П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При любом выборе постоянных метод в общем будет тем же самым, как и в разобранном случае. Вообще говоря, должны быть четыре основных единицы, если только мы удовлетворяемся электростатической системой измерения зарядов и определяем величину заряда тем, что сила между двумя зарядами равна их произведению, Газовая постоянная, применяеман здесь, отличаетсн от принятой на множитель †, т.е.
соответствует трем степеням свободы. 1!раль ред. 3 2' Применения анализа размерностей к теоретической уазике 115 деленному на квадрат расстояния между ними. Если мы не желаем ограничиваться электростатической системой, то могут существовать пять видов основных единиц. Ничего существенного в этом числе 5 нет, оно возникает только потому, что обычно мы применяем механическую систему единиц, в которой фактор пропорциональности между силой и произведением массы на ускорение всегда приравнивается единице, Удобство такой системы в случае механических явлений очевидно, благодаря их универсальной распространенности. Но если бы температурные эффекты были бы столь же распространены и привычны, то мы с равным правом могли бы настаивать на системе единиц, в которой газовая постоянная имеет значение единицы. Договорившись таким образом о наиболее удобном числе основных единиц и выбрав те числовые постоянные, значения которых желательно упростить, мы поступаем как и раньше.
Очевидно, что нам нужно выбрать столько же постоянных. сколько имеется основных единиц, иначе не хватит уравнений для определения неизвестных. Так, например, в только что разобранном случае мы фиксировали 4 константы: гравитационную, постоянную, скорость света, квант действия и газовузо постоянную; в соответствии с этим у нас было 4 основных единицы. Существенно помнить однако, что не всякие 4 алгебраических уравнении с 4 неизвестными имеют решение, для этого их коэффициенты должны удовлетворять некоторому условию.
В применении к формулам размерности, в которые входят неизвестные, это условие сводится к тому, что детерминант показателей не должен равняться нулю. Вообще говоря, нельзя ожидать, что случайно взятый четырехстрочный детерминант будет равняться нулю. В случае детерминантов, составленных из показателей формул размерностей постоянных природы, зто, однако, пе так. Соответствузощие формулы размерности почти всегда очень просты, и показатели почти всегда малые целые числа. При таких условиях равенство нулю детерминанта показателей — явление обычное, и часто предложенная схема определения абсолютных единиц оказывается невозможной. Исчезновение детерминанта указывает, что все величины не являзотся размерно независимыми, т.е.
вместо четырех независимых величин, при помощи которых надо определить неизвестные, мы имеем меньшее число. Например, мы нашли, что постоннная тяготения имеет формулу размерности. совпадающую с размерностью квадрата отношения заряда к массе электрона. Это значит, что мы не можем построить систему 116 Глава 8 абсолютных единиц, в которой приравнены единице постоянная тяготения, заряд и масса электрона. Выпишем таблицу некоторых важных постоянных природы и посмотрим, какие имеются возможности в отношении определения систем абсолютных единиц.
Таблица 24. Числовая величина Символ Название постоянной с А А а' 1,431 см 'С 3, 290 ° 10" сек 4, 774 ° 10 то г11г смз1г сек. 88 10 зег 5 06.10гз — 1 7,29 101б г ' см г сек.г 'С 1П, Ас Ас' Некоторые нз приведенных величин нужно пояснить. Постоянная Стефана а определяется соотношением и = ад~, где и есть плотность энергии в полости при равновесии со стенками при температуре О. «Перваяв и «вторая» спектральные постоянные суть константы форму.чы Е г' [ 'П~~) 1! Лб длн распределения энергии в спектре черного тела. Число Авогадро Х определяется как число молекул на 1 грамм-молекулу вещества и его размерность получается из формулы: масса молекулы А' = '1число молекУл на г) х масса атома водорода' Постоннная, приводимая Б р и д ж м е н о м, отличается от принятой постоян- 3 ной Б од ь т и м а на на множитель —, т.е. соответствует трем степеням свободы, 2' Прим.
