А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 8
Текст из файла (страница 8)
функция F (z) непрерывна в точке z = 1. Аналогичные оценки справедливы для F (z) при z = −1, ±1/k. Если же |z| > R, то вместо неравенства (3)получается оценка1.|F (z) − F (∞)| 6C|z|Утверждение 2. Функция F (z) биголоморфно отображает верхнюю полуплоскость D+ на открытый прямоугольник с вершинами в точках ±K, ±K+iK ′ , где положительные константы K, K ′ задаются формуламиK :=Z10pdx(1 −x2 )(1−k 2 x2 )′,K :=Z1/k1с обычными положительными значениями корней.dxp2(x − 1)(1 − k 2 x2 )Доказательство.
В силу принципа соответствия границ (п. 18.1) и утверждения 1 достаточно проверить, что F биективно отображает границу ∂D+ =R ∪ {∞} на ∂ .Из определения F ясно, что F (0) = 0 и функция w = F (z) биективно отображает отрезок [0, 1] ⊂ R плоскости z на отрезок [0, K] ⊂ R плоскости w(поскольку подынтегральное выражение положительно, то F (x) монотонно возрастает от 0 до K, когда x пробегает отрезок [0, 1]).Посмотрим теперь, что происходит с функцией F (x), когда x пробегает отрезок вещественной оси от 1 до 1/k.
При x ∈ (1, 1/k) функцию F (x) можнопредставить в видеF (x) =Zx0dξ=ϕ(ξ)Z0361dξ+ϕ(ξ)Z1xdξ,ϕ(ξ)где интегралы в правой части понимаются как несобственные. Заменим в этойформуле интегрирование по отрезку [0, x] интегралом по контуру Γδ , обходящему точку x = 1 по малой полуокружностиγ = γδ = {|z − 1| = δ , Im z > 0}с центром в точке z = 1 радиуса δ, лежащую в верхней полуплоскости D+ . Мырассматриваем ее как путь γ в D + с началом в точке z = 1 − δ и концом в точкеz = 1 + δ, параметризуемый посредством: z = 1 + δeiθ , где θ изменяется от πдо 0.Интеграл по Γδ , равныйZ 1−δZZ xZdζdξdζdξ=++,ϕ(ξ)Γδ ϕ(ζ)0γδ ϕ(ζ)1+δ ϕ(ξ)с одной стороны не зависит от δ > 0 по теореме Коши.
С другой √стороны,он имеет предел при δ → 0 (интеграл по γδ оценивается через C δ ввидунеравенства (2)), равныйZ xZ 1dξdξ+= F (x) .0 ϕ(ξ)1 ϕ(ξ)Следовательно,F (x) =ZΓδdζϕ(ζ)при любом достаточно малом δ.Подсчитаем приращение аргумента подкоренного выражения вдоль полуокружности γδ . Аргумент1 − z = −δeiθ = δei(θ−π)при обходе вдоль γδ изменяется от 0 до −π, а аргументы трех других сомножителей 1 + z, 1 ± kz в выражении для ϕ(z) при обходе вдоль γδ не меняются.Поэтому∆γ arg(1 − z 2 )(1 − k 2 z 2 ) = ∆γ arg(1 − z) = −π .где мы воспользовались равенством∆γ arg[(1 − z)(1 + z)(1 − kz)(1 + kz)] =∆γ arg(1 − z) + ∆γ arg(1 + z) + ∆γ arg(1 − kz) + ∆γ arg(1 + kz) ,вытекающим из определения ∆γ arg в лекции 14.
Поэтому приращение подынтегрального корня равноπ∆γ arg ϕ(z) = −2(при извлечении корня аргумент делится на 2), т.е. arg ϕ(x) = −π/2 при x ∈(1, 1/k]. Следовательно, для всех x ∈ (1, 1/k) будем иметьpϕ(x) = −i (x2 − 1)(1 − k 2 x2 )37с обычным положительным значением корня. Тем самым, при x ∈ (1, 1/k)Z 1−δZdξdζpF (x) =++222(1 − ξ )(1 − k ξ )0γδ ϕ(ζ)Z xdξp+i,2(ξ − 1)(1 − k 2 ξ 2 )1+δчто (при δ → 0) совпадает сZ 1Z xdξdξpp+i=F (x) =(1 − ξ 2 )(1 − k 2 ξ 2 )(ξ 2 − 1)(1 − k 2 ξ 2 )01Z xdξp=K +i.(ξ 2 − 1)(1 − k 2 ξ 2 )1Из этой формулы вытекает, что w = F (z) биективно отображает отрезок[1, 1/k] плоскости z на отрезок [K, K + iK ′ ] плоскости w.
