П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1132343), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Единица электростатического заряда есть зарнд, который ца расстоянии, равном единице от такого же заряда в пустом пространстве, проявляет силу, равную единице. Электрический вектор есть вектор, который при умножении на заряд дает силу, действующую на заряд. Диэлектрическая постоянная есть отношение силы между двумя зарядами соответственно в пустом пространстве и в рассматриваемой среде.
Размерность диэлектрической постоянной очевидно равна нулю. Размерность энергии при этой системе единиц, разумеется, равна силе, умноженной на расстояние. Формулируем теперь задачу1 Глава о и = сопь1 ° Ез. В электростатике доказывается, что постоянная равна —. 1 2' Если бы вместо плотности энергии в пустом пространстве мы пожелали бы найти плотность энергии в среде с диэлектрической постоянной е, то приведенный результат изменился бы вследствие появления нового множителя, некоторой произвольной функции от е.
Анализ размерностей не может раскрыть вид этой функции. Из других источников мы знаем, что функция равна самой диэлектрической постоянной. Эта задача поучительна тем, что показывает разнообразие способов, которыми могут быть выбраны основные единицы. Поскольку задача может быть сведена к формулировке в механических терминах (определение электрических величин даются непосредственно через механические величины), мы можем пользоваться обычными тремя механическими единицами как основными и писать формулы размерности в терминах массы, длины и времени.
В таком случае, мы получили бы такую формулировку: Таблица 16. Формула размерности МгГаг,з/зТ вЂ” 1 Мч~зт — з/зТ вЂ” с Ц1,— 1Т вЂ” з Название величины Символ Заряд Сила поля Е Плотность энергии и Снова ищем соотношения между плотностью энергии и силой поля. Теперь у нас две переменные и три основных единицы и по общим правилам произведение без размерности невозможно, а следовательно, невозможно и искомое соотношение. Однако связь между показателями такова, что произведение без размерности осуществляется, оно такое же, как и раньше. Новая формулировка в других основных единицах не изменяет результата, как этого и следовало озкидать. Многие будут критиковать написанные формулы размерностей длн электростатических величин па том основании. что диэлектрическая Мы ищем связь между Е и и. Вообще говоря, такой связи не должно бы существовать, потому что у нас име|отсн две основных величины при двух переменных.
Но при специальных условиях этой задачи такая связь все же существует, и результат, как явствует сразу, выражается так: Примеры анализа размернвппеа постоянная пустого пространства произвольно положена равной единице, хотя мы ничего не знаем о ее природе. Вследствие этого мы опускаем некоторые размерности, которые существенны для полной постановки проблемы.
Такая точка зрении не собьет читателя этой книги, усвоившего, что в размерностях нет ничего абсолютного, что размерности могут быть любыми, лишь бы они согласовались с определениями, соответствующими экспериментальным фактам. Разберем этот вопрос, однако, на конкретном примере, включающем диэлектрическую постоянную пустого пространства в явной форме как новый вид основной величины, которую нельзя выразить через массу, длину и время. Обозначим ее через 1е, применяя ту же букву и в формуле размерности. Единица электростатического заряда определитсн теперь уравнением: г сила = йз г Сила поля определится, как и раньше, выражением Таблица 17.
Формула размерности Мз/гг ззг 1- — 1~ зрг М'1г1.-'~гт-'~-'~г м1, т Название величины Символ Заряд Сила поля Плотность энергии Пиэлектрическая постоян- ная пустого пространства е Е Снова составляем произведение без размерности из величин К, и, 1н Получаем результат: и = сопвг ° ЙЕ . Это сводится к прежнему выпаду, если положить й = 1, как и делалось в предыдущей формулировке задачи. Па первый взгляд новая Если формулировать задачу в терминах этих основных величин, то й явно появитсн в уравнениях электростатического полн, и размерная постоянная й войдет в таблицу переменных. Задача формулируется теперь так: 90 Глава 6 форма кажется более общей, так как она содержит множитель Е Однако этот множитель ничего нового не говорит о природе постояппой, он показывает только, как меняется формальное выражение результата при изменении определений, положенных в основу нашей системы уравнений.
Включение множителя й в результат и в определении не имеет поэтому для нас преимуществ и не может их иметь, если только наши соображения щ>авильньь Очень много писалось об «истинной» размерности Й и было высказано немало догадок о различных физических моделях, механической структуры эфира, вытекающих из тех или иных предположений об «истинной» размерности. Но, насколько я осведомлен, никто не добился этим методом результата, который привел бы к открытию новых фактов, хотя нельзя отрицать, что соображения такого рода побуждали к ряду опьггов, как, например, это имело место в опытах Лоджа, касающихся механических свойств эфира.
