П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

в системе единиц, как угодно отличающихся по размеру от единиц оснонной системы. Мы уже применяли метод, основанный на формулах размерности, для определения изменения той или иной величины при переходе к другим первичным единицам. Этот вопрос разбирался во второй главе. Назовем основные единицы ты тз, гиз, ... и обозначим размерности а через аы аз, аз, ..., размерности Д через Д,,9з, дз, ... (относительно величин ты тз., тнз,,).

Увеличим размер основных единиц т„тз, тз, ... в лы шз, хз и т.д. раз. Тогда численные значения а, ~3, ... в новых единицах, которые мы обозначим через а',,3', ... будут, как доказано в третьей главе: Глава 4 Значение этой подстановки состоит, очевидно, в том, что величины о", 12в, ... зависят только от первых степеней исходных первичных величин. Коли какие-нибудь из величин о1, )31, ... равны нулю, то соответствующие члены (В) выпадают и нет надобности в переходе к оа, 11 О При этой замене переменных уравнение 1В) принимает вид: и 22 „ДВ 22 о д д дои дна Назовем через ~в последнюю из и переменных 12", 12в, ... и введем (и — 1) новых переменных 21, 22, ..., 2а 1, являющихся отношения- МИ Ов, )2", ...

К ~а. Иначе говоря: Подстановка в функциональное соотношение дает: 221ов 1)а ° ьв) — = 22(21ьа, 22ьв",, (и). Теперь можно показать, что функция с правой стороны равенства пе зависит от (и. Это следует из того, что производная относительно ~" равна нулю. Действительно, В~а и — и 212л1+ 22222 + ' ' '+ 2 — 1У вЂ” 1 + У Еа Последнее выражение равно нулю, так как числитель является просто левой частью уравнения (С) в другой форме. Поэтому функция р121~в, 22~", ...) действительно зависит только от (т1 — 1) з-тов, и мы можем написать: 22111 "1л ~ ''' ~ с ) 22(21с: 22с 1 ~ с ) 1121 22; .; 2а — 1)~ где ф есть функция только 1и — 1) аргументов, в то время как у2 за- ВИСИТ От П аРГУМЕНтОВ.

БОЛЕЕ ТОГО, таК КаК ВСЕ ВЕЛИЧИНЫ 12в,..., Св по определению зависят только от первой степени — первой первичной величины, то все отношения 21, 22, ... не имеют размерности относительно первичной величины. П-теорема Рассуждение можно теперь повторять сначала, если положить: ф(аы ез; ха — 1) — О что следует из (А), поскольку доказано, что ф тождественно т. Но уравнение ф = О есть уравнение того же типа, как (А) с тем отличием, что один аргумент исчез из функции и одна первичная величина из аргументов.

Повторение прежнего приема с дифференцированием ф относительно жз исключает вторую первичную величину из аргументов и снижает число аргументов еще на одно. Процесс, очевидно, может повторяться до полного исключения первичных величин. Каждое исключение первичной величины сопровождается уменьшением числа аргументов ~а одно.

и таким образом окончательная фушьция становится функпией (и — ьч) аргументов. 1'ассмотрение характера подстановок, применяемых при осуществлении редукции обнаруживает характер аргументов окончательной функции. Мы имели дело с двуми типами замены переменных, с возведением в степень или с составлением отношения. Ясно, что комбинации таких подстановок может дать только произведения первоначальных переменных в некоторых степенях, Отсюда мы получаем окончательный результат. Если уравнение 1о(о,(1,т,...) = Оесть полное уравнение, то решение имеет вид: р'(Пы Пз, ...

) = О, где П являются независимыми произведениями аргументов а, )3, "~,..., которые не имеют размерности относительно основных единиц. Результат, формулированный таким образом, известен под названием П-теоремы и в инной форме был высказан, по-видимому, ш1ервые Бэкингэмом (4), эквивалентный результат применялся Джинсом (3), однако без отчетливой формулировки, Последнее уравнение может быть разрешено относительно любого из произведений, и новая форма прежнего результата будет: о ' = ~3"уее...Ф(Пз, Пз..

° ° )1 где л таковы, что о)о "у "... не имеет размерности. 50 Глава 4 В этой форме результат есть математическое выражение принципа размерной однородности. Произвольная фупкпия в правой части есть функции аргументов с нулевой размерностью, и, таким образом, каждый член результирующей функции должен сам по себе не иметь размерности. Каждый член этой функции должен быть умножен на член той же размерности, каковую имеет левая сторона уравнения, с тем, чтобы каждый член правой части имел такую же размерность, как и левая часть. Члены могут быть перегруппированы любым способом, но при какой угодно перегруппировке размерность всех членов будет та же самая. Это положение известно под названием п р и н ц и и а р а змерной однородности.

