П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Но мы видели, что формула размерности только весьма ограниченно отображает различные физические операции, входящие в определение, указыван только изменения числовой меры величины прн вариации основных единиц. Легко поннтзч что всякие операции того же родаз какие применял Кельвин, определяя абсолютнузо температуру па основе второго начала, не налагают никакого ограничения на число, измеряющее данную конкретную температуру посредством единиц, в которых, например, выражено тепло или энергия. Величина градуса термодинамической температуры может фиксироватьсн вполне произвольно; между точкой замерзании и точкой кипения воды можно, например, расположить любое число градусов, совершенно не связывая это с размером каких-либо других единиц.
В формуле размерности мы имеем дело с определением на основе второго закона лишь постольку, поскольку это определение удовлетворяет принципу абсолютного значения относительной величины, т. е. принципу, утверждающемуз что отношение мер двух конкретных объектов не зависит от размера единиц. Ясно, однако, что термодинамическое определение абсолютной температуры сохраняет отношение двух конкретных температур независимым от размера единиц. Формула размерности температуры поэтому может и не содержать каких-либо иных элементов, и температуре можно приписать ее собственную размерность. Нет необходимости применять именно абсолютную температуру.
Можно, например, определить число градусов в данном температурном интервале как число единиц длины, на которое перемещаетсн по капилляру керосин из бутыли при изменении температуры бутыли. Определенная таким способом температура, очевидно, удовлетворяет принципу абсолютного значения относительной величины, ибо если уменьшить вдвое единицу длины, измеряющей капилляр, то число градусов в казкдом температурном интервале соответственно удвоится. Преимущество термодинамической шкалы --- нее простоте. Свойства идеального газа на основе керосиновой шкалы не могут быть характеризованы с помощью одной только постоянной, и уравнения теплопроводности Фурье могут быть написаны с единственным коэффициентом теплопроводности только для очень ограниченной области.
Глава 6 Помимо размерности температуры, есть другой вопрос, связанный с применением анализа размерностей к проблемам термодинамики, который способен привести в смущение. Это вопрос о так называемых логарифмических константах. В курсах термодинамики часто встречаются уравнения, на первый взглнд не явлнющиеся полными и размерно однородными. Эти уравнения содержат постоянные, которые не могут изменяться по числовой величине на некоторый м н о ж и т е л ь при перемене размера основных единиц, но изменяются с л о ж е н н е м с некоторой величиной. Пример можно найти па стр. 6 лекций Н е р н от а «Применения термодинамики к химины Там написано уравнение: 1дС = — + — 1яТ+ — Т+ — 'Т вЂ” «.
Ло о Ь с ИТ Л Л 2Л В этом уравнении С вЂ” концентрация данного газа, ло — некоторое количество тепла, о, Ь, с размерные постоянные в обычном смысле (характеризовать их подробно нам нет надобности, можно только указать, что а не имеет размерности), а « есть постоянная интегрирования.
Ясно, что в написанной форме это уравнение не допускает изменения размера основных единиц путем обычных перемен различных величин. Однако можно так перегруппировать члены, что формула примет обычный вид. Соединим члены 1дС, о 1дТ и «в одно выражение: С Та/я«! где г' -" новая постоянная. Мы получаем таким образом полное уравнение в обычном смысле слова, причем «' имеет размерность такую же, как СТ вЂ” а/Я Перегруппировки такого рода всегда возможны, если только формула выведена теоретически, как это имеет место в отношении всех формул указанной книги, и поэтому логарифмическая постоянная является только формальным исключением. Логарифмические постоянные часто встречаются в термодипамических формулах вследствие того, что в большинстве термодннамических выражений фигурирует произвольная постоянная интегрирования.
появляющаяся потому, что энергия, работа, энтропия или термодинамический потенциал не имеют абсолютного значения, а суть только Примеры анализа размернаетея 85 разности двух значений; координаты начальной точки, фиксирующей значение энтропии, могут быть, например, выбраны по произволу. Формулы термодинамики поэтому часто имеют странный вид, заключая конкретные величины с размерностями в аргументах трансцендентных функций. На стр.