ред. Постоянная тяготения Скорость света Квант действия Газовая постоянная Постоянная Стефана Первая спектральная по- стояннан Вторая спектральнан по- стоянная Постоянная Ридберга Заряд электрона Масса электрона Число Авогадро Второе число Авогадро в см г сек, 6,658 ° 10 в г 1 смз сек.
3 ° 101о см сек. 547. 10 — гт г с,нг сек,— ' 2,058. 10 тб г смз сек. з *С 7,60 10 1бгсмтсек. з'С 4 0 353 г см4 сек Применения анализа размерностей к теоретической газике 117 Размерность будет, очевидно, равна обратной массе, а числовое значение равно обратной массе молекул водорода. Второе число Авогадро зч' определяется как число молекул на куб. см в идеальном газе при температуре и давлении равных 1. Мы знаем, что это число не зависит от природы газа и поэтому может считаться универсальной постоянной. Размерность Х', очевидно, будет объем з, давление ', температура, числовое же значение сразу находится из зч'. Перед нами таблица из двенадцати размерных постоянных, на основе которых желательно определить абсолютную систему единиц.
Постоянные определены через 4 основные единицы, поэтому, вообще говоря„достаточно четырех любых констант из двенадцати длн определения абсолютной системы. Однако показатели настолько просты, что в действительности во многих случаях детерминант показателей равен нулю, и данное сочетание констант оказывается непригодным. Так, например, С с точки зрения размерности определяется той же формулой, как и 6сз, поэтому непригодна ни одна комбинация, в которую одновременно входят С, 6 и с.
Постоянная 6 имеет такую же размерность, как сйо' , и, следовательно, сочетание Й, с, 6 и а' тоже не годится, зч' и 6 з разноразмерны, следовательно, исключаются все комбинации, в которые входят 6 и Л". Этими примерами число непригодных случаев не ограничивается. Мораль заключается в том, что не следует пытаться строить абсолютную систему единиц на основе какой-либо комбинации постоянных, не убедившись сначала в возможности этого. Невозможными могут оказаться сочетания, кажущиеся на первый взгляд особенно подходящими. Нельзя, например, одновременно приравнять единице скорость света, квант действия, заряд электрона и газовузо постояпнузо. В утешение приведем некоторые возможные сочетании.
Оказывается, что детерминанты следующих комбинаций не равны йт С,с,6,6 С,с, е,6 Л',с,6,6 з"чс, сз е,6 Если у кого-нибудь появится предубеждение по отношению к некоторым из наших 12 постоянных. и они будут исключены, то могут 118 Глава 8 получиться неожиданные результаты. Предположим, что мы отказываемся рассматривать постоннные 11, т, Ж и Дч. Остаются С, с., 6, й, и, С, и', е. Оказывается, что из семи последних, написанных в этой строке, невозможно построить ни одной комбинации, для которой детерминант показателей не равнялся бы нулю. Следовательно, любое пригодное сочетание из указанных восьми должно включать гравитационную постоянную.
Этим фактом объясняется возможность «Принципа подобия» Тельмана (8). Мне кажется, нельзн приписывать какое-либо значение существованию таких соотпоп»епий между различными размерными постоянными. Этот факт должен рассматриваться как чистая случайность, объясняемая ограниченным числом элементов, которые входят в состав формул размерности и их относительной простотой. Другая интересная спекуляция, касающаяся природы абсолютных единиц, требует комментариев; Г. Н.
Льюис (4) утверждает, что по его убеждению любое сочетание абсолютных единиц должно находиться в простом числовом отношении ко всякому другому возможному сочетанию абсолютных единиц. Эта точка зрения в настоящее время не имеет какого-либо оправдания на основе точных результатов измерений и по своему характеру является почти мистической. Указанное предположение привело Льюиса к обнаружению замечательно простого соотношения мелсду постоянной Стефана, электронным зарядом и газовой постоянной, но, насколько мне известно, эта точка зрения оказалась бесплодной в других направлениях, и я уже указывал иное возможное значение простоты найденного соотношения.
