П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Способ изменения этих множителей дается анализом размерностей. Две системы, связанные одна с другой так, что аргументы неизвестной функции в обеих одинаковы, называются ф и з и ч е с к и и о— добными системами. Очевидно, что опыты с моделью могут дать ценные сведения, если модель конструировапа физически подобной оригиналу. Условие физического подобии включает, вообще говоря, не только размеры модели, но и все прочие физические переменные. В ниде примера рассмотрим сопротивление, испытываемое телом некоторой определенной формы при движении в бесконечной массе Глава 7 Таблица 18. Символ Формула размерности МЬТ г 1Т 1 Ь 1П, 3 М1. 'Т ' 1,Т ' Название величины Сопротивление Скорость Абсолютный размер Плотность жидкости Вязкость жидкости Скорость звука в жидкости Факторы формы, фиксиру- ющие форму тела л гы гг, Мы имеем, следовательно, 6 переменных, не считая факторы формы, число которых может быть каким угодно в зависимости от геометрической сложности тела.
Таким образом, должны существовать три произведенин без размерности помимо факторов формы, которые свми по себе не имеют размерности. Одно из таких произведений, как жидкости. Частными случаями этой задачи являются сопротивления, встречаемые снарядом, аэропланом, подводной лодкой в глубоком море или падающей водяной каплей. Проблема, очевидно, механическая и связана с уравнениями гидродинамики.
Условия задачи чрезвычайно сложны, их трудно формулировать в точной математической форме, но можно вообразить себе. что они кем-то осуществлены. Важно отметить, что в уравнениях гидродинамики нет размерных постоянных, если только применены обычные механические единицы массы, длины и времени; результат будет содержать поэтому только измеряемые физические переменные.
Такими переменными являются: сопротивление движению., скорость движения, форма тела. которая может быть характеризована некоторыми абсолютными размерами и их отношением к некоторым другим длинам (например., форма эллипсоида может быть характеризована длиной наибольшей оси и отношением к ней других осей) и постоянными жидкости, т.е. плотностью, вязкостью н сжимаемостью. Вместо последней величины можно внести скорость звука в жидкости.
Мы предполагаем, что тяжесть в результат не входит, т.е. что тело находится в состоянии равномерного движении па постоянном уровне., и работы под действием силы тяжести не совершается. Формулируем задачу. 95 Применения анаяиза размерности и модельным опытам Р непосредственно видно, есть о . Мы должны разыскать остальные произведения без размерности способом, наиболее подходящим к конкретной задаче. Нас интересует сопротивление движению, мы выберем для него поэтому показатель, равный единице, и выделим В изолированно в левой части уравнения. При помощи метода, которым мы уже пользовались много раз, мы находим произведении без размерности в виде таких выражений: зз ь— 2 з — 2 из — 1 и ро 'Г'а1 ', окончательное решение имеет такую форму: Й=О 1 ф~ —, —,Гз,тгь...). гг I Р о' '1 ОЫ Зта формула весьма обща и охватывает широкую группу экспериментальных условий. Если скорость мала, то проблема сводится к задаче о равновесии сил, действуюшнх на твердое тело в жидкости.
и сил, определяемых вязкостью жидкости. Сопротивление в этом случае не зависит от плотности жидкости н от скорости звука в пей. Если плот- И ность исчезает из уравнения, то аргумент —, очевидно, должен вынти оЫ из-за знака функции в виде множителя, и для медленного движения закон сопротивления принимает следующую форму: Л = о1111 '1г1, гг, ... ). 'Таким образом, при малых скоростях сопротивление пропорционально вязкости, скорости и линейным размерам и помимо этого зависит только от геометрической формы тела.
Мы уже имели дело с частным случаем этой задачи в вводной главе при разборе проблемы Стокса о движении сферы. В области больших скоростей плотность жидкости играет важную роль, так как часть силы, действующей на тело, определяетсн моментом, отводящимся от поверхности тела жидкостью в форме вихрей (этот отводимый момент, очевидно, зависит от плотности жидкости). При этом скорость звука еше не сказывается на результате, т. е. среда ведет себн все еше подобно несжимаемой жидкости. Эта область скоростей особенно важна для самолетов. При этих условиях аргумент о, Глава 7 очевидно, выпадает из функции, и результат приобретает вид: В=о 14~( —,тыгг, ° ).
Остановимся на этой стадии и посмотрим, какие сведения дает нам это уравнение относительно возможных опытов с моделями. Наша цель — измерить сопротивление, испытываемое моделью при определенных условиях, и вывести отсюда заключение о сопротивлении, встречаемым подлинным объектом. Прежде всего ясно, что неизвестная функция, а следовательно., и все ее аргументы, т,е, гы гг, „.
и отношение —, должны иметь одно и то же значение для модели и ори- Р вЫ' гикала. Из одинаковости гы гг, ... вытекает геометрическое подобие модели и оригинала. Из одинаковости — следует, что если опыт с мо- Р вЫ делью производится, как обычно, в воздухе, то р и в1 одинаковы для модели и оригинала, поэтому о1 должно быть одним и тем же. Это значит, что если модель по линейным размерам в десять раз меньше оригинала, то ее скорость должна быть в десять раз больше. Это требование практически крайне затруднительно, оно равносильно осуществлению скоростей модели порядка тысяч километров в час, поэтому на первый взгляд нагнется, что мы докатали невозможность модельных опытов такого рода. 11о практически функция от — оказывается обладающей и иЫ такими специальными свойствами, что все же из опыта с моделью можно получить важные данные.