5 той же книги Н е р н с т а мы находим, например, такую формулу: НТз а1ер дТ Эта формула получается после применения уравнения К л а и е й— р о н а к веществу, пар которого подчиняется закону идеального газа и имеет объем значительно больший, чем у жидкости. Несмотря на то, что давление стоит под знаком !д, это уравнение, как нетрудно видеть, полное и справедливо для любых размеров основных единиц. Это П1КР 1 И~) явствует сразу, если вместо написать — —, откуда видно, что размерность выражений относительно Р равна нулю. Выражения такого рода., в которых фигурирует логарифм от размерной величины, обычны в термодинамике и часто появляются при применении уравнений идеального газа. Наличие этих логарифмических членов, мне кажется, трудно объяснимо для тех, кто склонен рассматривать формулу размерности как выражение конкретной физической операции над конкретным физическим явлением.
Отсутствие противоречия между такими выражениями и Н-тео- 1 4Р ПР ремой видно из преобразования †, †,. Наклон касательной, †', будет РПТ ' ПТ' одной из переменных, через которые выражается произведение без размерности, и этот случай не составляет какого-либо исключения. Наша теорема единственно утверждает, что результаты могут бьсть вьзралееяы в виде произведений без размерностей. У нас нет никаких оснований предполагать, чтобы человек, получивший формулу, сразу написал ее в таком виде, чтобы это достигалось без некоторой перегруппировки членов. Закончим главу несколькими примерами из области электричества.
Прежде всего рассмотрим электрическую цепь с емкостью и самоиндукцией; в ней возбуждается электрический разряд. Как зависит период разряда от постолнных цепи? Решение этой задачи получаетсн из подробного рассмотрения уравнений электрической цепи, написанных в обычной форме в электромаг- Глава 6 нитных единицах.
В уравнении не учитываются электростатические действия тока и взаимодействия с магнитами. Уравнение имеет такой вид: При установлении основных единиц для этого уравнения, очевидно, достаточно рассмотреть только три величины, именно количество электричества, время и энергию. Ток определяетсн как количество электричества па единицу времени, коэффициент самоипдукции опре- ,2 деляется тем, что при умножении на —, он дает энергию: аналогично емкость, деленная на квадрат заряда, дает знерги|о. Приступаем к обычному анализу: Таблица 14.
Название величины Символ Период колебания должен, очевидно, зависеть от констант цепи и начального заряда конденсатора. Иначе говоря, нужно иметь связь между у, Л, с и 1. Пас интересует 1, поэтому попробуем найти произведение без размерности такого вида: Ы с~у '. Сразу получаем показатели: 1з= — Ь 7=0; 2 откуда 1 = сопз$ъ'Хс. Это, разумеется, то же решение, которое мы нашли бы, действительно решая уравнение цепи, за исключением неопределенного значения постоннной нашего решении. Заметим, что начальный заряд в решение не входит.
Эта задача, очевидно, явлнетсн электрическим аналогом механической задачи о маятнике. Полезно отметить еще раз, что для применения анализа размерностей с пользой и в этом случае потребовались некоторые сведения о ха- Количество электричества Ток Коэффициент самоиндукцни Емкость Период Д А с 1 Формула р змерноети (~Т ' гз — гТгЕ (~гЕ ' Т Примеры анализа размернаетеа рактере решения. Новичок, приступая к этой задаче впервые, пытался бы искать соотношение размерности времени с постоянными пепи, мгновенным током и зарядом в конденсаторе. Из таблицы переменных он нашел бы, что —. также имеет размерность времени, и его решение Ч 1 имело бы такую форму: (ззьс) йз 15. Фврмизза размерности Р1!2Ь РЮЬ вЂ” 1 РЬ з Таблица Название велинш1ы Символ Заряд Сила поля Плотность энергии Это правильно, так как приводит к прежнему результату, если положить г постоянной. Но такое решение дает меньше сведений, чем прежнее.
Теперь рассмотрим одну задачу из электростатики. Концепция среды, введенная Фарадеем, позволяет считать среду местом основных свойств электростатического поля, причем условия в среде в любой момент однозначно определязотся электрическим вектором в этой точке. Найдем связь между пространственной плотностью энергии в электростатическом поле и силой поля. Поскольку эта задача статическая, явление может быть описано при помощи двух основных единиц — силы и длины. Далее, уравнения поля в электростатике не содержат размерных постоянных, и скорость света не должна входить в результат, как это наоборот было в задаче о массе сферически распределенного заряда. На основе двух единиц, силы и длины, мы можем ввести следузощие определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
