П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Например, мы видим, что изменение скорости потока жидкости приводит к такому же точно изменению, как изменение теплоемкостн: удвоение скорости жидкости при неизменности прочих переменных оказывает такое же влияние на скорость переноса тепла, как и удвоение теплоемкости жидкости. Эта задача может также вызвать ряд вопросов. Один из них был поставлен Д. Рябу ш и н с к и м в письме в Ма1пге 95, 591, 1915 г. Он писал: вВ учаспге от 18 марта лорд Рэлей дает формулу ~,о ц ~ (асо) 21 введение рассматривая количество тепла, температуру, длину и время как четыре «независимых» величины.

Если предположить, что только три из этих величин «действительно независимы», мы получим другой результат. Например, если температура определена через среднюю кинетическую энергию молекул, то анализ размерностей позволяет утверждать только то, что Ь вЂ” йа0Р(, са ), т.е. вместо неизвестной функции от одного аргумента получается функция от двух аргументов. Коыечно, такая функции значительно менее ограничена, чем функция только одного аргумента. Например, в данном случае уже нельзя сделать вывода, что изменение скорости влияет так же, как изменение теплоемкости. Таким образом, замечание Рябушинского существенно.

Рэлей ответил Рябушинскому в том же томе Ха$цге (стр. 644) следующим образом: «Вопрос, подннтый Рябушинским, относится скорее к логике, чем к способу применения анализа размерностей, интересовавшему меня. Вопрос очень заслуживает дальнейшего рассмотрения. Мое закан»чение получено на основе обычных уравнений Фурье для теплопроводности, в которых температура и количество тепла принимаются как величины ып КевегЬ. Мы имели бы дело с парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла в молекулярной теории приводило бы нас к худшему положению, чем раньше при рассмотрении частной задачи.

Решение парадокса состоит, по-виднмому, в том, что в уравнениях Фурье содержится такое предположение о природе тепла и температуры., которого нет в аргументации Рябушинского». Я думаю, что этот ответ Рэлея едва ли кого удовлетворит. Разумеется, нет никаких сомнений в искусстве Рэлея в деле получения правильного результата применением анализа размерностей, но найдется ли у нас навык и физическан интуиция Рэлея, чтобы самим так»ке получать правильный результат? Не даст ли некоторое рассмотрение логики метода надежный способ решения вопроса, нвляются ли температура и количество тепла «действительно» независимыми единицами или нет, и как следует выбирать наши основные величины? Помимо первого вопроса о надлежащем выборе числа единиц при составлении формул размерностей, эта задача о теплопроводности вы- Глава 1 Таблица 5.

Символ Формула размерности Мз1зт з1зТ-1 В Название величины Заряд Радиус сферы Электро-магнитная масса Напишем гв =,?(е, г) и найдем вид функции 1, основываясь на том. что соотношение должно быть независимым от размера основных единиц. Нсно, что Т не может входить в правую часть равенства, так как оно не входит в левую. Но Т входит в правую часть только через е, поэтому и е не может входить в правую часть.

Однако, если в правой части нет е, то там не может быть и М, так как М входит только через е. Мы встречаемся, таким образом, с противоположными требованиями, делающими решение задачи невозможным. Но снова наш критик-Мефистофель подсказывает, что мы забыли какую-то размерную постоянную. Мы недоумеваем: наша система расположена в пустом пространстве, какой размерной постоянной может характеризоваться пустое пространство? Критик на- зывает и другие вопросы также физического характера. Например, имеем ли мы основание пренебрегать плотностью, вязкостью, сжимаемостью, тепловым расширением жидкости или абсолютной температурой? Вероятно, многие скажут, что такое пренебрежение оправдано, но это утверждение будет основываться на конкретных аргументах и основательных физических сведениях о рассматриваемой физической системе, Проблема не может быть разрешена философом на кафедре, необходимые знания достигнуты когда-то кем-то, запачкавшим свои руки прямым опытом.

В заклкзчение остановимся на пятой задаче, несколько отличного характера. Попробуем найти, как зависит электромагнитная масса электрического заряда. равномерно распределенного по сфере, от радиуса сферы и величины заряда. Полагаем, что заряд расположен в пустом пространстве, и. следовательно, единственными переменными являются заряд и радиус сферы. Применяем прежний метод.

Размерность заряда (выраженного в электростатических единицах) получаем из закона Кулона. Таким образом имеем таблицу 5: Введение стаивает, однако, на том, что у пустого пространства имеются свойства, и при некоторой пастойчиностн с нашей стороны подсказывает, что свет распространнется с определенной, характеристической скоростью. Мы снова возвращаемся к задаче, включив в таблицу скорость света с с размерностью ВТ ', имеем: па = ~(е>, гм с).

Прежние затруднения сразу исчезают, и на основе опыта решения предьщущих более сложных примеров мы получаем сразу: з ти = сопИ вЂ”,. его Эту формулу мы найдем в любом курсе электродинамики, и, следовательно, наш критик снова оказался прав. Мы чувствуем себя смущенными, не ясно понимал роль размерных постоянных, и несколько успокаиваемся, вспомнив, что с определнет одновременно отношение электростатических единиц к электромагнитным. Однако нам еще не очень ясно, каким образом входит это отношение.

