А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 9
Текст из файла (страница 9)
11.4.Тем самым,fe(z) = (z − aj )eΦ(z) = (f (z) − Aj )1/αj .Возводя обе части второго равенства в степень αj , получаемf (z) = Aj + (z − aj )αj eαj Φ(z) .Дифференцируя полученное соотношение, приходим кf ′ (z) = αj (z − aj )αj −1 eαj Φ(z) + (z − aj )αj αj Φ′ (z)eαj Φ(z) = (z − aj )αj −1 eΨ(z) ,где Ψ(z) – функция, голоморфная в окрестности точки z = aj . Продолжаядействовать формально, прологарифмируем последнее равенствоln f ′ (z) = (αj − 1) ln(z − aj ) + Ψ(z) ,и продифференцируем полученное соотношение.
Получимg(z) =f ′′ (z)αj − 1=+ Ψ′ (z) .′f (z)z − ajФормальные выкладки, с помощью которых получено это равенство, обоснованы в окрестности любой точки из D+ ∩ {|z − aj | < δ} (где z − aj и f ′ (z) необращаются в нуль, так что все степени и логарифмы определены и голоморфны). Но, в силу теоремы единственности, полученное равенство справедливои при 0 < |z − aj | < δ.
Поскольку функция Ψ′ (z) голоморфна при |z − aj | < δ,получаем отсюда требуемое утверждение.Перейдем к доказательству голоморфности функции g в окрестности точки∞. Согласно Шагу 1, исходная функция f продолжается из D+ до функции,голоморфной в целой окрестности точки ∞, т.е.f (z) = c0 +c1c2+ 2 +...zzпри |z| > R ,где c1 6= 0 в силу локальной обратимости f в точке ∞. Отсюдаf ′ (z) = −c1+...z2т.е. функцияg(z) =и f ′′ (z) = 2c1+...
,z3f ′′ (z)2=−+...f ′ (z)z41голоморфна в точке ∞.Шаг 3. Итак, мы показали, что функция g(z) голоморфна в области C \{a1 , . . . , an } и имеет в точках z = aj простые полюсы с вычетами αj − 1. Потеореме о функциях, мероморфных на C (п. 7.11), это означает, чтоg(z) =α1 − 1αn − 1+···+z − a1z − anдля всехz∈C.Считая, что z ∈ D+ , можно в левой части этого равенства заменить g(z) наf ′′ /f ′ = (ln f ′ )′ (логарифм корректно определен в силу п. 11.4).
Интегрируяэту функцию по любому пути в D+ , связывающему z0 ∈ D+ с z, и затемпотенцируя, получим:f ′ (z) = C1 (z − a1 )α1 −1 · . . . · (z − an )αn −1для всех z ∈ D+ ,где C1 ∈ C – ненулевая константа. Снова интегрируя это выражение по любомупути в D+ , связывающему z0 с z, придем к формуле Кристоффеля–Шварца (4).Задачи.(1) Записав теорему о полной сумме вычетов для функции g(z), участвующей в доказательстве формулы Кристоффеля–Шварца, покажите, что сумма внутреннихуглов любого односвязного n-угольника на плоскости равна π(n − 2).(2) Пусть f 6≡ const – произвольная функция, голоморфная в окрестности ∞. Покажите, что то же самое верно и для функции f ′′ /f ′ .Лекция 20. Эллиптические функции20.1.
Эллиптический синус. Определим функциюz = sn(w) = sn(w, k) ,называемую эллиптическим синусом, как биголоморфное отображение прямоугольника := {w ∈ C : | Re w| < K, 0 < Im w < K ′ }с вершинами в точках ±K, ±K + iK ′ на верхнюю полуплоскость D+ ={z ∈ C : Im z > 0}, обратное к эллиптическому интегралуw = F (z, k) =из п. 19.1.Zz0dζp(1 − ζ 2 )(1 − k 2 ζ 2 )Предложение. Функция z = sn(w) аналитически продолжается до мероморфной функции во всей комплексной плоскости (обозначаемой снова черезsn(w)).
