П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Любые правила операций могут служить основанием системы измерений, сопрягаюгцих числа с явлениями таким образом, чтобы своеобразие данного явления однозначно определялось числом в свлзи с правилами операций. Однако требование постоянства отношения, или, как можно сказать, абсолютного значения относительно- Узэээ й го количества, существенно для всех систем измерений, применяемых в пауке.

Анализ размерностей не применим к системам, пе удовлетворяющим этому требованию, поэтому в этой книге мы рассматривали только такие системы. Следует в особенности заметить, что линия раздела между первичными и вторичными величинами не является резкой и раз и навсегда установленной естественными условиями; она в значительной степени произвольна и зависит от того или иного ряда правил операций, которые мы находим удобными припять., определяя нашу систему измерения. Например, в нашей обычной системе механики сила является вторичной величиной, и мера ее получается перемножением числа, измеряющего массу на число, измеряющее ускорение (которое и само является вторичной величиной).

Но физически сила вполне достойна занимать место первичной величины, потому что мы понимаем смысл утверждения, что одна сила вдвое больше цругой, и нам известен процесс, при помощи которого сила может измеряться при помощи единицы ее же собственного вида. То же самое можно сказать относительно скорости: возможно найти способ непосредственного сложения скоростей и таким образом измерять скорость единицами ее собственного вида, т. е.

возможно рассматривать скорость как первичную величину; можно, пожалуй, усомниться в том, что любая физическая величина пригодна в случае надобности и удобства в качестве первичной. Сразу, например, неясно, можно ли придумать физические приемы для непосредственного сравнения двух вязкостей без измерения величин другого рода? Но этот вопрос не существенен для дальнейшего и не должен иас задерживать, хотя сам по себе он очень интересен.

Констатируем только, что сопряжение чисел с измеряемыми количествами требует некоторой системы правил операций такого рода, что величингл распадаются на две группы, которые мы называем первичными и вторичными. Мы говорили уже, что требование «абсолютного значения относительной величиньж налагает определенные ограничения на операции, посредством которых вторичные величины могут быть измерены через первичные. Формулируем это ограничение аналитически. Назовем первичные величины, при помощи которых измеряются вторичные, через сб Д, у и т.д. Измерения первичных величин комбинируются определенным образом так, чтобы получилась мера вторичной величины.

Представим эту комбинацию функциональным символом Г", по- Формулы раэмерноюни лагая, следовательно, что вторичная величина = Г(О, )3, у, ...). Если имеются два конкретных образца вторичной величины, то свнзанные с ними первичные величины имеют различные численные значения. Обозначим значения, связанные с первым образцом, индексом 1, со вторым — индексом й. Тогда 1(111, П1, чг, ...) будет мерой первого образца, Г'(Оз, В2, уз,...) мерой второго. Изменим теперь размер основных единиц.

Возьмем единицу, измеряющую О, в х раз меньшей. Тогда, как мы видели, число. измеряющее О. будет в х раз больше, или хО. Точно также возьмем единицу, измеря1ощую,З в у раз меньшей, и соответствующее число станет равным угэ'. Поскольку правило операции, посредством которого численное значение вторичной величины получено из первичных величин, не зависит от размера первичных единиц, число, измеряющее вторичную величину, делается теперь равным Г'(хО, уД, ...).

Мерами двух конкретных образцов вторичного количества теперь будут э (хО1, У31.... ) и э'(хО2. У122. ° ° ° ). Наше требование абсолютного значения относительной величины аналитически выразится так: ,)'(О1, Н1:" ) У(ХО1, У)11 " ) Э (О2, 112; ° ° ° ) Э (хО2' УГэз~ ' ') Это отношение должно быть справедливым для любых значений О1, А~ ° . ~ О2, 122, ° И Х У~ 21 Мы хотим отснэда найти вид неизвестной функции й". Перепишем нашу формулу в таком виде: Э (ХО1, У1э1, ... ) = Э (ХО2~ У1э2~ "..

) Х У(О1,А," ) э (Оз 122 ° ° ) Дифференцируя по х и обозначая через 11 частную производную относительно первого аргумента и т, д., имеем: У(О , А, ...) О1,)1(хО1, У(11, ...) = О2ЫХО2, удэ, ) х ./(О2~ Р2: . ) Положим теперь х, д, 2 и т.д. равными 1, тогда Л(О1 А. ") Л(О2, дэ, ) Э (О1 д1 ) Э (112; Ыз ° ° ° .) 32 Слава й Эта формула должна выполняться для любых значений оы Д, и оз, А, ... Отсюда, полагая жз, Дз, ... постоянными и позволяя оы ны изменяться, имеем: д~ ду — ' — = сопзь г до или 1 ~У сопа$ г' до откуда интегрированием находим: гг Сг осока Множитель Сз есть функции других переменных Д,т,... Этот прием можно повторить, частично дифференцируя относительно у, г....

