П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 2
Текст из файла (страница 2)
До сих пор не было, однако, систематического изложения принципов метода. Возможной причиной этого пробела могло служить мнение о крайней простоте предмета, делающей специальное изложение ненужным. Между тем часто встречаются очень существенные ошибки в отношении основ метода и его применений. Эти ошибки столь распространены и имели настолько глубокое влияние на характер многих спекулятивных построений (см. примеры в книге), что я считаю попытку устранения таких ошибок очень нужной работой. Я предпринял поэтому систематическое изложение принципов метода размерностей, иллюстрировав применения многими примерами. Примеры специально подобраны так, чтобы особо оттенить те пункты., в отношении которых ошибки являются распространенными. Я имею в частности в виду вопросы о характере формул размерностей, потребном числе основных единиц и природе размерных постоянных.
В добавление к примерам в тексте, в конце книги приложены задачи, которые, думаю, окажутся полезными. Вводная глава предназначается для тех лиц, которые уже несколько знакомы с общим методом. Вероятно большинство читателей окажутся такими. В этой главе на конкретных примерах я выдвигаю наиболее важные вопросы, требующие обсуждения.
Читатель, для которого предмет совершенно нов, может без всякого смущения пропустить эту главу. Я особо обнзан статьям д-ра Эдгара Бэкннгэма по данному вопросу и признателен также М. Д. Герссю, сотруднику Бюро стандартов, который несколько лет тому назад изложил в риде лекций результаты д-ра Бэкингэма.
Сентябрь 1920 г. ГлдвА 1 Введение Таблица 1 С'имеол Формула размерности Т Ь М ЬТ Хазеание величины Время колебании Ллина маятника Масса маятника Ускорение силы тяжести Угловая амплитуда колебания ьч без размерности Каждому физику приходилось применить методы анализа размерностей к простым задачам, в частности в области механики. Разберем несколько примеров для возобновления в памяти сути дела, а также для выяснения тех вопросов, на которые следует ответить при критическом рассмотрении приемов и предпосылок правильного применении общего метода.
Начнем с очень показательной задачи о простом маятнике, фигурирующей в качестве введении едва ли не в каждом изложении метода. Наша цель найти без детального решения задачи некоторые соотношении между различными измеряемыми величинами, представляющими длн нас интерес. Обычный метод состоит в следующем. Прежде всего выписывается таблица величин, от которых, предположительно, зависит ответ, далее составляются формулы размерности этих величин и, наконец, налагается условие, чтобы эти величины входили в функциональныс свнзи, не зависящие от единиц, в которых величины измерены. Попробуем этим методом найти зависимость периода колебания простого маятника от переменных, определязощих его свойства. Очевидно, время колебания может зависеть от длины маятника, его массы, ускорения тяжести и амплитуды колебаний.
Выпишем размерности этих величин, примення основную систему величин, т, е, массу, длину и время. В формулах размерностей символы массы, длины и времени мы будем обозначать большими прямыми буквами в соответствующих степенях. Таблица величин в данном случае имеет такой вид: Глава 1 Мы должны выразить 1 как функцию 1, гп, д и 0 таким образом, чтобы функциональное соотношение оставалось неизменным при любом изменении размера основных единиц. Пусть это соотношение имеет вид: 1=Я, ти,д, 0). Формулы размерностей показывают, каким образом основные единицы определяют численное значение переменных.
Численная величина периода колебании зависит только от избранной единицы времени и не меннется при изменении единиц массы или длины. Следовательно, величины, стоящие под знаком 1 в правой части уравнения, должны быть ассоциированы так, чтобы вся комбинация оставалась неизменной при перемене единиц массы и длины. В частности, не должно произойти изменения при перемене единицы только одной массы. Но размер единицы массы влияет только на величину вк Поэтому, если вообше ьч входит в аргумент функции, то численное значение функции будет иным при изменении основной единицы массы, причем это изменение не может компенсироваться соответствующей переменой значений других количеств, поскольку последние не зависят от изменения размера единицы массы. Стало быть масса вообше не может входить в функциональное соотношение, иначе говоря, наша функция принимает вид: Величины! и д' вместе должны входить в функцию так, чтобы числовое значение аргумента не менялось при перемене единицы длины и постоянном 1, т.
е. изменение числовой величины 1, осуществляемое переменой размера единицы длины, должно в точности компенсироваться изменением значения д, происходящем при такой перемене единиц. Формула размерности показывает, что для выполнения этого необходимо разделить 1 на д; т.е. Далее, изменение основных единиц не может повлиять на числовую величину угловой амплитуды, так как она не имеет размерности и, следовательно, д может входить в неизвестную функцию любым способом. Но очевидно, что — должно быть представлено в функции так, чтобы Введение вся комбинация имела размерность Т, ибо такова размерность 1, стоя- щего в левой части равенства.
Отсюда ясно, что — должно находиться под знаком квадратного корни, т.е. Таблица 2. Символ Формула размерности Т МТ з М1 — 3 Е Название величины Период колебания Поверхностное натяжение Плотность жидкости Радиус капли Нам нужно найти такую функцию ?, чтобы 1 = Д(в, в1, г), где З' такова, что соотношение остаетсн численно неизменным при любом выборе основных единиц, которыми измеряются 1, в, в1 и г. Метод где функция ез на основании только приведенных рассуждений еще не подлежит дальнейшему ограничению.
Фактически из злементарной механики нам известно, что для малых значений В вз почти постоннна, не зависит от 0 и равна приближенно 2л. В связи с размерностью В может возникнуть следующий вопрос. Мы сказали, что В не имеет размерности, и что ее числовая величина не менястсн при изменении основных единиц массы, длины и времени. Несомненно это верно. но отсюда еще не следует, что числовая величина В определена однозначно, как легко видеть хотя бы из того, что О может измеряться в градусах или радианах. Имеем ли мы право поэтому считать В постоянной величиной, которая может входить в функциональное соотношение любым способом? Рассмотрим теперь тем же методом вопрос о периоде малых колебаний капелек жидкости под влиянием их поверхностного натнжения. Пусть капелька находитсн вне гравитационного поля и колебания относится только к изменению формы, например от сферической к зллипсоидальпой и обратно.
Период колебания, очевидно, будет зависеть от поверхностного натяжения жидкости, ее плотности и радиуса невозмущенной жидкой сферы. Составим таблицу. Глава 1 решения тот же, как и в задаче о маятнике. Ясно, что М должно сокращаться в правой части уравнения.
Это может произойти только в том случае, если в и Д входят в уравнение в виде отношения. Отсюда Далее, Ь не входит в размерность 1, поэтому В нс может входить и в функции» 1, т. е. —" и т должны находиться в таком сочетании, чтобы Ь сокращалось. Но Х фигурирует в отношении в в третьей степени, д поэтому для освобождения от 1. необходимо разделить в на гз, т.е. 3 Размерность в равна Т з. Функция Г должна стало быть иметь «1т~ такую форму, чтобы зта размерность превратилась в Т, т.е. в размерность левой части уравнении.
Отсюда окончательный результат: /Гл з 1 = сопз$у —,. Результат подтверждается опытом и был указан Р э л е е м как задача!«в? в его статье в «а1оге, т. 95, стр. 66, 1915 г. Рассмотрим теперь, что мы подразул«евали, говоря вначале, что период колебания будет «зависеть» только от поверхностного натяжении, плотности и радиуса. Имели ли мы при этом в виду, что результаты независимы., например, от молекулярной структуры жидкости? Разумеется, для всякого ясно, что поверхностное натяжение определяется силами между молекулами поверхностного слоя жидкости и будет зависеть очень сложным образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