Действительно,F (1) = K и подынтегральное выражение вZ xdξp(ξ 2 − 1)(1 − k 2 ξ 2 )1положительно. Поэтому указанный интеграл монотонно возрастает от 0 до K ′ ,когда x пробегает отрезок [1, 1/k].Для x ∈ (1/k, +∞) аналогично получаем, что arg ϕ(x) = −π, т.е.pϕ(x) = − (x2 − 1)(k 2 x2 − 1)и, следовательно, w = F (z) биективно отображает луч [1/k, +∞] плоскости zна отрезок [K + iK ′ , K + iK ′ − K ′′ ] плоскости w, где положительная константаZ ∞Z 1dxdy′′ppK :==(x2 − 1)(k 2 x2 − 1) замена y=1/kx(1 − y 2 )(1 − k 2 y 2 )1/k0на самом деле совпадает с K.
Таким образом, w = F (z) биективно отображает отрезок [1/k, +∞] плоскости z на отрезок [K + iK ′ , iK ′ ] плоскости w. Витоге получаем, что функция w = F (z) биективно отображает положительную полуось [0, +∞] плоскости z на ломаную с последовательными вершинами 0, K, K + iK ′ , iK ′ . Аналогично находится образ отрицательной полуоси[0, −∞] — это ломаная с вершинами 0, −K, −K + iK ′ , iK ′ . Тем самым проверено, что F биективно отображает ∂D+ на ∂ .Задача. Найдите область D′ , на которую эллиптический интеграл 2-го родаZ zs1 − k2 ζ 2F (z) =dζ1 − ζ20конформно отображает верхнюю полуплоскость D+ = {Im z > 0}.[Указание.
В данном случае F (∞) = ∞, из-за чего область D′ неограниченаи нельзя применять утверждения из п. 18.1. Однако, пользуясь тем, что приращениеаргумента ∆γR arg F (z) вдоль большой полуокружности γR = {z ∈ D+ | |z| = R}(пробегаемой в направлении от R к −R) равно π+o(1) при R → +∞, можно установитьтребуемый результат, повторяя доказательство принципа соответствия границ]3819.2. Интеграл Кристоффеля–Шварца.
Эллиптический интеграл изп. 19.1 выглядит довольно сложной функцией, а его появление в задаче о конформных отображениях производит впечатление хитрого трюка. Спрашивается, можно ли было предвидеть заранее, что конформное отображение полуплоскости на прямоугольник следует искать именно в таком виде? Оказывается,да. Более того, подобное рассуждение можно провести для любого ограниченного многоугольника.
А именно, справедлив формулируемый ниже результат.Обозначим через P многоугольник в C, т.е. ограниченную односвязную область в C, граница которой является ломаной с последовательными вершинамиA1 , A2 , . . . , An (направление обхода положительное). Предположим, что внутренний угол при вершине Aj равен παj , где 0 < αj 6 2. Допустим, что функцияf биголоморфно отображает верхнюю полуплоскость D+ на многоугольник Pи непрерывно продолжается до гомеоморфизма D+ на P (существование такой функции вытекает из теорем Римана и Каратеодори). Обозначим черезa1 < a2 < · · · < an прообразы точек A1 , A2 , .
. . , An при отображении f (мыпредполагаем, в частности, что f (∞) не является вершиной P ; если это нетак, то нужно заменить f на ее композицию с подходящим дробно-линейнымавтоморфизмом D+ ). Тогда указанная функция f задается следующим интегралом Кристоффеля–ШварцаZ z(ζ − a1 )α1 −1 (ζ − a2 )α2 −1 · .
. . · (ζ − an )αn −1 dζ + C2 , z ∈ D+ , (4)f (z) = C1z0где C1 , C2 ∈ C – некоторые константы (выбор начальной точки z0 ∈ D+ иветви подынтегрального выражения в D+ не имеет принципиального значения— другой выбор приведет лишь к изменению констант C1 , C2 ).Замечание. Для случая прямоугольника P = , когда в роли точек ajвыступают ±1, ±1/k, а αj = 1/2 для всех j = 1, .