Размышляя о решениях рассмотренных задач, мы встречаемся и с другим вопросом. Почему уравнение, правильно связывающее различные измеримые физические величины, должно по своей форме не зависеть от размера основных единиц? Как будто бы для этого нет никакой необходимости, диктуемой природой самого физического измерения. Всякое уравнение есть описание лвлснин или класса нвлений. Оно утверждает в компактной форме, что оперируя определенным предписанным способом так, чтобы получить ряд чисел, описывающих результаты операций, мы должны при подстановке этих чисел в уравнение удовлетворить последнему.

Вообразим себя, например, в положении Галилея, пытающегося найти закон падения тел. Материалом для наших наблюдений могут служить все свободно падающие тела на поверхности земли. В качестве измерительного инструмента пользуемся некоторой единицей длины, например метром, и некоторой единицей времени, например минутой. Мы применяем эти единицы по определенным правилам ко всем падающим телам и получаем пары чисел длн различных тел, относящихся к пространству, пройденному за некоторое время, протекшее от начала падении. Мы делаем при этом великое открытие, заключающееся в том, что число, выражающее расстояние 24 Глава 1 падения любого тела, любого размера и свойства, находится всегда в постоянном отношении к квадрату числа, выражающего протекшее время.

Измеренные числа, вставляемые в это соотношение, были получены при помощи некоторых совершенно определенных единиц. Тем не менее описание верно, и наше открытие очень важно даже при условии, что расстояние и время должны измеряться первоначально избраннымн частными единицами. Наше открытие можно записать в виде уравнения: я =сопят 1. Пусть некто, обитатель другой страны, пользующийся другой системой единиц, столь же ненаучной, как паш метр и минута, просльппав о нашем открытии, воспроизводит опыты со своими измерительными инструментами.

Он подтверждает наш результат, но значение постоянной в его уравнении другое. Это значит, что постоянная зависит от размеров примененных единиц, т.е. является размерной постоянной. Узнав о результатах проверки нашего открытия в другой стране, мы начинаем размышлять. Наконец, мы приходим к выводу, что так и должно быть и не могло быть иначе. Мы беремсн предсказать наперед, как изменится постоянная в зависимости от той или иной системы измерений. Если нас начинают расспрашивать о деталях, то мы даем софистический ответ., что мы меннем постоянную так, чтобы в точности компенсировать всякое изменение чисел.

представлнющих длину или время., в результате получаетсн по существу прежнее уравнение. Если единица длины вдвое меньше первоначальной, таь что число, измеряющее некоторое расстояние падении, становится вдвое большим, то мы умножаем постоянную на 2, чтобы компенсировать лишний фактор 2 в левой части уравнения. Точно так же, если единица времени втрое больше первоначальной, т.е. число, выражающее длительность падения, имеет только —, первоначального значения, постоянную придется 3 умножить на 9, чтобы компенсировать фактор —, который иначе по- 1 явился бы в первой части равенства. Иными словами, мы приписываем постоянной размерность ЬТ з и таким образом получаем формулу, не зависящую от размера основных единиц. Эта удача ободряет нас, и мы переносим процесс и на другие, более сложные системы.

Например, мы наблюдаем высоту приливов в порту, пользуясь для измерения высоты воды футовой линейкой и часом, как 25 Введение единицей времени. В результате многих наблюдений находим, что вы- сота воды может быть представлена формулой: Ь = 5з1п0,50660 Мы переписываем это уравнение в такой форме, чтобы всякий другой наблюдатель, применяющий для измерений другую систему единиц, мог ею воспользоваться.

Для этого вводим в уравнение две размерные постоянные: ЬСг = 5в1п0,5066 Сз1., где Сг имеет размерность 1, г и Сз размерность Т Отсюда, естественно, следует обобшение. Любое уравнение, какого угодно вида, правильно воспроизводящее результаты измерений, выполненных при помощи некоторой системы единиц в физической системе, может быть приведено к такому виду, в котором оно верно и для других систем единиц. Для этого к каждой наблюдаемой величине нужно ввести в виде множителя размерную постоянную, размерность которой должна быть обратной по отношению к размерности самой наблюдаемой величины.

Числовая величина этой постоянной должна быть такой, чтобы в первоначальной системе единиц она имела значение 1. Разумеется, во многих случаях форма уравнения может быть такой, что две, или большее число таких размерных постоянных сливаются в один множитель. Вышеприведенный пример паденил тела относится к этому случаю. Только что приведенное общее правило требует введения двух размерных постоянных, одной при а слева, другой при 1з справа: посредством перемножении их можно, однако., слить в одну. На наш вопрос получен ответ, мы видим, что всякое уравнение можно привести к такому виду, что оно выполняется независимо от размеров основных единиц.

Характеристики

Список файлов книги