П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Применения анализа размерностей к теоретической 4изике 105 Произведение имеет вид ~олд тоал Пробуем определить показатели обычным путем. Мы встречаемся, однако, с затруднением: уравнения оказываются не совместными друг с другом. Мы проверяем это, составляя детерминант показателей в формулах размерностей к, Л, с и д. Детерминант оказывается равным нулю, т. е произведения без размерности не существует.

Поэтому можно заключить, что гипотетической связи между теплопроводностью и термодинамическими свойствами нет, и твердое тело должно обладать еще другими свойствами помимо тех, которые достаточны для термодинамики. Переходим к простому анализу проблемы излучения черного тела. Более подробно задача рассмотрена у Джинса (3). Статья Джинса интересна также тем, что он пользуется системой электрических единиц, в которой диэлектрическая постоянная пустого пространства вводится в явной форме. Легко видеть, однако, после некоторого размышления, что он получил бы тот ясе результат и с системой единиц, в которой диэлектрическая постоянная пустого пространства определена как единица.

Рассмотрим полость со стенками, не имеющими никаких специфических свойств и полностью отражающих всякую падающую радиацию. Внутри полости находится разреженный электронный газ. Голи газ разрежен достаточно, то мы знаем из рассуждений, аналогичных тем, которые приведены Р и ч а р д с о н о м при рассмотрении термоионной эмиссии, что электроны ведут себя подобно молекулам идеального газа. Эффектом пространственного распределения заряда можно пренебречь в сравнении с силами, определяемыми столкновениями частиц. Пусть электронный газ в полости находится при температуре й.

На электроны действузот силы двух родов: силы столкновения с другими электронами, природа которых такая же, как у атомов в обычной кинетической теории и силы полн радиации в эфире. Электроны постоянно ускоряются, поэтому они непрерывно излучают и поглощают энергию из эфирного поля радиации. Система должна рано или поздно прийти в равновесие, достигая некоторой плотности энергии в эфире, причем электроны должны обладать кинетической энергией, свойственной атомам газа при температуре полости. Подробное решение задачи требует, разумеется, весьма сложного статистического анализа, но и анализ размерностей приводит к некоторым заклзочепиям о форме результата. Гйб Глава 8 Решая эту задачу, мы должны пользоваться уравнениями электродинамики, следовательно, скорость света войдет как размерная постоянная в результат. Нужно учитывать заряд, массу электрона, абсолютную температуру и газовую постоянную, определяющую кинетическую энергию движении электрона как функцию температуры.

Число электронов на куб. см не войдет, так как мы знаем из кинетической теории, что средняя скорость электронов не зависит от их числа. Второе начало термодинамики также показывает, что плотность энергии в полости есть функция температуры, по не плотности электронного газа. Таблица 22.

Символ Название величины с е 0 й Применяется обычная электростатическая система единиц. В задаче 6 переменных при 4 основных единицах, поэтому должны существовать два произведения без размерности, если только не имеется специальной связи между показателями. Поскольку нас интересует и, мы выбираем ее как член с показателем, равным единице в произведении. Обычным путем мы находим два произведения ие~й ~0 л и ЬВт ~с з. Поэтому результат принимает следующую форму: и = (с~с вВ з(аВгп ~с ~). Мы ничего не знаем о природе функции ~.

Однако видно, что аргумент функпии имеет определенное физическое значение, ЙВт ' составляет половину квадрата скорости электрона, поэтому аргумент в целом составляет квадрат отношения скорости электрона к скорости света. В практической области температур это отношение остается чрезвычайно малым и, следовательно, независимо от формы функции нам из- Плотность энергии Скорость света Масса электрона Заряд электрона Абсолютная температура Разовая постоянная Формула размерности МВ'Тз СТ М Мз~зт з~зТ вЂ” з В МВ'Т зВ ' Применения анализа размерностей к теоретической газике 107 вестно, что перед нами функция весьма малого аргумента. Распространяя рассуждения, примепявзпиеся нами относительно числовой величины любых коэффициентов, с которыми можно встретиться при анализе размерностей, можно утверждать с большей вероятностью, что числовое значение нашей функции практически имеет то же значение, как и для нулевой величины аргумента, т.е.

что функция может быть заменена некоторой постоянной для всей практической области изменения переменных. Поэтому можно ожидать, что результат будет иметь следующую форму: и = сопз$ йле ~0~. 0 единственная физическая переменная правой стороны уравнения, поэтому можно написать: и=ай . Мыз разумеется, узнаем в этой формуле закон С т е ф а н а, оправдывающийся на опыте. Поэтому результат до известной степени оправдывает наши упрощения. Наши соображения о размерах числовых коэффициентов позволяют предположить, что константа в первой форме результата не может быть ни слишком большой, ни слишком лзалой.