Литература 11] Н а у 1 е ! 8 Ь. Ь!а«иге. 95, 66, 1915. !21 В.ау1е!КЬ. Р!п1. Май. 41, 107, 274, 1871. Несколько разнообразных примеров разобрано в статье С. Н и и н е РЬуэ. ЕЯ. 17., 202, 1916, Спекуляции о «правильной» размерности электрических величин и выводы на этой основе о свойствах эфира можно найти в следующих статьях: Л, Ч', Нйс1«ог. РЫ1.
Мад, 27, 104, 1889. г»'.Ч'! !!!а.гпз. РЫ1, Мад. 34, 234, 1892. О.Е о г) 8 е. РЫ!. Май. Ноябрь 1882. 7« а! иге. 19 июля 1888. Книга «Мог!егп Ъ'!еиз ш Е!есФг!с!!у» (добавление). Н.А.Ре з з е ив! е и. РЬуз. Нег. 10, 1 и 83, 1900. К.
Н. 3 о Ь и з о и. Р 1»уз. ХЯ. 5, 635, 1904. А. С. С г е Ь о г е. Р 1»уз. В.ег. 14. 440, 1919. С.Р.Р11з нега1г!. РЬН. Мал. 27, 323, 1889. Литература Приводим полную цитату из последней статьи: «За последнее время некоторое внимание бгило обращено на вопрос о размерности алектромагнитных единиц, однако, по-видимому, забыли следующее: Электростатическая система единиц может быть определена как система, в которой предположено, что диэлектрическая постоянная имеет нулевую размерность, а электромагнитная система как система, в которой магнитная проницаемость положена имеющей нулевую размерность.
Если взять систему, в которой размерности обеих этих величин одинаковы и равны размерности величины обратной скорости (ТЕ 1), то обе системы делаются тождественными в отношении размерности, отличаясь только числовым коэффидиентом, точно так же, как отличаются сантиметры и километры. Этот результат кажетсн естественным и оправдывающим предположение о том, что диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость обладают природой величины обратной скорости. Возможно, что они свнзаны с обратной величиной квадратного корня из энергии эфирного вихряги ГЛАВА 7 Применения анализа размерности к модельным опытам.
Другие технические приложения До сих пор мы применяли анализ размерностей к задачам, которые могут быть разрешены и другими способами, поэтому имелась возможность проверять наши результаты, В инженерной практике встречается большое число задач, настолько сложных, что точное решение их неосуществимо. При этих условиях анализ размерностей дает возможность получить некоторые сведения о форме результата, которого можно достигнуть па практике, только экспериментируя с необычайно болыпим количеством аргументов неизвестных функций.
Для применения же анализа размерностей требуется только знать, с какой системой мы имеем дело н каковы переменные, входящие в уравнение; нет надобности даже выписывать уравнения и развернутой форме, еще менее нужно их решать. Во многих случаях такого рода частичные сведения, достигаемые посредством анализа размерностей, можно комбинировать с измерениями., касающимися только части всей физической системы. охватываемой анализом. Таким образом все нужные данные получаются со значительно меньшими заботами и затратами, чем без анализа размерностей.
Этот метод приобретает все большее значение при технических исследованиях и за последнее время получил особое развитие в связи с нуждами самолетостроения. Метод широко применяется в Национальной физической лаборатории в Англии и в Бюро стандартов САШ и излозкен в многочисленных статьях. В Бюро стандартов особенно активен в этом направлении др. Эдгар Б э к и н г э м, ему удалось дать результатам анализа размерностей такую форму, которая легко применима и уже привела к ряду важных результатов. Характер получаемых этим методом результатов можно иллюстрировать очень простым примером.
Положим, требуется построить очень большой маятник с весьма точно определенным периодом колебаний. Применения анализа размерности н модельным опыт м Анализ размерностей показывает, что время колебания всей системы маятника определяется формулой Поэтому для определения периода кавого угодно маятника достаточно определить на опыте только значение константы, входящей в уравнение. Очевидно, что эта константа может быть найдена из единственного опыта с маятником любой длины. Экспериментальный маятник может быть сделан очень простым, и по измерепизо периода его колебания получится период проектируемого большого маятника.
Случай маятника особенно прост темь что в результат не вошла произвольная функция. Теперь рассмотрим более общий случай, усложненный наличием такой функции. Обозначим переменные задачи буквами ьды ьдз, Цз и т. Д, и пРеДположим, что пРоизвеДениЯ, не имеюЩие размерности, найдены и приведены к такому виду ггогсегдг згсььогсгдг О~ггсгдь ) При этом аргументы функции и множитель, стоящий отдельно, охватывают все произведения без размерности, т. е. результат дан в общем виде. При переходе от одной физической системы к другой произвольная функция, вообще говоря, меняется неизвестным нам образом.
Поэтому опыты со случайными моделями дадут мало полезных сведений. Если, однако, модель выбрать так, чтобы все аргументы неизвестной функции имели одно и то же значение как для модели, так и для оригинала, то при переходе от модели к оригиналу будут меняться только множители, стоящие перед символом функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
