А.В. Домрин, А.Г. Сергеев - Лекции по комплексному анализу (1130010), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Чтобы получитьформулу сложения при z1 ≡ z2 mod L, перейдем в формуле (1) к пределу приz2 → z1 =: z. Получим21 ℘′′ (z)℘(2z) = −2℘(z) +,4 ℘′ (z)что дает алгебраическое выражение для ℘(2z) через ℘(z), поскольку функция℘′′ (z) удовлетворяет уравнению2℘′′ (z) = 12℘(z) − g2 .60Задача. Докажите формулу сложения для эллиптического синуса:sn(z1 + z2 ) =sn(z1 ) sn′ (z2 ) + sn(z2 ) sn′ (z1 ).1 − k 2 sn2 (z1 ) sn2 (z2 )[Указание.
Пусть точкиP1 , P2 ∈ C ′ := {(u, v) ∈ C2 : v 2 = (1 − u2 )(1 − k 2 u2 )}отвечают точкам z1 , z2 при отображении z 7→ (sn(z), sn′ (z)). Подберем числа a, b ∈ Cтак, чтобы парабола v = 1 + au + bu2 проходила через точки P1 , P2 и обозначимчетвертую точку пересечения этой параболы с C ′ (помимо P1 , P2 и (0, 1))через P3′ .Тогда, как и выше,z1 + z2 + z3 ≡ 0mod L .Искомая формула сложения получится отсюда, если выписать формулы Виета для коэффициентов при u3 и u в получившемся уравнении 4-й степени]Лекция 23.
Модулярная функция и теорема Пикара23.1. Построение модулярной функции. Эллиптические функции, скоторыми мы познакомились в предыдущих лекциях, представляют собой классмероморфных функций на плоскости, инвариантных относительно сдвигов комплексной плоскости C на периоды видаz 7−→ z + nτ1 + mτ2 ,где n, m ∈ Z .Иными словами, это функции, инвариантные относительно дискретной подгруппы периодов T = {τ } в аддитивной группе C.
Модулярная функция, изучаемая в данном параграфе, дает другой пример функций подобного рода. Аименно, функция µ : U → C \ {0, 1}, которая будет построена при доказательстве нижеследующей теоремы, голоморфна в единичном круге U и инвариантнаотносительно бесконечной дискретной подгруппы в группе Aut U автоморфизмов единичного круга.При построении эллиптического синуса и других эллиптических функциймы многократно пользовались аналитическим продолжением с помощью симметрии относительно отрезков прямой — симметрии, тесно связанной с евклидовой геометрией комплексной плоскости.
В отличие от комплексной плоскости C, естественной геометрией единичного круга U является гиперболическаягеометрия, роль отрезков в которой играют дуги окружностей, ортогональныхединичной окружности. При построении модулярной функции мы снова воспользуемся приемом аналитического продолжения с помощью симметрии, нона этот раз гиперболической — относительно дуг окружностей, ортогональных ∂U .Прежде, чем переходить к построению модулярной функции, напомним определение и нужные нам свойства гиперболических треугольников. Выберем двепроизвольные различные точки A и B на единичной окружности ∂U и рассмотрим лежащую в U дугу окружности, проходящей через точки A, B и ортогональной к ∂U в этих точках.
Обозначим указанную дугу (которая определяется61⌢единственным образом точками A, B) через AB и будем называть ее гиперболической дугой, соединяющей точки A и B. (Существование и единственностьгиперболической дуги проще всего усмотреть, отобразив U дробно-линейно наверхнюю полуплоскость D+ так, чтобы точка A перешла в ∞). Если, теперь,A, B, C – три произвольные попарно различные точки на окружности ∂U , то⌢⌢⌢⌢⌢⌢гиперболические дуги AB, BC, CA не имеют общих точек, кроме концов (в которых указанные дуги касаются друг друга), и ограничивают область ∆ ⊂ U ,которая и называется гиперболическим треугольником.
(Отмеченное свойствогиперболических дуг AB, BC, CA также становится более наглядным, еслиотобразить U на верхнюю полуплоскость D+ ; при этом две из трех дуг превращаются в вертикальные лучи, а треугольник ∆ превращается в вертикаль⌢ную полосу ∆′ , ограниченную снизу полуокружностью B ′ C ′ , имеющей отрезок[B ′ , C ′ ] вещественной оси своим диаметром).Рассмотрим теперь симметрию S относительно одной из сторон, например⌢BC, гиперболического треугольника ∆. Заметим, что при такой симметрииобраз S(A) вершины A треугольника ∆ снова лежит на ∂U , а образ S(∆)самого треугольника ∆ содержится в U и является гиперболическим треугольником, не пересекающимся с ∆. Действительно, после дробно-линейногопреобразования U → D+ , переводящего точки B, C в 0, ∞ соответственно, ду⌢га BC перйдет в вертикальный луч, перпендикулярный вещественной оси в′′точке B , а единичная окружность ∂U — в вещественную ось.
Симметрии S⌢относительно дуги BC будет отвечать в образе этого дробно-линейного пре′′образования симметрия S относительно указанного вертикального луча. Приэтом отмеченные свойства симметрии S становятся очевидными.Перейдем теперь собственно к построению модулярной функции. Фиксируемпроизвольный гиперболический треугольник ∆0 в U .