Полюсы функции sn(w) располагаются на решеткеΛ := {iK ′ + 4Kn + 2iK ′ m : n, m ∈ Z}42и имеют порядок 1. Продолженная функция z = sn(w) двоякопериодична, т.е.sn(w + 2iK ′ ) = sn(w)sn(w + 4K) = sn(w) ,(1)для всех w ∈ C, за исключением точек решетки Λ и удовлетворяет дифференциальному уравнению[sn′ (w)]2 = (1 − sn(w)2 )(1 − k 2 sn(w)2 )(2)во всех точках w ∈ C, где она голоморфна.Доказательство. Обозначим временно прямоугольник через 0,0 .
Поопределению, функция z = sn(w) биголоморфно отображает прямоугольник0,0 на верхнюю полуплоскость D+ . Обозначим через1,0 ,−1,0 ,0,1 ,0,−1четыре прямоугольника, симметричных 0,0 относительно его сторон. Тогда,по принципу симметрии, функция z = sn(w) допускает аналитическое продолжение в каждый из четырех прямоугольников ±1,0 , 0,±1 . При этом продолжение z = sn(w) в любой из этих прямоугольников биголоморфно отображаетего на нижнюю полуплоскость D− и потому удовлетворяет условиям принципа симметрии относительно каждой из его четырех сторон. Следовательно,мы можем снова применить принцип симметрии относительно сторон прямоугольников ±1,0 , 0,±1 и в результате получим продолжение z = sn(w) впрямоугольники m,n , симметричные ±1,0 , 0,±1 относительно их сторон.Это продолжение будет давать биголоморфное отображение прямоугольниковm,n снова на верхнюю полуплоскость D+ .
Если при этом какие-то два изполученных 16 продолжений имеют одну и ту же область определения (еюможет быть либо исходный прямоугольник 0,0 , либо один из 9 новых прямоугольников, возникших на втором шаге), то они на этой области определениясовпадают. (Это вытекает из формулы F (z) = f (z ∗ )∗ и того, что симметрииотносительно любых двух перпендикулярных прямых коммутируют). Болеетого, рассмотрим, например, прямоугольник 2,0 , полученный на втором шаге, который симметричен прямоугольнику 1,0 относительно его боковой стороны [3K, 3K + iK ′ ].
Так как, в свою очередь, прямоугольник 1,0 получаетсяиз исходного прямоугольника 0,0 отражением относительно боковой стороны [K, K + iK ′ ], то 2,0 получается из 0,0 композицией двух отражений, т.е.сдвигом w 7→ w + 4K. В плоскости переменного z каждому из этих отраженийотвечает симметрия относительно вещественной оси, а их композиции — тождественное отображение z 7→ z верхней полуплоскости D+ . Отсюда вытекаетсоотношениеsn(w + 4K) = sn(w) ,(1′ )выполненное для всех точек w ∈ 0,0 . С другой стороны, мы можем рассмотреть прямоугольник 0,2 , который получается также на втором шаге изисходного прямоугольника 0,0 композицией отражений относительно стороны [−K + iK ′ , K + iK ′ ] прямоугольника 0,0 и стороны [−K + 2iK ′ , K + 2iK ′ ]43прямоугольника 0,1 .
По тем же соображениям, что и выше, получим соотношениеsn(w + 2iK ′ ) = sn(w) ,(1′′ )выполненное для всех точек w ∈ 0,0 .Продолжая указанный процесс бесконечное число раз, мы получим продолжение функции sn(w) на всю плоскость до однозначной функции, которая голоморфна во всех точках плоскости, за исключением точки iK ′ и всех точек,полученных из нее симметриями относительно сторон прямоугольников, т.е.точек решеткиΛ := {iK ′ + 4Kn + 2iK ′ m : n, m ∈ Z} .Действительно, все эти точки по принципу симметрии переходят в ∞ плоскости z, т.е. функция sn(w) имеет в них полюсы. Также из принципа симметриивытекает локальная обратимость функции 1/ sn(w) в окрестности любой точкимножества Λ, откуда в силу п.