Иначе говоря, полагая а = сопзбй е можно ожидать известной простоты результата, к которому привели бы конкретные математические операции. Л ь ю и с и Адамс обратили внимание на то, что в пределах ошибок опыта постоянная закона С т е ф а н а может быть написана в следующей форме: за (4яе)е Хотя (4яе)е далеко не малое число в смысле первоначальной формулировки Э й н ш т е й н а о веронтном критерии для числовых коэффициентов, тем не менее его можно считать малым, если учесть значение показателей величин, с которыми он ассоциирован. Нельзя отрицать, что результат обладает большой простотой и поэтому нвляется вероятнымз что указанный коэффициент может быть результатом математических операций, а не только случайной комбинацией элементов в формуле, которая правильна только в отношении размерности.

П)8 Глава 8 Во всяком случае, каково бы ни было наше мнение о правильности аргументации, удивительный характер результата остается в нашей памяти, и мы воздерживаемся от окончательного суждения до получения полного решения. Точно также периодическая система элементов существовала при известной сдержанности суждения о ней до тех пор, пока нс назрело полное решение. Следует упомянуть, что Л о р е н ц н его ученики безуспешно пытались произвести детальный анализ вопроса.

Приведенные соображения дают повод к размышлению. Знаменательно, что квант действия 6 не фигурирует в результате, хотя, по-видимому, он нераздельно связан с явлениями излучения, по крайней мере в веществе. Мы знаем, что 6, входит в формулу для спектрального распределения энергии, нам известно также из термодинамических рассуждений, что распределение энергии в спектре в полости, наполненной электронным газом, такое же, как и в черном теле, построенном из атомов. Поэтому в законе распределения энергии в спектре нашей системы должно фигурировать 6.

Значит ли это, что 6 может быть выражено через электронные постоянные, газовую постоянную и постоянные эфира, и что для объяснения 6 не требуется никакого нового механизма, нам до снх пор неизвестного? Разумеется, Л ь ю и с приравнял планковское выражение для 6 написанному выше для получения числового значения 6 на основании других постоянных'. Возьмем еше один пример применения анализа размерностей в теоретических исследованиях.

Разберем возможность объяснения лгеханических свойств вещества на основе специальной формы силового закона между атомами. гпвантовая теория излучения Лает (ср. М. Р! а и с за Чаппеззгашпгзб, 84гаь~ 15сзбз 64 стр. 183, 1921). Приравнивая зто значение выведенному в тексте, т.е. а = 14ие) находим 32 4/3 е чзг1г с ' Иначе говоря, — оказываетсл постолнной величиной, не слишком сильно отлича6с е ющейся от 1 (ср. примечание на стр.

103). Эа последние годы зта постоянная играла большую роль в спекулятивных построениях А.Э д д и н г тон а, причем сделана Ьс попытка ее теоретического вывода. Эмпирически — = 137,3, по Э д д и н г т о н у ез точно 137. Прим. ред. Применения анализа размерностей к теоретической газике 109 Можно предположить, что этот закон имеет следующую форму: А — всегда отрицательно и представлнет притягательнузо силу, В— положительно и соответствует отталкиванию, .становящемуся очень значительным при тесном сближении атомов. Атомы различных веществ могут отличаться по массе и по числовому значению коэффициентов А и В, но показатель и пусть будет одним и тем же для всех веществ, Предполагаем также, что температура настолько высока.

что квант действия Ь не имеет существенного значения в распределении энергии по различным степеням свободы, но что для этого достаточно одной газовой постоннной. Внешние переменные, имеющие значение длн свойств системы: давление и температура. Если они даны, то определен объем и прочие свойства. Мы получаем поэтому такую таблицу переменных, на основании которых нужно определить любые свойства вещества. Таблица 23. Формула размерности МЕ Т 2 у М МЕ2Т зй " М1,2Т-2 М1."+1Т Название величины Символ Давление Температура Масса атома Газовая постоянная А (из закона силы) В 4 у ги й А В А — (и;2)ди — 2) Влди — 2) А — рз — 1)ди — 2) В1ди — 2) Ау р Эти произведения сразу дают нам сведения о свойствах тел в тех случаях, когда давление и температура не являются независимыми, В добавление к этим величинам мы будем иметь то или иное свойство вещества, подлежащее анализу.

Характеристики

Список файлов книги