По теоремам Римана иКаратеодори существует непрерывное (и даже гомеоморфное) отображениеµ : ∆0 → D + ,осуществляющее биголоморфизм области ∆0 на верхнюю полуплоскость D+ ипереводящее вершины треугольника ∆0 в точки 0, 1, ∞ соответственно. Пользуясь принципом симметрии, продолжим отображение µ : ∆0 → D+ на треугольники ∆11 , ∆21 , ∆31 , симметричные треугольнику ∆0 относительно его сторон. Полученные продолженияiµ : ∆1 → D − ,i = 1, 2, 3 ,конформно отображают треугольники ∆i1 на нижнюю полуплоскость D− так,что вершины этих треугольников переходят снова в точки 0, 1, ∞.
Ввиду отмеченных выше свойств гиперболических треугольников при симметрии относительно гиперболических дуг, этот процесс можно повторить и голоморфнопродолжить отображение µ на гиперболические треугольники ∆j2 , симметричные треугольникам ∆i1 относительно их сторон (здесь j принимает значенияот 1 до 6), и так далее.62Полученные таким образом треугольники ∆lk , k = 0, 1, 2, .
. . , попарно не пересекаются, так как по построению множества их вершин не перемежаются.Отметим еще, что продолжение µ на треугольники ∆lk обладает следующимважным свойством: оно конформно отображает область l,mk,k+1 (гиперболический четырехугольник), полученную объединением любых двух смежных треугольников ∆lk , ∆mk+1 и их общей стороны, на объединение верхней и нижнейполуплоскостей с одним из отрезков (−∞, 0), (0, 1) или (1, +∞) расширеннойвещественной оси.Обозначим через Ωn ⊂ U область, полученную на n-м шаге указанного процесса. Область Ωn состоит из всех треугольников ∆lk , 0 6 k 6 n, с добавленными к ним отрезками их смежных границ.
Множества Ωn открыты и возрастают: Ωn ⊂ Ωn+1 . Интуитивно очевидно, что они исчерпывают весь единичныйкруг U , что завершает построение модулярной функции µ : U → C \ {0, 1}.Замечание. В приведенном выше рассуждении мы аппелировали к интуитивно очевидному утверждению о том, что объединение Ω := ∪∞n=0 Ωn областейΩn , получаемых на n-м шаге нашей конструкции, совпадает со всем единичным кругом U .
Прямая проверка указанного факта не является простой, однако эту трудность можно обойти, показав взамен, что Ω есть ограниченнаяодносвязная область. Отсюда по теореме Римана будет следовать существование биголоморфизма Φ : U → Ω круга U на область Ω. Тогда композицияπ := µ ◦ Φ этого биголоморфизма с построенной функцией µ даст нам искомоеголоморфное отображение π : U −→ C \ {0, 1}.Мы покажем, более того, что построенная выше голоморфная функция µ :Ω → C \ {0, 1} является неразветвленным голоморфным накрытием, откудабудет следовать, что и π : U −→ C \ {0, 1} есть также неразветвленное голоморфное накрытие.Перейдем к доказательству того, что Ω является ограниченной односвязнойобластью.
Действительно, множество Ω открыто, как объединение семейства открытых множеств, и ограничено, поскольку Ω ⊂ U . Предположим далеедополнительно, что исходный треугольник ∆0 содержит начало координат O(этого всегда можно добиться с помощью подходящего дробно-линейного автоморфизма единичного круга U ). Тогда все множества Ωn будут звезднымиотносительно O (т.е. содержат целый отрезок [O, z] вместе с каждой своейточкой z).
Это вытекает из того, что для любых точек A, B ∈ ∂U гиперболи⌢ческая дуга AB целиком лежит в секторе между радиусами OA и OB. Значит,множество Ω тоже звездно относительно O и потому является односвязной областью: любая точка z ∈ Ω соединяется радиусом с O, а любой замкнутыйпуть γ0 : [0, 1] → Ω стягивается в точку O гомотопией γ(s, t) = (1 − s)γ0 (t), где0 6 s, t 6 1.Остановимся более подробно на упомянутом в начале свойстве инвариантности модулярной функции. Как было указано выше, симметрии относительно гиперболических дуг переводят единичный круг U на себя. В частности,преобразования U → U , задаваемые композициями четного числа симметрийотносительно сторон треугольников ∆lk , являются конформными отображениями U на себя и, следовательно, дробно-линейными автоморфизмами U . Ониобразуют подгруппу Λ в группе всех автоморфизмов Aut U единичного круга.63Покажем, что модулярная функция инвариантна относительно преобразований из этой подгруппы Λ.
Действительно, пусть z – произвольная точка U .Тогда действию произвольного преобразования λ ∈ Λ на z будет отвечать вобразе µ четное число отражений точки µ(z) относительно вещественной оси,откуда µ(λz) = µ(z).Докажем теперь, что построенная выше голоморфная функция µ : Ω →C \ {0, 1} является неразветвленным голоморфным накрытием. Согласноопределению голоморфного неразветвленного накрытия из п.12.6, для этогонужно проверить, что:(1) µ сюръективно отображает Ω на C \ {0, 1};(2) у каждой точки w ∈ C \ {0, 1} найдется окрестность Vw , прообраз которой µ−1 (Vw ) есть объединение[µ−1 (Vw ) =Ujj∈Jнепересекающихся открытых подмножеств Uj ⊂ Ω, которые биголоморфно отображаются µ на Vw .Сюръективность µ ясна из построения. Действительно, рассмотрим дляпроизвольного гиперболического треугольника ∆l = ∆lk прилегающие к нему (вдоль его сторон) гиперболические треугольники ∆l1 , ∆l2 , ∆l3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