14.2 следует, что все указанные полюсы имеют1-й порядок.Из теоремы единственности вытекает, что соотношения (1′ ) и (1′′ ) для функции sn(w), проверенные в точках w ∈ 0,0 , выполняются, на самом деле, во всехточках голоморфности функции sn(w), т.е. при всех w ∈ C, за исключениемточек решетки Λ. Тем самым, функция sn(w) двоякопериодична.Дифференциальное уравнение (2) из формулировки теоремы, очевидно, выполняется при w ∈ 0,0 (это вытекает прямо из определения sn(w) через эллиптический интеграл). По теореме единственности оно верно и для всех w ∈ C\Λ.В силу свойства двоякопериодичности, естественной областью определенияэллиптического синуса является комплексный тор X, полученный из комплексной плоскости C отождествлением всех точек вида z + 4Kn + 2iK ′ m (n, m ∈ Z).В следующих лекциях мы изучим эту ситуацию в более общем виде.Задача.
Покажите, чтоlim sn(w, k) = sin w для всех w ∈ Ck→0+(этим и объясняется название “эллиптического синуса”). Во что переходит в пределеk → 0 прямоугольник = {| Re w| < K, 0 < Im w < K ′ }?20.2. Периоды мероморфных функций. Число τ ∈ C называется периодом функции f , определенной на C, еслиf (z + τ ) = f (z) для всех z ∈ C .Предложение 1. Множество T = {τ } всех периодов непостоянной мероморфной функции f : C → C есть замкнутая дискретная (т.е. не имеющаяпредельных точек в C) подгруппа аддитивной группы C.Доказательство. То, что T есть замкнутая подгруппа C, сразу вытекаетиз определения периода и непрерывности f . Проверим, что множество T дискретно. Допустим, напротив, что найдется последовательность τn (попарно44различных) периодов из T , которая сходится к τ0 ∈ C (как отмечено выше, τ0тоже принадлежит T ).
Поскольку τn − τ0 являются периодами из T , тоf (z + τn − τ0 ) = f (z)для всех z ∈ C .Пусть z0 ∈ C – произвольная точка голоморфности функции f . Тогда из предыдущего равенства следует, чтоf (zn ) = f (z0 ) = constдляzn := z0 + τn − τ0 → z0 , zn 6= z0 ,что невозможно по теореме единственности (f 6≡ const по условию).Предложение 2. Непостоянная мероморфная функция не может иметьболее двух линейно независимых (над R) периодов.Доказательство.
1) Допустим сначала, что все периоды функции f лежат на некоторой прямой, проходящей через 0.Поскольку множество T всех периодов функции f дискретно, оно состоитлибо из одной точки 0 (в этом случае утверждение становится тривиальным),либо содержит элемент τ0 ∈ T \ {0} с наименьшим модулем. Покажем, что впоследнем случае все остальные элементы τ ∈ T кратны τ0 . Действительно,иначе нашелся бы период τ видаτ = nτ0 + ατ0 ,где n ∈ Z , 0 < α < 1 .Но тогда период ατ0 = τ − nτ0 имел бы модуль, строго меньший |τ0 |, чтопротиворечит определению τ0 . Итак, в этом случае функция f имеет периодτ0 такой, что все остальные периоды f являются его целыми кратными.2) Пусть, теперь, не все периоды f лежат на одной прямой.Из дискретности множества T вытекает, что найдется замкнутый треугольник ∆ с вершинами в точках 0, τ1 , τ2 ∈ T , не содержащий других точек T , кромесвоих вершин.
Тогда замкнутый параллелограмм Π с вершинами 0, τ1 , τ2 , τ1 +τ2 также не содержит других точек из T , кроме своих вершин. Действительно,если бы в Π нашелся период τ ∈ T , отличный от вершин Π, то либо сам период τ , либо симметричный ему (относительно центра параллелограмма) периодτ ′ := τ1 + τ2 − τ принадлежал бы треугольнику ∆, вопреки выбору ∆.Покажем, что любой элемент τ ∈ T представим в виде τ = nτ1 + mτ2 длянекоторых n, m ∈ Z.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
