ЬТ В Низвиние величины Скорость переноса тепла Линейные размеры тепла Скорость потока Разность температур Теплоемкость жидкости па единицу объема Теплопроводность жидкости Не — зу — г НЬ 'Т '0 ' сопле а"Вдитсей'. Налагая условие равенства размерности этого произведения размерности Ь, как и в прежней задаче, получаем четыре уравнения, со- Это первая задача из области теплоты, с которой мы встречаемсн, и мы ввели две новых основных единицы, единицу количества тепла (Н) и единицу температуры (В). Заметим, что масса не входит в формулы размерностей ни одной из переменных этой задачи.
Коли бы мы захотели, ее можно было бы ввести, отказавшись одновременно от Н. Так же, как и в последнем примере предполагаем, что интересующая нас скорость переноса тепла выражается как сумма произведений аргументов в некоторых степенях. Общий вид члена такой суммы имеет вид: Глава 1 ответственно четырем оснонным единицам: б + л = 1 (условие для показатели при Н), (3 — б — л = О (условие для показателя при д), сг + у — Зб — л = О (условие для показателя при Е), --у — л = 1 (условие для показателя при Т). Для пяти неизвестных мы имеем только четыре уравнения; таким образом одно из неизвестных останется произвольным. Пусть это будет у.
Разрешая уравнения относительно ч, имеем: гл=1+ у, Д=1; б= у; .=1 — у, откуда вышенаписанный общий член суммы принимает вид: сопзга0й( ") Полное решение есть сумма членов такого типа. Как и раньше значения константы и у ничем не ограничены, поэтому все члены суммы могут быть слиты в единую произвольную функцию, и результат можно записать в таком виде: в лг(асо) Следовательно, скорость переноса тепла пропорциональна разности температур, но от других переменные зависит не вполне определенным образом. Хотя форма функции г неизвестна, однако вид аргумента этой функции дает очень ценные сведения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