Если производить измерения сопротивления, испытываемого моделью, при различных скоростях и вычислять соответствующие значения функции (разделяя измеренные сопротивленин на ог1гН), то оказывается, что при больших скоростях функция 7" асимптотически приближается к постоянному значению. Это значит, что при больших скоростях сопротивление становится постепенно пропорциональным квадрату скорости. Поэтому достаточно осуществить модельный опыт при скоростях, при которых можно найти асимптотическое значение функции, так как тем самым получатся все необходимые сведения о свойствах оригинала.
Это возмоллно потому, что нам известна пропорциональность сопротивления квадрату скорости, а модельный опыт дает значение фактора пропорциональности. Единственный сомнительный пункт предлагаемого приема заключается в том., возможно ли достигнуть с моделями скоростей, достаточных для опре- 97 Применения анализа размерности н модельным опыт м деления асимптотичесього значения. Опыт подтверждает эту возможность.
Тот факт, что при скоростях современных аэропланон сопротивление становится пропорциональным квадрату скорости, показывает на основании анализа, что вязкость перестает играть доминирующую роль. Это значит, что вся работа перемещения аэроплана тратится на создание воздушных вихрей. В анализе независимость от вязкости и полная турбулентность рассматриваются как эквиваленты. Эта точка зрения на явление подтверждается опытом с различных сторон. Рассмотрим возможность осуществления модельных опытов в других средах, помимо воздуха.
Выбрав в качестве среды для модели воду, мы должны дать модели такие размеры и скорость, чтобы — длн мод е10 дели равнялось — ' длн оригинала. Для воды д 10, с1 = 1, в то и — 2 и1д время как для воздуха д = 1,7 ° 10 л и с1 = 1,29 ° 10 2 1при комнатной температуре). При подстановке этих значений мы получим, что и1 для модели должно составлять около — той же величины для оригинала. 1 13 Этот фактор подходит для сокращенных размеров модели, однако при этом модель должна бы двигаться в воде с такой же скоростькц как оригинал в воздухе. Такие большие скорости в воде затруднительны и поэтому, по-виднмому, нет преимущества применения воды в сравнении с воздухом при пользовании вьппеуказанным приемом. Перейдем теперь к еще ббльшим скоростям, как, например, скорость снаряда, которая может быть больше, чем скорость звука в среде.
При этом среда с трудом успевает разойтись перед телом, и возникают эффекты нового характера, При таких скоростях вязкость совершенно исчезает из результата. который теперь принимает форму: зь = О 1 Сьз (, з ГЫ 3'2ь ° ° ° ) ° Если для этих условий производить модельный опыт, то ясно, что ь модельный снаряд должен иметь форму оригинала, и помимо того —" должно иметь одно и то же значение для модели и оригинала, Если модельный опыт производится в воздухе, то зз' длн модели будет тем же самым, как и длл оригинала, следовательно, и о должно быть такое же. Иначе говоря, оригинал и модель должны двигаться с одинаковой скоростью.
При этих условиях формула показывает, что сопротивление 98 Глава 7 пропорционально поперечному сечению снаряда. Требование равенства скоростей модели и оригинала практически означает., что модельные опыты нужно производить также с действительными снарядами, но меньшего калибра. Можно пытатьсн избежать этого затруднения, производя опыт в другой среде, например в воде. Но скорость звука в воде примерно в пять раз больше, чем в воздухе, следовательно, вотребовалась бы скорость снаряда, в пять раз превосходящая скорость снаряда в воздухе, требование — явно неосуществимое.
Помимо применений к модельным опытам, результаты анализа размерностей могут быть применены и к другим техническим областям. И Бюро стандартов они многократно применялись при изучении различных видов технических инструментов. Группа инструментов, предназначенных для одной и той же цели, имеет много общих черт, и часто возможно произвести детальный анализ, применимый ко всем инструментам данного типа. Анализ размерностей дает некоторые сведения о возможных результатах такого детального анализа, и на основании свойств одного инструмента можно сделать выводы, касающиеся других инструментов несколько иной конструкции.
Этот вопрос разобран с большой полнотой и рядом примеров в цитированной ниже второй работе Г е р с е я. Литература Применения анализа размерностей к техническим задачам можно найти в следующих статьях: О.В.е у по !с1 з, Р1п1. Рта»»з. Воу. Бос. 174, 935, 1883. В. а у 1 е ! 8 Ь. Р1п1. Май.
34, 59, 1892 и 8, 66, 1904. Е. В и с !г» п 8 !» а ш. РЬуа. Вех. 4, 345, 1914; Тгапз. А»пег. Бос. МесЬ. Еп». 37, 263, 1915; Е»»8!»»»»ег!»»и, Март 13, 1914. Е. В и с 1с 1 и 8 Ь а и» аш! 3, Г). Е 6»а а г 6 з. Бс1опп Рарегз оГ Впгоап оГ 8!а»»г!. М 359, 1920. М. 11.Н е г ь е у. Лонг»». %ааЬ. Асас1. 6, 569. 1916: Бс1епй Рар. оГ Впгеап оГ Яапг!. Жя 331, 1919; Аегопаписа1 1»»з1гп»пеп»з Спсп1пгз оГ 1!»е Впгеап оГ 8»ап»!а»т!з х630, 1919 и Ь232, 1918. Ч'. Ь. С о»а 1е у апд Н. Ь е г у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