1'азберем эту гипотезу Льюиса на числовом примере. Мы уже определили величину основных единиц, получаемых на основе постоянной тяготения, скорости света, кванта действия и газовой постоянной. Найдем теперь, какие единицы получатся па основе и, с, й и е? Задача во всех деталях такая же, как и прежде, и нет необходимости снова выписывать уравнения. Мы находим следующие единицы: новая единица массы 1,849.10 а г, » » длины 1,868 10 — »4 см, » » времени 4,56 10»э сек., » » температуры 8.07 ° 10»о 'С. Отношение всех этих единиц к ранее определенным оказывается равным . Само по себе число 9,36 не может казаться очень прос- 1 2, 119 7итератрра тым, но проследив путь его появления в формулах, можем найти, что приближенно 29.36 = 4я( ~~ ) Это несколько сложное числовое выражение получается нз план- ковского соотношения между постоянной Стефана н спектральными константами излучения. Действительно, применяя формулу Льюиса для а, получаем»: А=(4 )з( ~ ) Мпе думается, что только с большим сомнением можно назвать этот числовой коэффициент «простымм Если это «просто», то трудно понять, каков же критерий простоты и принцип Льюиса даже в качестве евристического, приобретает весьма сомнительную ценность.
Сам Льюис (9) не считает приведенный коэффициент простым и видит в этом обстонтельстве возможное указание на только приближенную правильность формулы Планка; когда-нибудь станет возможной более строгая теория, в которой число, приравниваемое теперь, в пределах ошибок опыта, 29,36, окажется построенным из простого сочетания я и простых целых чисел. Таким образом, оправдание приведенной спекуляции откладывается на будущее. Характер таких спекуляций, очевидно, противоречит характеру нашего изложения, и мы продолжаем твердо стоять на своей точке зрения, с которой не усматривается что-либо мистическое.
или загадочное в анализе размерностей (1О). Литература [1] А, Е 1п в! е1п. Ашь г!. Р!тув. 35, 686, 1911. [2] Л. Н. Л е а и в. Ттапв. В.оу. Еос. 201 (А), 157., 1903. [3] Л.Н.Л еа па. Ргос. Воу. Яос. 76, 545, 1905. [4] Е.б!.1 ех«1в апг1 Е. О. А «1 агп в. Р11ув. Вот. 3, 92, 1914. [5] С. К. М е в 1 ! п . 116, 135, 1893.
[6] М. Р 1 а н 1« . ЧгашпевагаЫпп8. гпр. примечание на стр. 10В. При и. ред, 120 Глава 8 [7] А. 8. Е в) Й ~ и 8 1 о и . Керог1 ои Сганнвтюи, Ьоиг1. РЬуз. Вос., стр. 91, 1918. [8] К.С.То1|и и и. РЬуж Кон. 3, 244, 1914. Принцип подобия дискутируется в след. статьях: Р. нн'. В г14 8 ш а и. РЬув.
Кен. 8, 423, 1916. 4.'вй'в11от. ЕБ. Е РЬуз. 10, 329, 1922. Е.1.о ис1 о и РЬув. /Б, 23, 262, 289, 1922. Т.А. Афанасьева — Э реп фест. Журн. Русск. Физ.-Хим. О-ва. Вып. 7, 1911. [9] Частное сообщение Льюиса. [10] Вопрос дискутируется в следующих статьях: Я.С вшр Ь е11. РЫ1. Мвй. 47, 159, 1924. С,Х.Еея1з. РЫ1. Мая, 49, 739, 1925, О. Д. Е о с1 8 е РЫ1. Мвй. 49, 751, 1925. Добавление редактора к главе 8 Системы абсолютных единиц для атомной физики Можно построить большое число естественных абсолютных систем единиц (ср. текст).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