. . , 4, формула Кристоффеля–Шварца сводится к эллиптическому интегралу из п. 19.1. Заметим еще, чтодопускаемые нами многоугольники P , вообще говоря, могут не быть областямис простой границей, как, например, семиугольник{z ∈ C : | Re z| < 1, | Im z| < 1, z ∈/ [0, 1)}с последовательными вершинами 1, 0, 1, 1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i, все углы которого равны π/2, кроме угла при вершине 0, равного 2π.Доказательство. Шаг 1. Покажем, что функцияg(z) :=f ′′ (z),f ′ (z)z ∈ D+ ,допускает аналитическое продолжение в область C \ {a1 , . .
. , an }.Действительно, в силу гомеоморфности f : ∂D+ → ∂P , образ произвольногоотрезка [aj , aj+1 ] ⊂ R (а также “отрезка” [an , a1 ] ⊂ R ∪ {∞}, содержащего ∞)при отображении f содержится в отрезке [Aj , Aj+1 ] (соответственно [An , A1 ])на плоскости переменного w. Поэтому, применяя конструкцию принципа симметрии (изложенную в первом шаге доказательства этого принципа), мы можем продолжить f до функции, голоморфной в области D+ ∪ (aj , aj+1 ) ∪ D− ,39сужение которой на нижнюю полуплоскость D− := {z ∈ C : Im z < 0} задает биголоморфизм D− на многоугольник P ∗ , симметричный P относительнопрямой Aj Aj+1 . (Отметим, что в этом месте нельзя сослаться на сам принципсимметрии, поскольку не обязательно выполнено условие P ∩ P ∗ = ∅).Полученное отображение нижней полуплоскости D− на многоугольник P ∗можно снова аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость D+ черездругой отрезок [ak , ak+1 ] до биголоморфного отображения D+ на многоугольникP ∗∗ , симметричный P ∗ относительно прямой Ak Ak+1 и т.д.
Таким образом,исходный элемент (D+ , f ) можно продолжить по любому путиγ : I → C \ {a1 , . . . , an } ,последовательно применяя симметрию относительно тех отрезков вещественной оси, которые пересекает путь γ.В результате мы получаем полную аналитическую функцию F в областиC \ {a1 , . . . , an }. Любые две голоморфные ветви f1 , f2 функции F в верхней полуплоскости D+ конформно отображают D+ на многоугольники P1 , P2 , получаемые друг из друга конечным (и притом четным) числом симметрий относительно сторон.
Но любое преобразование указанного вида является движениемплоскости, т.е. сводится к сдвигу с поворотом. Поэтому f2 получается из f1заменой переменных, задаваемой сдвигом с поворотом, т.е.f2 (z) = eiθ f1 (z) + Cдля некоторых констант θ ∈ R, C ∈ C. Отсюда, в частности, следует, чтоf2′′f1′′=f1′f2′в D+(заметим, что производные f1′ и f2′ не обращаются в нуль в D+ в силу конформности f1 и f2 ). Поэтому при аналитическом продолжении исходной функцииf функция g := f ′′ /f ′ продолжается до однозначной голоморфной функции наобласти C \ {a1 , .
. . , an }, что и утверждалось.Шаг 2. Функция g имеет в каждой точке z = aj полюс 1-го порядка свычетом αj − 1 и голоморфна в окрестности ∞.Действительно, рассмотрим отображениеζ = ϕ(w) = (w − Aj )1/αj(имеется в виду любая ветвь этой функции на пересечении P с достаточномалым кругом {|w − Aj | < ε}, которое всегда односвязно).
Оно переводит уголраствора παj с вершиной Aj в угол раствора π. Поэтому для достаточно малыхδ > 0 композицияfe := ϕ ◦ f(которая априори определена в D+ ∩ {|z − aj | < δ}) переводит интервал[aj − δ, aj + δ] ⊂ R в интервал на прямой в плоскости ζ, и значит аналитически продолжается по принципу симметрии до функции, которая голоморфна в40круге {|z − aj | < δ} и имеет в точке z = aj ненулевую производную (согласно критерию локальной обратимости из п. 14.2). Поскольку fe(aj ) = 0, то вокрестности точки z = aj ее можно записать в видеfe(z) = (z − aj )h(z) ,где h – некоторая функция, голоморфная и не обращающаяся в нуль в окрестности aj . Логарифм этой функции ln h(z) является ПАФ в указанной окрестности и допускает в ней выделение голоморфной ветви Φ(z) согласно п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