и затем интегрируя. Окончательный результат, очевидно, будет: У: Ссгагзь7с где а, Ь, с, ... и С вЂ”. постоянные. Таким образом, каждое вторичное количество, удовлетворяющее условию абсолютного значения относительной величиньб должно выражаться как некоторая постоянная, умноженная на первичные величины в некоторых степенях.

Мы уже говорили, что только вторичные величины такого рода применяются в научных измеренинх, величины иного характера здесь пе рассматриваютсл. Итак, мы ответили на один из вопросов вводной главы: почему в формулах размерностей основные единицы входят всегда как произведения в степеняху Ясно, что операции, посредством которых вторичная величина измерлется при помощи первичных, математически определены коэффициентом С и показателнми степеней различных первичных величин.

Для упрощения коэффициент почти всегда полагается равным единице, хотя нет необходимости именно длн такого выбора. Существуют системы, имеющие применение, в которых коэффициент не всегда приравниваетсн единице. Например, так называемые рациональные и обычные электростатические единицы отличаются множителем ъ'4к. Такое различие в числовом коэффициенте не существенно и всегда легко учитывается, но степенные показатели имеют основное значение.

Стеленной Формулы размернотпи показатель первичной величины по определению является аразмерностью» вторичной величюзы в отношении данной первичной. «Формула размерности» вторичной величины есть совокупность показателей различных первичных величин, фигурирующих в правилах операций, при помощи которых измеряется вторичная величина. Во избежание путаницы показатели ставятся всегда при символах тех первичных величин, к которым они относятся в виде степеней. Например, скорость измеряется, по определению, делением некоторой длины на некоторое время (не следует забывать, что в действительности это означает деление числа, являющегося мерой некоторой длины на число — меру времени). Поэтому экспонент длины +1 и экспонент времени — 1, а вся формула размерности имеет вид 1Т .

Сила в обычной ньютоновой механике определяется как масса, умноженная на ускорение. Размерность силы поэтому равна массе, умноженной на размерность ускорения. Размерность ускорения получается из его определения как изменения скорости в единицу времени, т.е. равна ЬТ з. Отсюда размерность силы будет МЬТ Заметим, что размерность любой первичной величины на основании простого обобщения определенип совпадает с символом этой первичной величины. Нужно особо отметить, что размерность первичной величины на основании данного определения не имеет абсолютного значении и определена только применительно к тем правилам операций, посредством которых мы получаем числа, сопряженные с физическим явлением, формула размерностей не обнзательно даже должна указывать существенные стороны правил операций.

Например, в формуле размерности силы как произведения массы на ускорение не содержитсн указания на то, что сила и ускорение суть векторы, и что сравниваются их компоненты в одном и том же направлении. Ьолее того. правила операций при действительных измерениях находятся в нашей власти и могут изменяться, и мы, разумеется, поступили бы неразумно, не меняя их в зависимости от преимуществ, представляемых специальным характером данной физической системы или проблемы. В последующем изложении мы встретимся со многими задачами, в которых выгодно выбрать особую систему измерений, т.е. правил операций.

Различные системы измерении могут отличаться как по характеру величин, которые удобно считать первичными и определянзщими другие, так и по числу величин, избираемых в ка- Рви«а й честве первичных. Все зависит от характера задачи, и наша обязанность — выбрать систему, наилучшим образом приспособленную к задаче. Бессмысленно поэтому говорить: «такая-то размерность физической величиньж, если одновременно не указана система измерений, в отношении к которой определена размерность.

Это не всегда ясно даже тем, кто при других условиях признает относительную природу формул размерности. Например, Б э к и н г э м в РЬуа1св1 Кет1ек, 4, 357, 1914 г., говорит: «Рассуждение Толь мана основано на предположении, что абсолютнан температура имеет размерность энергии, что недопустимо». Тольман допускает правильность такой точки зрения.

(Р1»уа1са1 Вяи1ек, 6, 226, 1915 г., примечание). Я полагаю, что Тольман имеет право положить размерность температуры равной размерности энергии, если только это совместимо с физическими фактами (как это, по-видимому, имеет место) и удобно. Эта точка зрения на природу формулы размерности противоречит общепринятой и часто высказываемой. Многие думают, что формулы размерностей имеют некий сокровепный смысл, связанный с «последней сущностью» предмета, и что, написав формулу размерности, мы несколько ближе подходим к пасти»кению этой сокровенной сущности. С этой точки зрении в формуле размерностей есть что-то абсолютное, и слова вроде «реальной независимости» в возражениях Рябушинского Рэлею по поводу задачи о теплопроводности (гл.

Характеристики

Список файлов книги