Часто делаются попытки дать непосредственное доказательство принципа размерной однородности с точки зрения на формулу размерности как на выражение «физической сушностнэ некоторой величины. Так говорит, например, что уравнение, являющееся адекватным выражением физических фактов, должно быть верным при любом изменении размеров основных единиц, ибо физическое соотношение не может зависеть от произвольного выбора единиц. Если же уравнение верно при любом выборе единиц, то размерность всех членов должна быть одной и той же, иначе мы приравнивали бы друг другу величины различного физического характера.

Например, согласно этому взгляду мы не можем иметь с одной стороны уравнения величину с размерностью длины и величину с размерностью площади на другой стороне уравнения, ибо равенство площади длине является абсурдом. Шаткость этой точки зрения будет ясной. если вспомнить, что уравнение может быть только уравнением между числами, являющимися мерой некоторых физических величин. Особо важно отметить, что вышеприведенные рассуждения подлежали крайне существенному, не высказанному явно ограничению.

Полагая фж, Д, ...) = О, мы неявно предполагали, что это единственное соотношение между об Д, ... и что поэтому частные производные могут быть найдены обычным образом. Если о, Д, у,, свлзапы и иными уравнениями помимо фгх, )3..... ) = О, то наши рассуждения перестают быть справедливыми и результаты не верны. В общем случае неважно, что полное уравнение, т. е уравнение, остающееся справедливым при изменении размера первичных единиц, размерно однородно. Такое уравнение необходимо размерно однородно только в том случае, П-теорема если нет других численных связей между переменными, кроме самого уравнения.

Рассмотрим в виде примера падение тела. Пусть я — его скорость, л — путь, пройденный падающим телом, 1 время падения, д — ускорение силы тяжести. Эти величины связаны между собой и существует не только одно уравнение связи, так как в и л определены, если даны г и д. Соотношения.

связывающие зти величины, суть: дх ю=/ф; а= —. На основании вышесказанного, мы можем ожидать, что полное уравнение, связывающее и, л, д и С не окажется размерно однородным. Результат получается сразу, именно: з О+ 8 = ат+ —. 2 ' Это, очевидно, полное уравнение, потому что оно верно и останетсн верным при любом изменении размера основных единиц длины и времени. На основании зтих элементов можно построить уравнение значительно более необычное и очень сложное., например: ) д зь(в — лт2/з) в [л1п, ~ = дМ сЦя — д1).

Это -- снова полное уравнение, оно не является размерно однородным и нарушает наше предвзятое мнение о возможных трансцендентных функциях. Возможность уравнений такого рода сама по себе опровергает интуитивный метод доказательства принципа размерной однородности.

~2 Уравнение в+ л = д~+ —. напоминает один из приемов, приме- 2 няемых в векторном анализе, в котором три скалярных уравнения могут быть заменены одним векторным. Разумеется, можно складывать вместе любое число полных уравнений, получая правильный результат. Если размерности первоначальных уравнений все различны, то получаемое сложное уравнение (полное, но размерно неоднородное) может быть разложено подобно векторному уравнению на некоторое число более простых уравнений, если выбирать части с равными размерностями.

Я не знаю, впрочем, может ли такой метод сведения результатов 52 Глава 4 в общую компактную форму принести какие-либо практические преимущества. Вернемся теперь к первой форме нашего результата: Р'(П, П2,... ) = О. Рассмотрим произведения П и их структуру из переменных. Напишем типичное П в форме. вал с а, 6, с, ... должны быть выбраны так, чтобы это выражение не имело размерности. Подстановка размерных символов а, Д, ... дает столько же уравнений между а, Ь, с,..., сколько имеется видов основных единиц.

Эти уравнении таковы: а1а+()2б-Ь тле-Ь... = О, аза+Яб-~- узс~... = О, а,„а + ~Зыб+... = О. Имеетсн т уравнений, каждое с и членами. Теорию решенин такой системы уравнений можно найти в курсах алгебры, Вообще говоря, и > т. При этом условии в общем случае будет (и — и2) независимых решений, т.е. будет (и — т) независимых произведений без размерности, и произвольная функция л' будет функцией (и — т) переменных. В некоторых специальных случаях это заключение должно быть видоизменено. Если, например, и = т, то решения, вообще говоря, не будет; оно имеется, однако. в том случае, когда детерминант показателей а2 А а2 ))2 Далее, может быть более чем (и — т) независимых решений.

Это произойдет в том случае, когда все т;рядныс детерминанты показателей равны нулю. Разумеется, это редкий случай, но мы встретимся с одним таким примером. П-теорема В общем случае, когда имеетсл (я — т) независимых решений, вообще говоря, возможно выбрать (я — т) из величин а, 6, с, ... подходнщим образом, приписать им (я — гл) независимых значений и разрешить относительно остающихся величин.

Характеристики

Список файлов книги